初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊第一章 勾股定理勾股定理教學(xué)設(shè)計(jì)

1、探索勾股定理（義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊）自貢市嘉祥外國語學(xué)校 劉祥軍Email: 396031939一、教材分析本章教材內(nèi)容本章主要介紹勾股定理及其逆定理，以及這兩個(gè)定理的歷史與應(yīng)用，具體內(nèi)容如下：探索勾股定理；驗(yàn)證勾股定理；探索直角三角形的判別條件以及勾股定理及其逆定理的歷史與在實(shí)際生活中的應(yīng)用。其中，“探索勾股定理”是本章第一節(jié)，共三課時(shí)，本節(jié)課為第一課時(shí)。教材地位及作用勾股定理是平面幾何有關(guān)度量的一個(gè)重要定理，它揭示了直角三角形中三條邊之間的數(shù)量關(guān)系，是解直角三角形的重要工具。它在數(shù)學(xué)的發(fā)展史上起過重要的作用，在現(xiàn)實(shí)世界中也有著廣泛的作用。由于勾股定理能把形與數(shù)密切聯(lián)系起來

2、，是數(shù)與形結(jié)合的典范，而學(xué)生通過對(duì)勾股定理的學(xué)習(xí)，可以在原有的基礎(chǔ)上對(duì)直角三角形有進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)和理解，從而為后續(xù)學(xué)習(xí)解直角三角形打下基礎(chǔ)。二、學(xué)情分析知識(shí)基礎(chǔ)學(xué)生已學(xué)過直角三角形的相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)和常見幾何圖形（如直角三角形和正方形，梯形等）的面積計(jì)算方法。認(rèn)知水平八年級(jí)學(xué)生已具備了一定分析，判斷，推理及論證能力，但學(xué)生的邏輯推理能力以及分析問題解決問題的能力仍有待進(jìn)一步提高。 情感動(dòng)機(jī)初中階段的學(xué)生愛問好動(dòng)，求知欲強(qiáng)，想象力豐富，他們對(duì)實(shí)驗(yàn)，活動(dòng)，游戲等形式多樣的活動(dòng)式教學(xué)很感興趣，有較強(qiáng)的參與欲望，希望在課堂上能得到充分的展示和表現(xiàn)。三、教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能目標(biāo)1理解并掌握勾股定理及其證明. 2

3、了解勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用，并能利用勾股定理解決簡單的實(shí)際問題。過程與方法目標(biāo)1經(jīng)歷探索數(shù)格子的方法發(fā)現(xiàn)勾股定理，并利用拼圖的方法論證勾股定理的存在。2. 使學(xué)生在經(jīng)歷“觀察猜想歸納驗(yàn)證應(yīng)用”勾股定理的過程中，發(fā)展合情推理能力，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，方程思想和分類討論思想。情感與態(tài)度目標(biāo)1通過對(duì)勾股定理歷史的了解,感受數(shù)學(xué)文化，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣；2在探究活動(dòng)中，培養(yǎng)學(xué)生的合作交流意識(shí)和探索精神.四、重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)1.探索和證明勾股定理.2.運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問題。教學(xué)難點(diǎn)用拼圖方法證明勾股定理，并體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。突出重點(diǎn),突破難點(diǎn)的策略首先引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)格子的方法發(fā)現(xiàn)勾股定理,

4、對(duì)勾股定理進(jìn)行簡單應(yīng)用后,再引導(dǎo)學(xué)生利用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理.五、教法、學(xué)法教學(xué)模式： 本節(jié)課采用“引導(dǎo)探究發(fā)現(xiàn)驗(yàn)證”的教學(xué)模式。以學(xué)生為中心，引導(dǎo)學(xué)生在活動(dòng)中進(jìn)行探究，在師生，生生互動(dòng)交流中，發(fā)現(xiàn)勾股定理并采用拼圖法驗(yàn)證勾股定理。教師的教法：突出活動(dòng)的組織設(shè)計(jì)與方法的引導(dǎo)，為學(xué)生搭建參與和交流的平臺(tái)。學(xué)生的學(xué)法：突出探究與發(fā)現(xiàn)，通過游戲活動(dòng)，在動(dòng)手探究，自主思考，小組討論和互動(dòng)交流中，獲得本節(jié)課的知識(shí)與思想方法，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心。同時(shí)，通過對(duì)勾股定理歷史背景的了解，增進(jìn)熱愛數(shù)學(xué)的情感，形成新的學(xué)習(xí)動(dòng)力。六、教學(xué)媒體準(zhǔn)備教具：多媒體課件，四個(gè)全等的直角三角形學(xué)具：學(xué)案，四個(gè)全等的直角三角

5、形七、教學(xué)過程第一環(huán)節(jié) 創(chuàng)設(shè)情景，引入課題 人們一直在想：浩瀚無邊的宇宙中，是否存在著外星人?我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚教授曾做出一個(gè)大膽的建議,用勾股定理圖作為與 “外星人”聯(lián)系的信號(hào).那么,它究竟具有何種神奇的魅力能成為我們與外星聯(lián)系的工具?相信通過今天的學(xué)習(xí),咱們就能回答這個(gè)問題。下面我們就來進(jìn)行一場有趣的探索勾股之旅. 【設(shè)計(jì)說明】從學(xué)生感興趣的話題入手，創(chuàng)設(shè)情景，提出問題，留下懸念，以激發(fā)學(xué)生的求知欲，使學(xué)生帶著問題進(jìn)入本節(jié)課的學(xué)習(xí)。第二環(huán)節(jié) 探究勾股定理(1)猜想分別以直角ABC的三邊BC,AC,AB為邊，向外作三個(gè)正方形，若該三角形三邊長分別為a,b,c，你知道這三個(gè)正方形的面積存在

6、怎樣的關(guān)系嗎？(2)學(xué)生實(shí)驗(yàn)，探索發(fā)現(xiàn)（同桌合作，交流，限時(shí)2分鐘）1）觀察上圖：正方形A的面積是_ 個(gè)單位面積。正方形B的面積是 個(gè)單位面積。正方形C的面積是 個(gè)單位面積。2）問：你是如何數(shù)出C的面積的？數(shù)正方形C的方法：“補(bǔ)”的方法：C的面積=大正方形面積 - 4個(gè)小直角三角形面積“割”的方法：C的面積= 4個(gè)小直角三角形面積+小正方形面積 由此你能發(fā)現(xiàn)圖中的三個(gè)正方形的面積有什么關(guān)系嗎？S +S=S如果直角三角形三邊分別用a,b,c表示，則可將面積之間的關(guān)系轉(zhuǎn)換為直角三角形三邊長之間的數(shù)量關(guān)系：a+b=cabcabc直角三角形兩直角邊長的平方和等于斜邊長的平方。幾何描述：如果直角三角形兩

7、直角邊長分別為a、b,斜邊長為c，那么a+b=c。在古代，人們將較短的直角邊稱為勾，較長直角邊稱為股，斜邊稱為弦，因此人們將該定理命名為勾股弦定理，或勾股定理。注意：1.成立條件： 在直角三角形中2.公式變形: 3.作用：已知直角三角形任意兩邊長，可求第三邊長。第三環(huán)節(jié) 應(yīng)用勾股定理5小試牛刀51.求下列圖中未知數(shù)x的值.12xx812xx817（注：首先判斷x為直角邊還是斜邊）2. 受臺(tái)風(fēng)浣熊影響，一棵樹在離地面4米處斷裂，樹的頂部落在離樹根底部3米處，問這棵樹折斷前有多高？（樹干與地面垂直）（注：常用勾股數(shù)：勾3，股4，弦5；方程思想）再展身手DAEBC10DAEBC10 x25-x（為斜

8、邊；斜邊）注意：哪條邊是斜邊! （分類討論思想）15高手過招154.某條公路上有A、B兩站相距25km，C、D為兩個(gè)小鎮(zhèn)，DA=15km,CB=10km，現(xiàn)在要在公路邊上建設(shè)一個(gè)收購站E，使得它到兩鎮(zhèn)的距離相等，則E站應(yīng)建在距A站多少處? （方程思想）各顯神通5. 如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，請?jiān)趫D中找出若干個(gè)圖形，使得他們的面積之和恰好等于最大的正方形面積，嘗試給出兩種以上的方案。（引申：欣賞勾股樹）第四環(huán)節(jié) 驗(yàn)證勾股定理動(dòng)動(dòng)手1 （弦圖證法）你能用四個(gè)直角邊長是a、b(ba)，斜邊長c的全等三角形，拼成一個(gè)邊長為c的正方形嗎？（1）你能用幾種方式表示正方形AB

9、CD的面積？（2）由此你能得到怎樣的等式？你能利用該等式證明勾股定理嗎？基本方法：通過構(gòu)造幾何圖形,并利用不同方法去表示同一個(gè)幾何圖形的面積，來證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系的方法，既具嚴(yán)密性，又具直觀性，是數(shù)形結(jié)合的一個(gè)典范。（構(gòu)造法 ，面積法，數(shù)形結(jié)合思想）動(dòng)動(dòng)手2 （周元治證法）如果用四個(gè)直角邊長是a、b，斜邊長c的全等三角形，拼成一個(gè)邊長為（a+b）的正方形，你能根據(jù)所拼出的圖形，利用面積法證明勾股定理嗎？（圖略）總統(tǒng)證法用兩個(gè)直角邊長分別為a,b,斜邊長為c的直角三角形和一個(gè)以c為直角邊的等腰直角三角形拼成一個(gè)梯形。注:總統(tǒng)證法拼圖正好是周元治證法拼圖的一半！第五環(huán)節(jié) 勾股定理的歷史勾股定

10、理人類偉大的發(fā)現(xiàn)如果我們要找一個(gè)定理，它的出現(xiàn)稱得上是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的里程碑，那么勾股定理一定是最佳選擇,很多具有古老文化的民族和國家都會(huì)說：我們首先認(rèn)識(shí)的數(shù)學(xué)定理是勾股定理，因?yàn)樗从沉俗匀唤缁疽?guī)律,有文明的宇宙“人”都應(yīng)該認(rèn)識(shí)它，因而勾股定理圖被建議作為與“外星人”聯(lián)系的信號(hào)。同時(shí)它的發(fā)現(xiàn)和證明在世界數(shù)學(xué)史上也有著獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位。中國是最早發(fā)現(xiàn)和研究勾股定理的國家之一。我國古代著名的數(shù)學(xué)著作周髀算經(jīng)中曾記載，早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出了“勾三、股四、弦五”，所以勾股定理也稱為勾股弦定理或商高定理。 在西方，勾股定理被稱為畢達(dá)哥拉斯定理，相傳是古希臘數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯于公元

11、前550年首先發(fā)現(xiàn)并證明了該定理。據(jù)說當(dāng)他證明了勾股定理以后，欣喜若狂，殺牛百頭，以示慶賀。故西方亦稱勾股定理為“百牛定理”。 這就是傳說中的畢達(dá)哥拉斯證法。據(jù)了解，關(guān)于勾股定理的證明方法迄今為止已有500余種，各種證法融幾何知識(shí)與代數(shù)知識(shí)于一體，完美地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的魅力，可以說勾股定理的證法精彩紛呈，它是世界上證明方法最多的定理，也是聯(lián)系數(shù)學(xué)中數(shù)與形的第一定理。目前所能見到的最早的一種證法，屬于古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得。他的證法采用演繹推理的形式，記載在數(shù)學(xué)巨著幾何原本中。這是我國三國時(shí)期劉徽發(fā)明的青朱出入圖，采用出入相補(bǔ)的原理，巧妙的進(jìn)行證明，是著名的無字證明，我們在后面的課程中還將深入研究

12、。除此以外，歷史上還有許多證法,大部分都用到了數(shù)形結(jié)合的思想.對(duì)勾股定理證明方法感興趣的同學(xué)可以在課后通過網(wǎng)絡(luò), 查閱1940年出版過一本名為畢達(dá)哥拉斯命題的勾股定理的證明專輯, 其中收集了367種不同的證明方法,從中同學(xué)們可以繼續(xù)欣賞到各種精彩的勾股定理證法，了解有關(guān)勾股定理的歷史和中國古代數(shù)學(xué)家在這方面的貢獻(xiàn)。希望有一天，同學(xué)們也能創(chuàng)造出更多，更精妙的證明方法，為我們的數(shù)學(xué)研究貢獻(xiàn)自己的一份力量。第六環(huán)節(jié) 互動(dòng)交流,感悟收獲通過本節(jié)課的學(xué)習(xí),同學(xué)們都有哪些收獲和體會(huì)?老師寄語：如果別人思考數(shù)學(xué)的真理像我一樣深入持久， 他也會(huì)找到我的發(fā)現(xiàn)。 高斯八.設(shè)計(jì)說明(一)設(shè)計(jì)理念(1) 課堂教學(xué)中學(xué)

13、生是學(xué)習(xí)的主體，教師是組織者，引導(dǎo)者，本課通過豐富多彩的活動(dòng)設(shè)計(jì)和歷史素材的展現(xiàn)，讓學(xué)生主動(dòng)的進(jìn)行觀察，試驗(yàn)，猜測，驗(yàn)證，交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)，幫助學(xué)生有效的掌握知識(shí)和發(fā)展探究能力，突出了學(xué)生的主題地位。(2)數(shù)學(xué)教材不僅僅是數(shù)學(xué)知識(shí)的載體，還反映了一定的數(shù)學(xué)思想方法掌握并應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法去解決問題，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要目的，因此在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思想方法的提煉和總結(jié)在探索勾股定理一課中，我們運(yùn)用到了如下的數(shù)學(xué)思想方法：1.觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、驗(yàn)證的方法數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)往往需要通過觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、驗(yàn)證最后才能得到本節(jié)課從觀察格點(diǎn)圖中正方形面積引起思考，再通過操作實(shí)驗(yàn)，歸納出了直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系，

14、最后通過拼圖利用面積法驗(yàn)證了勾股定理這種探索問題的思想方法，有利于培養(yǎng)學(xué)生的探究能力2.數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想勾股定理本身就是數(shù)形結(jié)合的定理，它的驗(yàn)證和應(yīng)用，都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想3.方程思想由于勾股定理反映了直角三角形三邊長的數(shù)量關(guān)系，所以在應(yīng)用勾股定理解決問題時(shí)，要考慮應(yīng)用定理列方程來求解4.數(shù)學(xué)建模思想在解決實(shí)際應(yīng)用問題的過程中，有時(shí)需要構(gòu)建直角三角形模型，應(yīng)用勾股定理來求解(3)由于勾股定理具有學(xué)科的基礎(chǔ)性和廣泛的應(yīng)用，因此在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，東西方都很早就展開了對(duì)勾股定理的研究，產(chǎn)生了各種各樣的證明方法，并由此導(dǎo)出了無理數(shù)的概念，引發(fā)了數(shù)學(xué)史上第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，這些都可以引發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)文化，數(shù)

15、學(xué)歷史的思考，其學(xué)習(xí)具有豐富的文化內(nèi)涵。同時(shí)，在勾股定理的發(fā)現(xiàn)，驗(yàn)證中蘊(yùn)涵著豐富的思維材料，是發(fā)展學(xué)生探究能力不可多得的素材，因此在設(shè)計(jì)過程中，我們的教學(xué)目標(biāo)不僅是使學(xué)生掌握勾股定理，并運(yùn)用它們解決具體問題，而且要力圖讓學(xué)生經(jīng)歷勾股定理的探究過程，在探究過程中進(jìn)一步豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)歷，發(fā)展學(xué)生的推理能力和分析問題，解決問題的能力，同時(shí)感受勾股定理的文化價(jià)值。(二)教材處理在本節(jié)課中,結(jié)合任教班級(jí)學(xué)生的情況,我對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行了適當(dāng)調(diào)整和深化處理,并補(bǔ)充開發(fā)了一些學(xué)生較感興趣的課程資源充實(shí)本節(jié)課的教學(xué),具體如下:將教材第一節(jié)內(nèi)容增加了一個(gè)板塊驗(yàn)證勾股定理，使知識(shí)的呈現(xiàn)更據(jù)完整性。在設(shè)計(jì)勾股定理

16、的鞏固練習(xí)時(shí)，按照由易到難的原則，同時(shí)每個(gè)題目的選擇和講解都注意了數(shù)學(xué)思想和方法的滲透。在設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)時(shí)，由于考慮到過程的流暢性，有別于常規(guī)的“猜想探索歸納驗(yàn)證應(yīng)用”，而將過程設(shè)計(jì)為：“猜想探索歸納應(yīng)用驗(yàn)證介紹文化背景”。在驗(yàn)證板塊中，共提供了三種經(jīng)典證法，由于學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合法和面積法較陌生，讓學(xué)生獨(dú)立完成拼圖驗(yàn)證難度較大，因此第一種證法通過設(shè)計(jì)問題串引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手拼圖，層層設(shè)問，使學(xué)生自然而然找到驗(yàn)證方法。而第二種則放手讓學(xué)生獨(dú)立完成，以培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的能力。由于時(shí)間關(guān)系，第三種方法則采用直接介紹的方式，讓學(xué)生感受方法的簡潔與趣味，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。并由此引出勾股定理的豐富文化背景，使學(xué)

17、生在一個(gè)自然流暢的教學(xué)過程中感受勾股定理的神奇與偉大。 (三)評(píng)價(jià)方式根據(jù)課標(biāo)的評(píng)價(jià)理念,教學(xué)中我關(guān)注了學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中是否積極參與數(shù)格子和拼圖的探究活動(dòng),是否能與同學(xué)交流,進(jìn)行合作學(xué)習(xí);能否應(yīng)用所學(xué)的勾股定理知識(shí)來解決實(shí)際問題,能否利用數(shù)形結(jié)合思想來驗(yàn)證勾股定理.同時(shí)注意在教學(xué)過程中給予適當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià)和鼓勵(lì).(四)媒體應(yīng)用本節(jié)課充分利用多媒體強(qiáng)大的功能,把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問題的強(qiáng)有力工具,使學(xué)生樂意投入到現(xiàn)實(shí)的,探索性的教學(xué)活動(dòng)中去.(五)板書設(shè)計(jì)遵循布局合理,美觀大方的原則, 探索勾股定理 議練活動(dòng)一.勾股定理:直角三角形兩直角邊長的平方和等于斜邊長的平方.注:1.成立條件: 2.公式變形: 3.作用:二.鞏固應(yīng)用三.拼圖驗(yàn)證四.歷史五.小結(jié)感悟 (主板書) (輔助性板書)(六)目標(biāo)達(dá)成本課教學(xué)過程設(shè)計(jì)是緊緊圍繞目標(biāo)來進(jìn)行的,注重在課堂教學(xué)活動(dòng)中實(shí)現(xiàn)目標(biāo).活動(dòng)流程