衡水中學(xué)高三摸底考數(shù)學(xué)（理）

1、 數(shù)學(xué)（理）試題第卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 若集合，且，則集合可能是（ ） A B C D2. 復(fù)數(shù) 的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3. 已知平面向量滿(mǎn)足，且，則向量與夾角的余弦值為（ ）A B C D4. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸人的值為，則輸出的值為（ ）A B C D5. 已知數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，的值為（ ）A B C D6. 某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為扇形，則該幾何體的體積為（ ）A B C D7. 為了得到，只需將作如

2、下變換（ ）A 向右平移個(gè)單位 B向右平移個(gè)單位 C向左平移個(gè)單位 D向右平移個(gè)單位8. 若為不等式組，表示的平面區(qū)域，則當(dāng)從連續(xù)變化到時(shí)，動(dòng)直線掃過(guò)中的那部分區(qū)域的面積為（ ）A B C D9. 焦點(diǎn)在軸上的橢圓方程為 ，短軸的一個(gè)端點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)相連構(gòu)成一個(gè)三角形，該三角形內(nèi)切圓的半徑為，則橢圓的離心率為（ ）A B C D10. 在四面體中，二面角的余弦值是，則該四面體外接球的表面積是（ ）A B C D11. 已知函數(shù)，則關(guān)于的方程實(shí)根個(gè)數(shù)不可能為（ ）A 個(gè) B個(gè) C 個(gè) D 個(gè)12. 函數(shù)部分圖象如圖所示，且，對(duì)不同的，若，有，則（ ）A在上是減函數(shù) B在上是增函數(shù) C在上是減函數(shù)

3、D在上增減函數(shù)第卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿(mǎn)分20分，將答案填在答題紙上）13. 的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為 14. 已知拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為，雙曲線的左頂點(diǎn)為，若雙曲線一條漸近線與直線垂直，則實(shí)數(shù) 15. 如圖，為測(cè)量出山高，選擇和另一座山的山頂為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)，從點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的仰角點(diǎn)的仰角以及，從點(diǎn)測(cè)得，已知山高，則山高 16. 設(shè)函數(shù)，對(duì)任意，不等式恒成立，則正數(shù)的取值范圍是 三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.） 17. （本小題滿(mǎn)分12分）中國(guó)人口已經(jīng)出現(xiàn)老齡化與少子化并存的結(jié)構(gòu)特征，測(cè)算顯示中國(guó)是世界上人口老齡化速度最快的國(guó)家之一，再

4、不實(shí)施“放開(kāi)二胎”新政策，整個(gè)社會(huì)將會(huì)出現(xiàn)一系列的問(wèn)題，若某地區(qū)2015年人口總數(shù)為萬(wàn)，實(shí)施“放開(kāi)二胎”新政策后專(zhuān)家估計(jì)人口總數(shù)將發(fā)生如下變化：從2016年開(kāi)始到2025年每年人口比上年增加萬(wàn)人，從2026年開(kāi)始到2035年每年人口為上一年的.（1）求實(shí)施新政策后第年的人口總數(shù)的表達(dá)式（注：2016年為第一年）;（2）若新政策實(shí)施后的2016年到2035年人口平均值超過(guò)萬(wàn)，則需調(diào)整政策，否則繼續(xù)實(shí)施, 問(wèn)到2035年后是否需要調(diào)整政策？（說(shuō)明:）.18. （本小題滿(mǎn)分12分）如圖, 已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面, 平面平面,且,且. （1）設(shè)點(diǎn)為棱中點(diǎn), 在面內(nèi)是否存在點(diǎn),使得平面？

5、若存在, 請(qǐng)證明, 若不存在, 說(shuō)明理由;（2）求二面角的余弦值.19. （本小題滿(mǎn)分12分）某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成個(gè)等級(jí)，等級(jí)系數(shù)依次，其中為標(biāo)準(zhǔn)，為標(biāo)準(zhǔn).已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價(jià)為元/件; 乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價(jià)為元/件，假定甲、乙兩廠的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn).（1）已知甲廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的概率分布列如下所示：且的數(shù)學(xué)期望,求的值;（2）為分析乙廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件，相應(yīng)的等級(jí)系數(shù)組成一個(gè)樣本，數(shù)據(jù)如下:用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，求等級(jí)系數(shù)的數(shù)學(xué)期望；（3）在（1）、（2）的條件下，若以“性?xún)r(jià)比”為判斷標(biāo)準(zhǔn)

6、，則哪個(gè)工廠的產(chǎn)品更具可購(gòu)買(mǎi)性？說(shuō)明理由.注： 產(chǎn)品的“性?xún)r(jià)比”；“性?xún)r(jià)比”大的產(chǎn)品更具可購(gòu)買(mǎi)性.20. （本小題滿(mǎn)分12分）已知橢圓短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)的連線構(gòu)成等邊三角形，直線與圓相切.（1）求橢圓的方程;（2）已知橢圓的左頂點(diǎn)的兩條直線分別交橢圓于兩點(diǎn), 且,求證: 直線過(guò)定點(diǎn), 并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；(3) 在(2) 的條件下求面積的最大值.21. （本小題滿(mǎn)分12分）已知函數(shù)(常數(shù)).（1）證明: 當(dāng)時(shí), 函數(shù)有且只有一個(gè)極值點(diǎn);（2）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn),證明:.請(qǐng)考生在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.（本小題滿(mǎn)分10分）選修4-1：幾何證明選

7、講如圖, 四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn),點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上.（1）若,求的值;（2）若,證明:.23. （本小題滿(mǎn)分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)處，極軸與軸非負(fù)半軸重合，直線的參數(shù)方程為:為參數(shù)), 曲線的極坐標(biāo)方程為:.（1）寫(xiě)出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程;（2）設(shè)直線與曲線相交于兩點(diǎn), 求的值.24. （本小題滿(mǎn)分10分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù).（1）解不等式;（2）若對(duì)任意,都有,使得成立, 求實(shí)數(shù)的取值范圍. 河北省衡水中學(xué)2017屆高三摸底聯(lián)考（全國(guó)卷）數(shù)學(xué)（理）試題參考答案選擇題：每小題5分，共60分，每小題所給選項(xiàng)只

8、有一項(xiàng)符合題意.ADCBA DCDCB DB填空題：每題5分，共20分.13. 14. 15. 16. 三、解答題17.本題滿(mǎn)分12分解：（1）當(dāng)時(shí)，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，因此，新政策實(shí)施后第年的人口總數(shù)（單位：萬(wàn)）的表達(dá)式為 （2）設(shè) 為數(shù)列的前項(xiàng)和，則從 年到年共年，由等差數(shù)列及等比數(shù)列的求和公式得： 萬(wàn)新政策實(shí)施到年年人口均值為 故到年不需要調(diào)整政策 18本題滿(mǎn)分12分解：（1）連接，交于點(diǎn)，連接，則平面 證明：為中點(diǎn)，為中點(diǎn)為的中位線， 又平面平面平面平面=,平面,平面 ， 又，平面所以平面 （2）以A為原點(diǎn)，AE，AB，AD所在直線分別為軸，軸，軸建立坐標(biāo)系，平面PEA平面

9、PEA的法向量 另外，,設(shè)平面DPE的法向量，則，令，得 又為銳二面角,所以二面角的余弦值為 19本題滿(mǎn)分12分解：（1） ，即 = 1 * GB3 又由 的概率分布列得 = 2 * GB3 由 = 1 * GB3 = 2 * GB3 得 （2）由已知得，樣本的頻率分布表如下： 用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，可得等級(jí)系數(shù)X2的概率分布列如下： 所以， 即乙廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4.8. （3）乙廠的產(chǎn)品更具可購(gòu)買(mǎi)性，理由如下：因?yàn)榧讖S產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于 ，價(jià)格為 元/件，所以其性?xún)r(jià)比為因?yàn)橐覐S產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的期望等于 ，價(jià)格為 元/件，所以其性?xún)r(jià)比為 據(jù)此

10、，乙廠的產(chǎn)品更具可購(gòu)買(mǎi)性。 20本題滿(mǎn)分12分解：（1）由題意 即 （2）設(shè)，由得同理 i) 時(shí)， 過(guò)定點(diǎn)ii) 時(shí)過(guò)點(diǎn)過(guò)定點(diǎn)（3）由（2）知 令時(shí)取等號(hào)時(shí)去等號(hào)， 21本題滿(mǎn)分12分 解：依題意， 令，則. （1）當(dāng)時(shí)，所以無(wú)解，則函數(shù) 不存在大于零的極值點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，由，故在 單調(diào)遞增. 又，所以在有且只有一個(gè)零點(diǎn). 3分 又注意到在的零點(diǎn)左側(cè)，在的零點(diǎn)右側(cè)，所以函數(shù)在有且只有一個(gè)極值點(diǎn). 綜上所述，當(dāng) 時(shí)，函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn). 4分（2）因?yàn)楹瘮?shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)（不妨設(shè)），所以,是的兩個(gè)零點(diǎn)，且由（1）知，必有. 令得 ；令 得；令得.所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減， 6分又因?yàn)椋员赜? 令，解得， 8分此時(shí) .因?yàn)槭堑膬蓚€(gè)零點(diǎn)，所以，. 將代數(shù)式視為以為自變量的函數(shù)則 .當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，則在單調(diào)遞增.因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所? 當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，則在單調(diào)遞減，因?yàn)椋? 綜上知，且 12分22.本題滿(mǎn)分10分（1）解：因?yàn)?四點(diǎn)共圓；,又,又.（2）,又,又因?yàn)?四點(diǎn)共圓；.23本題滿(mǎn)分10分解：