圓錐曲線專項突破

1、.圓錐曲線專項突破1. 已知拋物線C：的焦點為原點,C的準線與直線的交點M在x軸上,與C交于不同的兩點A、B,線段AB的垂直平分線交x軸于點Np,0求拋物線C的方程；求實數(shù)p的取值范圍；若C的焦點和準線為橢圓Q的一個焦點和一條準線,試求Q的短軸的端點的軌跡方程2. 如圖,橢圓的中心在原點,長軸AA1在x軸上.以A、A1為焦點的雙曲線交橢圓于C、D、D1、C1四點,且|CD|AA1|.橢圓的一條弦AC交雙曲線于E,設,當時,求雙曲線的離心率e的取值范圍.3. 已知三角形ABC的三個頂點均在橢圓上,且點A是橢圓短軸的一個端點點A在y軸正半軸上.若三角形ABC的重心是橢圓的右焦點,試求直線BC的方程

2、;若角A為,AD垂直BC于D,試求點D的軌跡方程.4. 如圖,過拋物線的對稱軸上任一點作直線與拋物線交于兩點,點是點關于原點的對稱點. 設點分有向線段所成的比為,證明:; 設直線的方程是,過兩點的圓與拋物線在點處有共同的切線,求圓的方程.5. 已知動點Pp,-1,Qp,過Q作斜率為的直線l,P Q中點M的軌跡為曲線C.1證明：l經(jīng)過一個定點而且與曲線C一定有兩個公共點；2若1中的其中一個公共點為A,證明：AP是曲線C的切線；3設直線AP的傾斜角為,AP與l的夾角為,證明：或是定值.6. 在平面直角坐標系內(nèi)有兩個定點和動點P,坐標分別為、,動點滿足,動點的軌跡為曲線,曲線關于直線的對稱曲線為曲線

3、,直線與曲線交于A、B兩點,O是坐標原點,ABO的面積為,1求曲線C的方程；2求的值。7. 已知雙曲線的左右兩個焦點分別為,點P在雙曲線右支上.若當點P的坐標為時,求雙曲線的方程；若,求雙曲線離心率的最值,并寫出此時雙曲線的漸進線方程.8. 若F、F為雙曲線的左右焦點,O為坐標原點,P在雙曲線的左支上,點M在右準線上,且滿足；.1求該雙曲線的離心率；2若該雙曲線過N2,求雙曲線的方程；3若過N2,的雙曲線的虛軸端點分別為B、BB在y軸正半軸上,點A、B在雙曲線上,且時,直線AB的方程.9. 以O為原點,所在直線為軸,建立如所示的坐標系。設,點F的坐標為,點G的坐標為。1求關于的函數(shù)的表達式,判

4、斷函數(shù)的單調性,并證明你的判斷；2設OFG的面積,若以O為中心,F為焦點的橢圓經(jīng)過點G,求當取最小值時橢圓的方程；3在2的條件下,若點P的坐標為,C、D是橢圓上的兩點,且,求實數(shù)的取值范圍。10. 已知點C為圓的圓心,點A1,0,P是圓上的動點,點Q在圓的半徑CP上,且當點P在圓上運動時,求點Q的軌跡方程；若直線與中所求點Q的軌跡交于不同兩點F,H,O是坐標原點,且,求FOH的面積的取值范圍。11. 如圖所示,O是線段AB的中點,|AB|2c,以點A為圓心,2a為半徑作一圓,其中。AAOB1若圓A外的動點P到B的距離等于它到圓周的最短距離,建立適當坐標系,求動點P的軌跡方程,并說明軌跡是何種曲

5、線；2經(jīng)過點O的直線l與直線AB成60角,當c2,a1時,動點P的軌跡記為E,設過點B的直線m交曲線E于M、N兩點,且點M在直線AB的上方,求點M到直線l的距離d的取值范圍。12. 設O為坐標原點,曲線上有兩點P、Q滿足關于直線對稱,又以PQ為直徑的圓過O點.1求的值; 2求直線PQ的方程.13. 在平面直角坐標系中,若,且,1求動點的軌跡的方程；2已知定點,若斜率為的直線過點并與軌跡交于不同的兩點,且對于軌跡上任意一點,都存在,使得成立,試求出滿足條件的實數(shù)的值。14. 已知雙曲線a0,b0的右準線一條漸近線交于兩點P、Q,F是雙曲線的右焦點。I求證：PF；II若PQF為等邊三角形,且直線y

6、=x+b交雙曲線于A,B兩點,且,求雙曲線的方程；III延長FP交雙曲線左準線和左支分別為點M、N,若M為PN的中點,求雙曲線的離心率e。15. 已知又曲線在左右頂點分別是A,B,點P是其右準線上的一點,若點A關于點P的對稱點是M,點P關于點B的對稱點是N,且M、N都在此雙曲線上。I求此雙曲線的方程；II求直線MN的傾斜角。16. 如圖,在直角坐標系中,點A-1,0,B1,0,Px,y。設與x軸正方向的夾角分別為、,若。I求點P的軌跡G的方程；II設過點C0,-1的直線與軌跡G交于不同兩點M、N。問在x軸上是否存在一點,使MNE為正三角形。若存在求出值；若不存在說明理由。17. 設橢圓過點,且

7、焦點為。1求橢圓的方程；2當過點的動直線與橢圓相交與兩不同點A、B時,在線段上取點,滿足,證明：點總在某定直線上。18. 平面直角坐標系中,O為坐標原點,給定兩點A1,0、B0,2,點C滿足、1求點C的軌跡方程；2設點C的軌跡與雙曲線交于兩點M、N,且以MN為直徑的圓過原點,求證：.19. 設,、分別為軸、軸上的點,且,動點滿足：.1求動點的軌跡的方程；2過定點任意作一條直線與曲線交與不同的兩點、,問在軸上是否存在一定點,使得直線、的傾斜角互補？若存在,求出點的坐標；若不存在,請說明理由.20. 如圖,直角梯形ABCD中,ADBC,AB=2,AD=,BC=橢圓F以A、B為焦點,且經(jīng)過點D,建立

8、適當?shù)闹苯亲鴺讼?求橢圓F的方程；CBDA是否存在直線與兩點,且線段,若存在,求直線的方程；若不存在,說明理由.CBDA參考答案及解析1.解：I由題意,拋物線頂點為n,0,又焦點為原點m0準線方程且有m=4n. 準線與直線交點在x軸上,交點為又與x軸交于2,0,m=4,n=1拋物線方程為y2=4x+1 II由1k1且k0 AB的中垂線方程為得p2,+ III拋物線焦點F0,0,準線x=2x=2是Q的左準線設Q的中心為Ox,0,則短軸端點為x,y 若F為左焦點,則c=x0,b=|y|a2=b2+c2=x2+y2依左準線方程有即y2=2x x0 若F為右焦點,則x0,故c=x,b=|y|a2=b2

9、+c2=x2+y2 依左準線方程有即化簡得2x2+2x+y2=0即x0,y0 2.解：建立如原題圖所示的坐標系,則AB的方程為由于點P在AB上,可設P點的坐標為則長方形面積化簡得易知,當21解：設Ac,0,A1,則其中c為雙曲線的半焦距,h為C、D到x軸的距離即E點坐標為設雙曲線的方程為,將代入方程,得將代入式,整理得消去由于3.解：1設B,C,BC中點為,F則有兩式作差有 F為三角形重心,所以由,得由得,代入1得直線BC的方程為2由ABAC得2設直線BC方程為,得,代入2式得,解得或直線過定點0,設Dx,y則即所以所求點D的軌跡方程是。4.解： 依題意,可設直線的方程為代入拋物線方程得設兩點

10、的坐標分別是、是方程的兩根.所以由點分有向線段所成的比為,得又點與點關于原點對稱,故點的坐標是,從而. 所以 由得點的坐標分別是6,9、4,4, 由得所以拋物線在點處切線的斜率為, 設圓的圓心為, 方程是則解得則圓的方程是5.解：1直線l的方程是：,即,經(jīng)過定點0,1；又Mp,設x= p,y=,消去p,得到的軌跡方程為：.由有,其中=4p2+16,所以l經(jīng)過一個定點而且與曲線C一定有兩個公共點.2由,設A,則=,又函數(shù)的導函數(shù)為,故A處的切線的斜率也是,從而AP是曲線C的切線.對于另一個解同樣可證.3當A時,tan=,tan=,tantan=1,又易知與都是銳角,所以=90；當A時,tan=,

11、tan=, tantan=-1,又易知是鈍角,都是銳角,所以=90.總之或是定值.6.解：1設P點坐標為,則,化簡得,所以曲線C的方程為；2曲線C是以為圓心,為半徑的圓,曲線也應該是一個半徑為的圓,點關于直線的對稱點的坐標為,所以曲線的方程為,該圓的圓心到直線的距離為,或,所以,或。7.解：由題意知, ,1分解得. 由雙曲線定義得: ,所求雙曲線的方程為: 設,設P的坐標為, 由焦半徑公式得,的最大值為2,無最小值. 此時,此時雙曲線的漸進線方程為8.解：1由知四邊形PF為平行四邊形,OP平分,平行四邊形PFOM 為菱形,又.2雙曲線的方程為所求雙曲線的方程為3依題意得、B、B共線,不妨設直線

12、AB為：y=kx-3,A|CA|=2,于是點 Q的軌跡是以點C,A為焦點,半焦距c=1,長半軸a=的橢圓,短半軸點Q的軌跡E方程是：. 2設x1,y1Hx2,y2,則由,消去y得又點O到直線FH的距離d=1,11.解：1以直線AB為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標系,則Ac,0,Bc,0依題意：點P的軌跡為以A、B為焦點,實半軸為a,虛半軸為的雙曲線右支軌跡方程為：。2設M,N,依題意知曲線E的方程為,l的方程為設直線m的方程為由方程組,消去y得直線與雙曲線右支交于不同的兩點及,從而由得解得且當x2時,直線m垂直于x軸,符合條件,又設M到l的距離為d,則設,由于函數(shù)與均為區(qū)間的增函

13、數(shù)在單調遞減的最大值又而M的橫坐標,12.解： 曲線表示以為圓心,以3為半徑的圓, 圓上兩點P、Q滿足關于直線對稱,則圓心在直線上,代入解得直線PQ與直線垂直,所以設PQ方程為,.將直線與圓的方程聯(lián)立得由解得.又以PQ為直徑的圓過O點解得故所求直線方程為13.解：1,且,動點到兩個定點的距離的和為4,軌跡是以為焦點的橢圓,方程為2設,直線的方程為,代入,消去得,由得,且,設點,由可得點在上,又因為的任意性,又,得,代入檢驗,滿足條件,故的值是。14.解： 不妨設., F.設k2=k1k2=1.即PF. 2由題. x2bxb2=0, a=1, 雙曲線方程為3 y= MN.又N在雙曲線上。e=15.解：I點A、B的坐標為A-3,0,B3,0,設點P、M、N的坐標依次為則有 4-得,解得c=5故所求方程是II由得,所以,M、N的坐標為所以MN的傾斜角是16.解：I由已知,當時,當時,也滿足方程所求軌跡G方程為II假設存在點,使為正設直線方程：代入得：MN中點在正EMN中,與矛盾不存在這樣的點使MNE為正17.解：1由題意：,解得,所求橢圓方程為2解：設過P的直線方程為：,設,則,即,化簡得：,去分母展開得：化簡得：,解得：又Q在直線上,即,Q恒在直線上。18.解：1解：設即點C的軌跡方程為x+y=1 19.解：1