培訓(xùn)上3穩(wěn)定性

1、數(shù)學(xué)模型 微分方程穩(wěn)定性方法建模講義下載：,密碼:math00001 對(duì)象仍是動(dòng)態(tài)過(guò)程，建模目的變成了時(shí)間充分長(zhǎng)以后會(huì)如何？即研究事物最終的發(fā)展趨勢(shì)。 借助微分方程穩(wěn)定性理論，不求解微分方程，描述事物某些特征的最終穩(wěn)定狀態(tài)。穩(wěn)定性模型比如，商品的價(jià)格與其價(jià)值的變化關(guān)系；食肉動(dòng)物與草食性動(dòng)物數(shù)量的變化規(guī)律；侵入人體的病菌與白血球的數(shù)量變化關(guān)系。隨著時(shí)間的推移，最終的結(jié)局是什么？2穩(wěn)定性模型 由于諸多偶然因素以及參數(shù)變化的影響，通常微分方程用來(lái)做長(zhǎng)期預(yù)測(cè)，效果并不夠好，在精度上難以讓人滿意。如各種人口模型。 不過(guò)即便誤差很大，但微分方程穩(wěn)定性模型反映出來(lái)的發(fā)展趨勢(shì)還是有借鑒意義的。 另外，很多微分

2、方程穩(wěn)定性模型的最終目的并不是預(yù)測(cè)，而是尋找控制手段。3事物發(fā)展的穩(wěn)定與不穩(wěn)定t這些現(xiàn)象在現(xiàn)實(shí)中都有實(shí)用背景和研究?jī)r(jià)值4微分、差分方程穩(wěn)定性理論簡(jiǎn)介常微分方程穩(wěn)定性理論差分方程穩(wěn)定性理論參考書(shū)：常微分方程幾何理論與分支問(wèn)題， 張錦炎，北京大學(xué)出版社 涉及“常微分方程定性理論”的其他書(shū)籍。5一、常微分方程穩(wěn)定性理論1、一階微分方程 方程右端不顯含t6平衡點(diǎn)穩(wěn)定的幾何特征txx0穩(wěn)定不穩(wěn)定7一階微分方程通常判斷平衡點(diǎn)穩(wěn)定性有兩種方法，直接求解法和定性分析法。定性分析法1、若方程為線性，即 f(x) = ax + b，則 a 0不穩(wěn)定；2、若方程為非線性，即 x ( t ) = f(x) ，考慮 f

3、 (x0) 。 f (x0) 0不穩(wěn)定。82、二階微分方程所以討論二階微分方程的穩(wěn)定性往往就歸結(jié)為對(duì)二維一階方程組的討論9二階微分方程求方程組的平衡點(diǎn)，即求解下面設(shè)法給出P0穩(wěn)定的判斷準(zhǔn)則。10二階微分方程首先將方程組線性化：其系數(shù)矩陣為：11二階微分方程二階微分方程的穩(wěn)定性由 p 和 q 的正負(fù)決定。p 0 且 q 0 時(shí)平衡點(diǎn) P0 穩(wěn)定；p 0 或 q 1(11(21)不穩(wěn)定1120而且q0192.2 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性根據(jù)前面的方法不能給出各個(gè)平衡點(diǎn)全部的穩(wěn)定性條件。下面對(duì)1 和 2 分情況討論平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性條件。 考慮轉(zhuǎn)到相平面上，即在 x1 - x2 平面上研究方程解沿著 t 增加所表

4、現(xiàn)出的趨勢(shì)。x1(t) = r1x1(1-x1/N1-1x2/N2)x2(t) = r2x2(1-2x1/N1-x2/N2)可知，在任意時(shí)刻， x1(t)和x2(t)是增是減由 =1-x1/N1-1x2/N2 和 =1-2x1/N1-x2/N2 決定。201、 11S1S2S3O N1/ 2 N1 x1x2N2/ 1N2=0=0這時(shí) =0 和 =0 將相平面分為三個(gè)區(qū)域：S1：x10, x20;S2：x10, x20;S3：x10, x21，21，P2穩(wěn)定 3、 11，21，21，方程的解不存在統(tǒng)一的發(fā)展趨勢(shì)。23一(2)生物互惠共生模型甲乙兩種群的相互依存有三種形式1) 甲可以獨(dú)自生存，乙不

5、能；甲乙一起生存時(shí)相互提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)。2) 甲乙均可以獨(dú)自生存；甲乙一起生存時(shí)相互提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)。3) 甲乙均不能獨(dú)自生存；甲乙一起生存時(shí)相互提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)。24第一種情形模型假設(shè) 甲可以獨(dú)自生存，數(shù)量變化服從Logistic規(guī)律; 甲乙一起生存時(shí)乙為甲提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)。 乙不能獨(dú)自生存；甲乙一起生存時(shí)甲為乙提供食物、促進(jìn)增長(zhǎng)；乙的增長(zhǎng)又受到本身的阻滯作用 (服從Logistic規(guī)律)。模型乙為甲提供食物是甲消耗的1 倍甲為乙提供食物是乙消耗的2 倍25平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析平衡點(diǎn)有三個(gè)：P1(N1, 0), P3(0, 0) 26種群依存模型的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性P2是甲乙相互依存而共生的

6、平衡點(diǎn)穩(wěn)定條件不穩(wěn)定平衡點(diǎn)270 11, 121 P2穩(wěn)定28模型結(jié)果分析121 前提下P2存在的必要條件2 1 甲必須為乙提供足夠的食物甲為乙提供的食物是乙消耗的 2 倍11, 121條件下使121 成立 P2穩(wěn)定條件：11, 12 0P: 臨界狀態(tài) q 0P 不穩(wěn)定 32tx(t)y(t)020.00004.00000.100021.24063.96510.200022.56493.94050.300023.97633.92695.10009.616216.72355.2000 9.017316.20649.500018.47504.04479.600019.61363.99689.700

7、020.83113.9587用數(shù)學(xué)軟件MATLAB求微分方程數(shù)值解xy 平面上的相軌線33計(jì)算結(jié)果（數(shù)值，圖形）x(t), y(t)是周期函數(shù)，相圖(x,y)是封閉曲線觀察，猜測(cè)x(t), y(t)的周期約為9.6xmax 65.5, xmin 6, ymax 20.5, ymin 3.9用數(shù)值積分可算出 x(t), y(t)一周期的平均值：x(t)的平均值約為25, y(t)的平均值約為10。34平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析 消去dt用相軌線分析 點(diǎn)穩(wěn)定性c 由初始條件確定取指數(shù)35x0fmf(x)x0g(y)gmy0y0在相平面上討論相軌線的圖形用相軌線分析 點(diǎn)穩(wěn)定性相軌線時(shí)無(wú)相軌線以下設(shè)36穩(wěn)定性分

8、析Py0 x0 x2x1取定xx1 , x2 ,xy2y137模型結(jié)果分析Py0 x0對(duì)應(yīng)于每一個(gè)c，都有一條閉軌線T3 T2T4 T138模型解釋r 食餌增長(zhǎng)率d 捕食者死亡率b 食餌供養(yǎng)捕食者能力捕食者 數(shù)量食餌數(shù)量a 捕食者掠取食餌能力捕食者數(shù)量與r成正比, 與a成反比食餌數(shù)量與d成正比, 與b成反比Pr/ad/b39四、市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型在自由竟?fàn)幍氖袌?chǎng)經(jīng)濟(jì)中，從生產(chǎn)者、消費(fèi)者兩方面來(lái)討論商品生產(chǎn)隨價(jià)格變化的規(guī)律，即討論生產(chǎn)數(shù)量與產(chǎn)品價(jià)格之間的關(guān)系。經(jīng)濟(jì)發(fā)展無(wú)論是“大起”還是“大落”，都存在風(fēng)險(xiǎn)，理想的經(jīng)濟(jì)發(fā)展模式是漸進(jìn)式的增長(zhǎng)。改革開(kāi)放之初，彩電、冰箱、洗衣機(jī)需求增長(zhǎng)和快，于是不斷

9、地有新的廠商誕生，產(chǎn)品單一但市場(chǎng)供不應(yīng)求，廠家都能贏利不過(guò)很快社會(huì)需求基本飽和，而社會(huì)的生產(chǎn)能力嚴(yán)重過(guò)剩，大批企業(yè)虧損、轉(zhuǎn)產(chǎn)，陷入衰落。此類反復(fù)，對(duì)社會(huì)經(jīng)濟(jì)損害巨大，社會(huì)財(cái)富被浪費(fèi)。后來(lái)鋼鐵、水泥、化工、計(jì)算機(jī)、MP3、手機(jī)、建筑業(yè)、汽車等等，都產(chǎn)生了一次又一次的經(jīng)濟(jì)波浪。40在自由竟?fàn)幍氖袌?chǎng)經(jīng)濟(jì)中，從生產(chǎn)者、消費(fèi)者兩方面來(lái)討論商品生產(chǎn)隨價(jià)格變化的規(guī)律，即討論生產(chǎn)數(shù)量與產(chǎn)品價(jià)格之間的關(guān)系。41市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的一個(gè)典型現(xiàn)象：供大于求價(jià)格下跌生產(chǎn)者減產(chǎn)供不應(yīng)求價(jià)格上升生產(chǎn)者增產(chǎn)這樣的震蕩有兩種發(fā)展趨勢(shì)：振幅越來(lái)越大導(dǎo)致經(jīng)濟(jì)崩潰；振幅趨于平穩(wěn)。推出新品42下面設(shè)法建立模型來(lái)描述這個(gè)震

10、蕩過(guò)程，以及影響其發(fā)展趨勢(shì)的因素。一、圖形法建模記 x 為生產(chǎn)數(shù)量，y 為產(chǎn)品單價(jià)。從消費(fèi)者的角度出發(fā)，價(jià)格是數(shù)量的減函數(shù)： y = f (x)需求函數(shù)，反映消費(fèi)者對(duì)商 品的需求。從生產(chǎn)者的角度出發(fā)，數(shù)量是價(jià)格的增函數(shù)： x = g(y) 供應(yīng)函數(shù)，與生產(chǎn)者的生產(chǎn) 能力、經(jīng)營(yíng)水平有關(guān)。43蛛網(wǎng)模型時(shí)間是連續(xù)變化的，但有些商品是有季節(jié)性的，比如一些農(nóng)產(chǎn)品、牲畜等商品。下面我們可以將時(shí)間按照商品的生產(chǎn)周期離散化處理。k = 1,2,記 xk, yk分別為第 k 時(shí)段商品的產(chǎn)量與價(jià)格。44在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出需求函數(shù)和供給函數(shù)：?jiǎn)栴}：k時(shí)，Pk(xk, yk)的變化趨勢(shì)如何？圖中兩條曲線有一交點(diǎn)，不妨

11、記之為P0(x0, y0)，即蛛網(wǎng)模型差分方程組的平衡點(diǎn)。如果 f 、g 是圖中的情形，那么給定一個(gè)初始狀態(tài)，最終經(jīng)濟(jì)將趨于穩(wěn)定.注意： f 單減，g 單增45如果 f 、g 是圖中的情形，那么給定一個(gè)初始狀態(tài)，最終經(jīng)濟(jì)將趨于不穩(wěn)定， P0不是一個(gè)穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。O yx f g 通過(guò)圖示法中需求、供給函數(shù)的形式，分析市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的穩(wěn)定，這樣的模型就稱為“蛛網(wǎng)模型”。那么究竟在什么情況下市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)將趨于穩(wěn)定？在什么情況下市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)將趨于不穩(wěn)定？46對(duì)比兩個(gè)圖形不難看出，穩(wěn)定予否取決于 P0 附近 f 和 g 的斜率。記K f = | f 在P0點(diǎn)的斜率 |，K g = | g 在P0點(diǎn)的斜率 |。則：O yx f g P1 P2