高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

1、高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用1第1頁，共42頁，2022年，5月20日，21點24分，星期四第一節(jié)一、區(qū)域二、多元函數(shù)的概念三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的基本概念 2第2頁，共42頁，2022年，5月20日，21點24分，星期四一、 區(qū)域1. 鄰域點集稱為點 P0 的鄰域.例如,在平面上,(圓鄰域)3第3頁，共42頁，2022年，5月20日，21點24分，星期四說明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑 ,也可寫成點 P0 的去心鄰域記為在空間中,(球鄰域)4第4頁，共42頁，2022年，5月20日，21點24分，星期四在討論實際問題中也常使用方鄰域,平面上的方鄰域為。因為方鄰域與圓鄰域可

2、以互相包含.5第5頁，共42頁，2022年，5月20日，21點24分，星期四2. 區(qū)域(1) 內(nèi)點、外點、邊界點設(shè)有點集 E 及一點 P : 若存在點 P 的某鄰域 U(P) E , 若存在點 P 的某鄰域 U(P) E = , 若對點 P 的任一鄰域 U(P) 既含 E中的內(nèi)點也 含 E的外點 ,則稱 P 為 E 的內(nèi)點；則稱 P 為 E 的外點 ;則稱 P 為 E 的邊界點 .顯然, E 的內(nèi)點必屬于 E , E 的外點必不屬于 E , E 的邊界點可能屬于 E, 也可能不屬于 E . 6第6頁，共42頁，2022年，5月20日，21點24分，星期四(2) 聚點若對任意給定的 ,點P 的去

3、心鄰域內(nèi)總有E 中的點 , 則稱 P 是 E 的聚點.3.聚點可以屬于 E , 也可以不屬于 E (因為聚點可以為 E 的邊界點 )1.內(nèi)點一定是聚點；說明：2.邊界點可能是聚點；7第7頁，共42頁，2022年，5月20日，21點24分，星期四例如,(0,0) 是聚點但不屬于集合例如,邊界上的點都是聚點也都屬于集合例如,(0,0)既是邊界點也是聚點8第8頁，共42頁，2022年，5月20日，21點24分，星期四D(3) 開區(qū)域及閉區(qū)域 若點集 E 的點都是內(nèi)點，則稱 E 為開集； 若點集 E E , 則稱 E 為閉集； 若集 D 中任意兩點都可用一完全屬于 D 的折線相連 ,則稱 D 是連通的

4、 ; 開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域. 連通的開集稱為開區(qū)域 ,簡稱區(qū)域 ;。 。 E 的邊界點的全體稱為 E 的邊界, 記作E ;9第9頁，共42頁，2022年，5月20日，21點24分，星期四例如，在平面上開區(qū)域閉區(qū)域10第10頁，共42頁，2022年，5月20日，21點24分，星期四 整個平面 點集 是開集， 是最大的開域 , 也是最大的閉域；但非區(qū)域 .o11第11頁，共42頁，2022年，5月20日，21點24分，星期四有界閉區(qū)域；無界開區(qū)域例如，12第12頁，共42頁，2022年，5月20日，21點24分，星期四3. n 維空間n 元有序數(shù)組的全體稱為 n 維空間,n 維空間中的

5、每一個元素稱為空間中稱為該點的第 k 個坐標(biāo) .記作即的一個點, 當(dāng)所有坐標(biāo)稱該元素為 中的零元,記作 O .13第13頁，共42頁，2022年，5月20日，21點24分，星期四的距離記作中點 a 的 鄰域為規(guī)定為 與零元 O 的距離為14第14頁，共42頁，2022年，5月20日，21點24分，星期四二、多元函數(shù)的概念 引例: 圓柱體的體積 三角形面積的海倫公式15第15頁，共42頁，2022年，5月20日，21點24分，星期四二元函數(shù)的定義類似地可定義三元及三元以上函數(shù)16第16頁，共42頁，2022年，5月20日，21點24分，星期四定義1. 設(shè)非空點集點集 D 稱為函數(shù)的定義域 ; 數(shù)

6、集稱為函數(shù)的值域 .特別地 , 當(dāng) n = 2 時, 有二元函數(shù)當(dāng) n = 3 時, 有三元函數(shù)映射稱為定義在 D 上的 n 元函數(shù) , 記作17第17頁，共42頁，2022年，5月20日，21點24分，星期四二元函數(shù) 的圖形（如下頁圖）18第18頁，共42頁，2022年，5月20日，21點24分，星期四二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.19第19頁，共42頁，2022年，5月20日，21點24分，星期四例如,圖形如右圖.例如,左圖球面.單值分支:20第20頁，共42頁，2022年，5月20日，21點24分，星期四例1 求 的定義域解所求定義域為21第21頁，共42頁，2022年，5月20日，21

7、點24分，星期四例2 求 的定義域解：要使函數(shù)有意義，必須即定義域22第22頁，共42頁，2022年，5月20日，21點24分，星期四定義2. 設(shè) n 元函數(shù)則稱 A 為函數(shù)(也稱為 n 重極限)當(dāng) n =2 時, 記P0 是 D 的聚點若存在常數(shù) A ,使得:記作都有三、多元函數(shù)的極限23第23頁，共42頁，2022年，5月20日，21點24分，星期四說明：（1）定義中 的方式是任意的；（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限（3）二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似24第24頁，共42頁，2022年，5月20日，21點24分，星期四僅知其中一個存在,推不出其它二者存在.(4)二重極限不同. 如果它

8、們都存在, 則三者相等.例如,顯然與累次極限由后例6 知它在(0,0)點二重極限不存在 .25第25頁，共42頁，2022年，5月20日，21點24分，星期四例3 求證 證當(dāng) 時，原結(jié)論成立26第26頁，共42頁，2022年，5月20日，21點24分，星期四例4 求極限 當(dāng) 時，所以解27第27頁，共42頁，2022年，5月20日，21點24分，星期四例5 求極限 解其中28第28頁，共42頁，2022年，5月20日，21點24分，星期四趨于不同值或有的極限不存在，解: 設(shè) P(x , y) 沿直線 y = k x 趨于點 (0, 0) ,在點 (0, 0) 沒有極限.則可以斷定函數(shù)則有k 值

9、不同極限不同 !在 (0,0) 點極限不存在 . 若當(dāng)點以不同方式趨于極限不存在 .例6. 證明函數(shù)函數(shù)29第29頁，共42頁，2022年，5月20日，21點24分，星期四例7 證明 不存在 證取其值隨k的不同而變化，故極限不存在30第30頁，共42頁，2022年，5月20日，21點24分，星期四確定極限不存在的方法：31第31頁，共42頁，2022年，5月20日，21點24分，星期四四、多元函數(shù)的連續(xù)性定義3 . 設(shè) n 元函數(shù)定義在 D 上,如果函數(shù)在 D 上各點處都連續(xù), 則稱此函數(shù)在 D 上連續(xù).如果存在否則稱為不連續(xù),此時稱為間斷點 .則稱 n 元函數(shù)連續(xù), 32第32頁，共42頁，

10、2022年，5月20日，21點24分，星期四例如, 函數(shù)在點(0 , 0) 極限不存在, 又如, 函數(shù)上間斷. 故 ( 0, 0 )為其間斷點.在圓周33第33頁，共42頁，2022年，5月20日，21點24分，星期四例9 討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性解： 由前面的討論可知，所以該函數(shù)在原點連續(xù)。34第34頁，共42頁，2022年，5月20日，21點24分，星期四多元初等函數(shù)：由多元多項式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域結(jié)論: 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).35第35頁，共42頁，2022

11、年，5月20日，21點24分，星期四解: 原式例11.求36第36頁，共42頁，2022年，5月20日，21點24分，星期四定理：若 f (P) 在有界閉域 D 上連續(xù), 則在 D 上至少可取得最大值 M 及最小值 m 一次;(3) 對任意(有界性定理) (最值定理) (介值定理) 閉域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的如下性質(zhì):(證明略) 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次37第37頁，共42頁，2022年，5月20日，21點24分，星期四思考題38第38頁，共42頁，2022年，5月20日，21點24分，星期四思考題解答不能.例取但是 不存在.原因為若取39第39頁，共42頁，2022年，5月20日，21點24分，星期四 作業(yè)P11 5 (2), (4), (6); 6 (2), (3), (5), (6); 7.40第40頁，共42頁，2022年，5月20日，21點24分，星期四課后解答