離散數(shù)學(xué)第十一章 半群與群課件

1、第11章 半群與群本章內(nèi)容11.1 半群與獨異點11.2 群的定義與性質(zhì)11.3 子群11.4 陪集與拉格朗日定理11.5 正規(guī)子群與商群11.6 群的同態(tài)與同構(gòu)11.7 循環(huán)群與置換群 本章總結(jié) 例題選講 作業(yè)11.1 半群與獨異點半群與獨異點都是具有一個二元運算的代數(shù)系統(tǒng)。半群與獨異點的定義，及其子代數(shù)的說明。半群與獨異點的冪運算。半群與獨異點的同態(tài)映射。半群與獨異點 定義11.1 (1)設(shè)V是代數(shù)系統(tǒng)，為二元運算，如果運算是可結(jié)合的，則稱V為半群（semigroup）。(2)設(shè)V是半群,若eS是關(guān)于運算的單位元,則稱V是含幺半群，也叫做獨異點（monoid）。有時也將獨異點V記作V。 半

2、群與獨異點的實例，都是半群,+是普通加法。這些半群中除外都是獨異點。設(shè)n是大于1的正整數(shù),和都是半群,也都是獨異點,其中+和分別表示矩陣加法和矩陣乘法。為半群,也是獨異點,其中為集合的對稱差運算。為半群,也是獨異點,其中Zn0,1,n-1,為模n加法。為半群,也是獨異點,其中為函數(shù)的復(fù)合運算。為半群,其中R為非零實數(shù)集合,運算定義如下： x,yR, xyy半群中元素的冪由于半群V中的運算是可結(jié)合的,可以定義元素的冪,對任意xS,規(guī)定：x1xxn+1xn x, nZ+ 用數(shù)學(xué)歸納法不難證明x的冪遵從以下運算規(guī)則：xn xmxn+m(xn)mxnm m,nZ+普通乘法的冪、關(guān)系的冪、矩陣乘法的冪等

3、都遵從這個冪運算規(guī)則。獨異點中的冪獨異點是特殊的半群，可以把半群的冪運算推廣到獨異點中去。由于獨異點V中含有單位元e，對于任意的xS,可以定義x的零次冪,即 x0exn+1xn x nN不難證明，獨異點的冪運算也遵從半群的冪運算規(guī)則，只不過m和n不一定限于正整數(shù)，只要是自然數(shù)就成立。半群與獨異點的直積定義11.2 設(shè)V1，V2是半群(或獨異點),令SS1S2,定義S上的運算如下：,S, 稱為V1和V2的直積，記作V1V2?？梢宰C明V1V2是半群。若V1和V2是獨異點，其單位元分別為e1和e2，則是V1V2中的單位元，因此V1V2也是獨異點。 半群與獨異點的同態(tài)映射定義11.3 (1)設(shè)V1,V

4、2是半群,: S1S2。 若對任意的x,yS1有(xy)(x)(y) 則稱為半群V1到V2的同態(tài)映射,簡稱同態(tài)(homomorphism)。(2)設(shè)V1,V2是獨異點, : S1S2. 若對任意的x,yS1有(xy)(x)(y) 且(e1)e2, 則稱為獨異點V1到V2的同態(tài)映射,簡稱同態(tài)。省略表達為了書寫的簡便，有時經(jīng)常省略上述表達式中的算符和，而簡記為(xy)(x)(y)應(yīng)該記住，該表達式中左邊的xy是在V1中的運算，而右邊的 (x) (y)是在V2中的運算。定義11.2說明任取,S () = = = () = () = = 11.2 群的定義與性質(zhì)群是特殊的半群和獨異點。群論中常用的概念

5、或術(shù)語：有限群、無限群、平凡群、交換群、元素的冪和階。群的運算規(guī)則。群的定義 定義11.4 設(shè)是代數(shù)系統(tǒng)，為二元運算。如果運算是可結(jié)合的，存在單位元eG，并且對G中的任何元素x都有x-1G,則稱G為群（group）。舉例（考慮例11.1），(1),都是群,而和不是群。(2)是群,而不是群。因為并非所有的n階實矩陣都有逆陣。(3)是群，因為對任何B的子集A，A的逆元就是A自身。(4)是群。0是Zn中的單位元。xZn，若x0，x的逆元就是0，若x0，則n-x是x的逆元。(5)，當|A|2時不是群。Klein四元群設(shè)Ga,b,c,d，為G上的二元運算，見下表。eabceeabcaaecbbbceac

6、cbaeG是一個群：e為G中的單位元；運算是可結(jié)合的；運算是可交換的；G中任何元素的逆元就是它自己；在a,b,c三個元素中,任何兩個元素運算的結(jié)果都等于另一個元素。稱這個群為Klein四元群,簡稱四元群。群中元素的n次冪定義11.6 設(shè)G是群，aG，nZ，則a的n次冪與半群和獨異點不同的是：群中元素可以定義負整數(shù)次冪。在中有 2-3(2-1)3131110在中有 3-5(3-1)5(-3)5(-3)+(-3)+(-3)+(-3)+(-3)-15群中元素的階定義11.7 設(shè)G是群，aG，使得等式 ake成立的最小正整數(shù)k稱為a的階，記作|a|k，這時也稱a為k階元。若不存在這樣的正整數(shù)k,則稱a

7、為無限階元。舉例在中，2和4是3階元，3是2階元，而1和5是6階元，0是1階元。在中，0是1階元，其它的整數(shù)都是無限階元。在Klein四元群中，e為1階元，其它元素都是2階元。群的性質(zhì)群的冪運算規(guī)則 定理11.1 設(shè)G為群,則G中的冪運算滿足：(1) aG,(a-1)-1a。(2) a,bG，(ab)-1b-1a-1。(3) aG，anaman+m，n,mZ。(4) aG，(an)manm，n,mZ。(5) 若G為交換群，則(ab)nanbn。分析：(1)和(2)可以根據(jù)定義證明。(3)、(4)、(5)中的等式,先利用數(shù)學(xué)歸納法對于自然數(shù)n和m證出相應(yīng)的結(jié)果，然后討論n或m為負數(shù)的情況。定理1

8、1.1的證明(1) aG,(a-1)-1a。(a-1)-1是a-1的逆元，a也是a-1的逆元。（或者：a-1是a的逆元，a也是a-1的逆元。）根據(jù)逆元的唯一性， (a-1)-1a。(2) a,bG，(ab)-1b-1a-1。(b-1a-1)(ab)b-1(a-1a)bb-1be (ab)(b-1a-1)a(bb-1)a-1aa-1e故 b-1a-1是 ab 的逆元。根據(jù)逆元的唯一性等式得證。定理11.1的證明(3) aG，anaman+m，n,mZ。先考慮n,m都是自然數(shù)的情況。任意給定n，對m進行歸納。m0，有ana0aneanan+0成立。假設(shè)對一切mN有anaman+m成立，則有anam

9、+1an(ama)(anam)aan+maan+m+1由歸納法等式得證。下面考慮存在負整數(shù)次冪的情況。設(shè)n0，m0，令n-t，tZ+，則anama-tam(a-1)tama-(t-m)am-tan+mtmam-tan+mtm對于n0,m0以及n0,m0的情況同理可證。定理11.1的證明(5) 若G為交換群，則(ab)nanbn。當n為自然數(shù)時，對n進行歸納。(ab)n(ba)n(ba)-m(ba)-1)m(a-1b-1)m(a-1)m(b-1)ma-mb-manbnn0，有(ab)0eeea0b0。假設(shè)(ab)kakbk，則有(ab)k+1(ab)k(ab)(akbk)abak(bka)bak

10、(abk)b(aka)(bk)b(ak+1)(bk+1)由歸納法等式得證。設(shè)n0，則定理11.1說明定理11.1(2)中的結(jié)果可以推廣到有限多個元素的情況,即注意上述定理中的最后一個等式只對交換群成立。如果G是非交換群,那么只有群方程存在唯一解 定理11.2 G為群，a,bG，方程axb和yab在G中有解且僅有唯一解。證明：先證a-1b是方程axb的解。將a-1b代入方程左邊的x得a(a-1b)(aa-1)bebb所以a-1b是該方程的解。下面證明唯一性。假設(shè)c是方程axb的解，必有acb，從而有cec(a-1a)ca-1(ac)a-1b同理可證ba-1是方程yab的唯一解。例11.5例11.

11、5 設(shè)群G，其中為集合的對稱差運算。解下列群方程：(1)aX(2)Ya,bb解答：(1) Xa-1 aa(2) Yba,b-1ba,ba例11.7例11.7 設(shè)G為群，a,bG，且 (ab)2a2b2 ，證明abba。證明： 由(ab)2a2b2 得ababaabb根據(jù)群中的消去律，得 baab，即 abba。例11.8例11.8 設(shè)Ga1,a2,an是n階群，令 aiGaiaj|j=1,2,n證明 aiGG。證明：由群中運算的封閉性有aiG G。假設(shè)aiG G，即|aiG|n。必有aj,akG 使得aiajaiak （jk）由消去律得 aj=ak,與|G|n矛盾。群中元素的階的性質(zhì)定理11.

12、4 G為群，aG且|a|r。設(shè)k是整數(shù),則(1) ake當且僅當 r|k(2) |a|a-1|證明：(1)充分性。由于r|k，必存在整數(shù)m使得kmr，所以有akamr(ar)meme。必要性。根據(jù)除法，存在整數(shù)m和i使得kmr+i，0ir-1從而有eakamr+i(ar)maieaiai因為|a|r,必有i0。這就證明了r|k。定理11.4(2)證明(2) |a|a-1|由(a-1)r(ar)-1e-1e，可知 a-1 的階存在。令|a-1|t，根據(jù)上面的證明有 t|r。這說明a的逆元的階是a的階r的因子。而a又是a-1的逆元，根據(jù)條件有|a-1|(a-1)-1|a|，所以a的階也是a-1的階

13、的因子，故有r|t。從而證明了rt,即|a|a-1|。證明元素的階相等的方法證明|x|y|的方法：令|x|r，|y|s驗證 (x)se r|s驗證 (y)re s|r因此 rs，即 |x|y|。例11.9例11.9 設(shè)G是群，a,bG是有限階元。證明(1)|b-1ab|a|(2)|ab|ba|證明：(1)設(shè)|a|r,|b-1ab|t，則有(b-1ab)r(b-1ab)(b-1ab)(b-1ab) (r個b-1ab)b-1arbb-1ebe根據(jù)定理11.4，可知b-1ab的階是a的階的因子，即t|r。另一方面，ab(b-1ab)b-1(b-1)-1(b-1ab)b-1可知,(b-1)-1(b-1

14、ab)b-1的階是b-1ab的階的因子，即r|t。從而有|b-1ab|=|a|。例11.9(2)證明(2)|ab|ba|設(shè)|ab|r,|ba|t，則有(ab)t+1 (ab)(ab)(ab)t+1個ab a(ba)(ba)(ba)bt個ba a(ba)tb aeb ab由消去律得(ab)te，從而可知，r|t.同理可證 t|r。因此，|ab|ba|。例11.10例11.10 設(shè)G為有限群，則G中階大于2的元素有偶數(shù)個。證明：根據(jù)定理11.4可知，對于任意aG，有a2e |a|1 或 |a|2若a2e，則有 a-1a2a-1e，即 aa-1。反之，若aa-1，則有 a2aaaa-1e，這就推出a

15、2e aa-1。綜合上述可知，對G中階大于2的元素a，必有aa-1。又由于|a|a-1|，所以G中階大于2的元素一定成對出現(xiàn)。G中若含有階大于2的元素，一定是偶數(shù)個。若G中不含階大于2的元素，而0也是偶數(shù)。例11.11例11.11 設(shè)G為群，a,bG，且abba。如果|a|=n,|b|=m,且n與m互質(zhì)，證明|ab|nm。證明: 設(shè)|ab|d。由abba 可知(ab)nm(an)m(bm)nemene。從而有 d|nm。又由adbd(ab)de，可知 adb-d ，即|ad|b-d|bd|。再根據(jù)(ad)n(an)dede得|ad|n。同理有|bd|m。從而知道|ad|是n和m的公因子。因為n

16、與m互質(zhì)，所以|ad|1。這就證明了 ade，從而 n|d。同理可證 m|d，即d是n和m的公倍數(shù)。由于n與m互質(zhì)，必有 nm|d。綜合前邊的結(jié)果得 dnm。即|ab|nm。 本節(jié)主要內(nèi)容集合G和二元運算構(gòu)成群的條件（封閉性、結(jié)合律、單位元、每個元素有逆元）。特殊群的定義（有限與無限群、Abel群、平凡群）與群的階。元素的冪與元素的階群的性質(zhì)：冪運算規(guī)則、消去律、群方程的唯一解、有關(guān)元素的階的性質(zhì)。11.3 子群子群就是群的子代數(shù)子群的定義子群的三個判定方法重要子群的實例生成群、中心找到有限群的全部子群的方法子群的定義定義11.8 設(shè)G是群，H是G的非空子集，如果H關(guān)于G中的運算構(gòu)成群，則稱H

17、是G的子群(subgroup)，記作 HG。若H是G的子群，且HG，則稱H是G的真子群(proper subgroup)，記作 HG。說明：對任何群G都存在子群。G和e都是G的子群，稱為G的平凡子群(trivial subgroup) 。 舉例：nZ（n是自然數(shù)）是整數(shù)加群Z,+的子群。當n1時,nZ是Z的真子群。子群的判定定理一定理11.5（判定定理一）設(shè)G為群，H是G的非空子集。H是G的子群當且僅當下面的條件成立：(1) a,bH，有 abH。(2) aH，有 a-1H。證明：必要性是顯然的。為證明充分性，只需證明eH。（為什么？）因為H非空，必存在aH。由條件(2)可知，a-1H，再使用

18、條件(1)有 aa-1H，即eH。子群的判定定理二定理11.6（判定定理二） 設(shè)G為群，H是G的非空子集。H是G的子群當且僅當a,bH有ab-1H。證明：必要性。任取a,bH，由于H是G的子群，必有b-1H，由封閉性有 ab-1H。充分性。因為H非空，必存在aH。根據(jù)給定條件得 aa-1H，即eH。任取aH，由e,aH 得 ea-1H，即a-1H。任取a,bH，由剛才的證明知 b-1H。再利用給定條件得a(b-1)-1H，即 abH。綜合所述，根據(jù)判定定理一，可知 H是G的子群。子群的判定定理三定理11.7(判定定理三) 設(shè)G為群，H是G的非空子集。如果H是有窮集，則H是G的子群當且僅當 a,

19、bH有abH。證明：必要性是顯然的。充分性。只需證明 aH有a-1H。任取aH，若ae，則a-1e-1eH。若ae,令 Sa,a2,，則SH。由于H是有窮集，必有aiaj（i1，由此得aj-i-1ae 和 aaj-i-1e從而證明了 a-1aj-i-1H。 子群實例生成子群 例11.12 設(shè)G為群，aG，令Hak|kZ，即a的所有的冪構(gòu)成的集合，則H是G的子群，稱為由a生成的子群，記作。證明：由a知道，。任取am,al，則am(al)-1ama-lam-l根據(jù)判定定理二可知G。舉例(1)整數(shù)加群，由2生成的子群是2k|kZ2Z(2)群中，由2生成的子群由 200，212，224，23=0，構(gòu)成

20、， 即 0,2,4(3)Klein四元群Ge,a,b,c的所有生成子群是： e，e,a，e,b，e,c。子群實例中心例11.13 設(shè)G為群，令C是與G中所有的元素都可交換的元素構(gòu)成的集合，即Ca|aGxG(axxa)則C是G的子群，稱為G的中心。 證明：由e與G中所有元素的交換性可知，eC。C是G的非空子集。任取a,bC，為證明ab-1C，只需證明ab-1與G中所有的元素都可交換。xG，有(ab-1)xab-1xab-1(x-1)-1a(x-1b)-1a(bx-1)-1a(xb-1)(ax)b-1(xa)b-1x(ab-1)由判定定理二可知，CG。中心的說明對于阿貝爾群G，因為G中所有的元素互

21、相都可交換，G的中心就等于G。但是對某些非交換群G，它的中心是e。例11.14 例11.14 設(shè)G是群，H,K是G的子群。證明(1) HK也是G的子群。(2) HK是G的子群當且僅當 HK 或 KH。證明：(1) 由eHK 知 HK非空。任取a,bHK，則 aH，aK，bH，bK。由于H和K是G的子群，必有 ab-1H 和 ab-1K，從而推出 ab-1HK。根據(jù)判定定理二，命題得證。例11.14（2）(2) HK是G的子群當且僅當 HK 或 KH。充分性是顯然的。必要性，用反證法。假設(shè) HK 且 KH，那么存在h和k使得hHhK 并且 kKkH這就推出 hkH。若不然，由h-1H可得 kh-

22、1(hk)H，與假設(shè)矛盾。同理可證，hkK。從而得到 hkHK。這與HK是子群矛盾。如何找到有限群的全部子群第0層：e是G的平凡子群，也是最小的子群，放在第0層。第1層：任取aG，ae，則是a由生成的子群。如果G且不存在是的真子群，則將放在第1層。 如果G中所有的非單位元生成的子群都等于G，則構(gòu)造結(jié)束，并將G放在第1層。 如果a,bG，ab，但，這時?。ɑ颍５?層：如果在第1層，并且G中存在其它元素b滿足，同時不存在元素c使得，那么放在第2層。 此外，第2層還包含有第1層的子群的并集生成的更大的子群。如何找到有限群的全部子群任取第1層的兩個子群H1,H2，令BH1H2，如果H1H2，H1H2

23、 ,那么H1H2不是G的子群，而只是G的子集，將G的所有包含B的子群的交記作，即H|BHHG。易見是G的子群，稱為由B生成的子群，中的元素恰為如下形式：a1a2ak,kZ+其中ai是B中元素或B中元素的逆元。不難證明，是包含了H1和H2的最小子群。按照這樣的方法，構(gòu)造，如果G且第2層不存在其他子群是的真子群，則將放在第2層。從而由第1層的子群生成第2層的所有子群。當然，不同的子群可能會生成相同的新子群。按照這種辦法繼續(xù)下去，每層構(gòu)造時先檢查是否還有單元素生成的新子群，然后利用前一層子群的并集生成新子群。由于G是有限群，經(jīng)過有限步生成后，總可得到最高層的唯一的平凡子群G，這時構(gòu)造過程結(jié)束。如何找

24、到有限群的全部子群例如：Ge,a,b,c是Klein四元群，根據(jù)上述的構(gòu)造性方法得到G的全部子群如下：第2層 G第1層 e,a, e,b, e,c第0層 e例如：GZ60,1,2,3,4,5，模6加群。則G的全部子群如下：第2層 G第1層 0,2,4, 0,3 第0層 0如何找到有限群的全部子群設(shè)G為群，令SH|H是G的子群，在S上定義關(guān)系R如下：A,BS,ARB A是B的子群那么構(gòu)成偏序集，稱為群G的子群格。 Klein四元群G與模12加群Z12的子群格如圖所示。本節(jié)主要內(nèi)容及學(xué)習要求 主要內(nèi)容子群的定義。子群的三個判定定理及其應(yīng)用。典型子群：由元素生成的子群,群G的中心C，若干個子群的交集

25、。學(xué)習要求會證明群的子集是子群。了解幾個典型子群的定義。11.4 陪集與拉格朗日定理本節(jié)主要討論群的分解陪集的定義、實例、性質(zhì)拉格朗日定理陪集定義11.9 設(shè)H是G的子群，aG。令Haha|hH稱Ha是子群H在G中的右陪集(right coset)。稱a為Ha的代表元素。實例：設(shè)Ge,a,b,c是Klein四元群，He,a是G的子群。H所有的右陪集是：Hee,aH Haa,eH Hbb,c Hcc,b不同的右陪集只有兩個，即H和b,c。陪集的實例設(shè)A1,2,3,f1,f2,f6是A上的雙射函數(shù)。其中f1,f2,f3,f4,f5,f6,令Gf1,f2,f6，則G關(guān)于函數(shù)的復(fù)合運算構(gòu)成群?？紤]G的

26、子群Hf1,f2。做出H的全體右陪集如右面所示：Hf1f1f1,f2f1f1,f2HHf2f1f2,f2f2f2,f1HHf3f1f3,f2f3f3,f5Hf4f1f4,f2f4f4,f6Hf5f1f5,f2f5f5,f3Hf6f1f6,f2f6f6,f4易見，不同的右陪集只有三個，每個右陪集都是G的子集。陪集的基本性質(zhì)定理11.8 設(shè)H是群G的子群，則(1) HeH。(2) aG有 aHa。證明：(1) Hehe|hHh|hHH(2) 任取aG，由aea和eaHa 得aHa。定理11.9定理11.9 設(shè)H是群G的子群，則a,bG 有aHb ab-1H HaHb證明：先證 aHb ab-1H。

27、aHb h(hHahb) h(hHab-1h) ab-1H 定理11.9反之，任取h1bHb，則有再證：aHb HaHb。充分性。若HaHb，由aHa可知，必有aHb。必要性。由aHb可知，存在hH 使得ahb，即bh-1a。任取h1aHa，則有h1ah1(hb)(h1h)bHb從而得到 HaHb。h1bh1(h-1a)(h1h-1)aHa從而得到 HbHa。綜上所述，HaHb得證。定理11.9的說明該定理給出了兩個右陪集相等的充分必要條件，并且說明在右陪集中的任何元素都可以作為它的代表元素。在例11.15中， Hf1,f2f3,f5, Hf3f1f3,f2f3f3,f5Hf5f1f5,f2f

28、5f5,f3可以看出f3Hf5，所以 Hf3Hf5。同時有f3f5-1f3f6f2H定理11.10定理11.10 設(shè)H是群G的子群，在G上定義二元關(guān)系R：a,bG，R ab-1H則R是G上的等價關(guān)系，且aRHa。證明：先證明R為G上的等價關(guān)系。任取aG,由aa-1eH R可知R在G上是自反的。任取a,bG，則R ab-1H (ab-1)-1H ba-1H R 所以R是對稱的。定理11.10baR任取a,b,cG，則RR ab-1Hbc-1H ac-1R R所以R是傳遞的。綜上所述，R是G上的等價關(guān)系。下面證明：aG,aRHa。任取bG，則有 R ab-1H根據(jù)定理11.9有ab-1H HaHb

29、 bHa這就推出 baR bHa，從而證明了aRHa。 (ab-1)(bc-1)H定理11.10推論推論 設(shè)H是群G的子群，則(1)任取a,bG，HaHb 或 HaHb(2)Ha|aGG 證明：由定理11.10和7.14可得。重要結(jié)果：給定群G的一個子群H，H的所有右陪集的集合Ha|aG恰好構(gòu)成G的一個劃分。舉例：考慮Klein四元群Ge,a,b,c，He,a是G的子群。H在G中的右陪集是H和Hb，其中Hbb,c。那么H,Hb構(gòu)成了G的一個劃分。定理11.11定理11.11 設(shè)H是群G的子群，則aG，HHa 證明：令f:HHa，f(x)xa。任取haHa，hH，使得 f(h)ha，因而f是滿射

30、的。假設(shè) f(h1)f(h2)，那么有 h1ah2a。根據(jù)消去律得 h1h2，因而f是單射的。因此， HHa。右陪集H的右陪集定義，即Haha|hH，aG右陪集的性質(zhì)：1.HeH2.aG，aHa 3.a,bG，aHbab-1H HaHb4.若在G上定義二元關(guān)系R，a,bG,Rab-1H則R是G上的等價關(guān)系，且aRHa。5.aG，HHa。H的左陪集定義，即aHah|hH，aG左陪集的性質(zhì)：1.eHH2.aG，aaH 3.a,bG，abH b-1aH aHbH4.若在G上定義二元關(guān)系R，a,bG,Rb-1aH則R是G上的等價關(guān)系，且aRaH。5.aG，HaH。左陪集左陪集舉例群Gf1,f2,f6。

31、令Hf1,f2，則H在G中的全體左陪集如下：f1Hf1f1,f1f2f1,f2Hf2Hf1f2,f2f2f2,f1Hf3Hf3f1,f3f2f3,f6f4Hf4f1,f4f2f4,f5f5Hf5f1,f5f2f5,f4f6Hf6f1,f6f2f6,f3 和H的右陪集相比較,不難看出有 Hf1f1H，Hf2f2H，Hf3f3H，Hf4f4H，Hf5f5H，Hf6f6H結(jié)論：一般來說，對于群G的每個子群H不能保證有HaaH。但是對某些特殊的子群H，aG都有HaaH，稱這些子群為G的正規(guī)子群。Hf1f1f1,f2f1f1,f2HHf2f1f2,f2f2f2,f1HHf3f1f3,f2f3f3,f5H

32、f4f1f4,f2f4f4,f6Hf5f1f5,f2f5f5,f3Hf6f1f6,f2f6f6,f4左右陪集個數(shù)相等令 SHa|aG TaH|aG分別表示H的右陪集和左陪集的集合，定義： f:ST，f(Ha)a-1H，aG 可以證明f是S到T的雙射函數(shù)。對a，bG 有 HaHb ab-1H (ab-1 )-1H (b-1)-1a-1H a-1Hb-1H這說明對于任意的HaS，必有唯一的f(Ha)T與之對應(yīng)，即f是函數(shù)。同時可知：若f(Ha)f(Hb)，必有HaHb，即f是單射。任取bHT，則Hb-1S，且有f(Hb-1)(b-1)-1HbH從而證明了f的滿射性。因此ST。關(guān)于陪集的進一步說明對

33、于子群H和元素a，它的左陪集aH與右陪集Ha一般說來是不等的。H的左陪集個數(shù)與右陪集個數(shù)是相等的，因為可以證明f(Ha)a-1H，f在H的右陪集和左陪集之間建立了一一對應(yīng)。今后不再區(qū)分H的右陪集數(shù)和左陪集數(shù)，統(tǒng)稱為H在G中的陪集數(shù)，也叫做H在G中的指數(shù)，記作G:H。對于有限群G，H在G中的指數(shù) G:H 和 |G|,|H|有密切的關(guān)系，這就是著名的拉格朗日定理。拉格朗日定理定理11.12 設(shè)G是有限群，H是G的子群，則|G|H|G:H證明：設(shè)G:Hr，a1,a2,ar分別是H的r個右陪集的代表元素。根據(jù)定理11.10的推論有GHa1Ha2Har由于這r個右陪集是兩兩不交的，所以有|G|Ha1|+

34、|Ha2|+|Har|由定理11.11可知，|Hai|H|，i1,2,r。將這些等式代入上式得|G|H|r|H|G:H拉格朗日定理的推論1 推論1 設(shè)G是n階群，則aG，|a|是n的因子，且有ane。證明 任取aG，則是G的子群。由拉格朗日定理可知，的階是n的因子。另一方面，是由a生成的子群，若|a|=r，則a0e,a1,a2,ar-1這說明的階與|a|相等，所以|a|是n的因子。根據(jù)定理11.4(1)，必有ane。拉格朗日定理的推論2推論2 對階為素數(shù)的群G，必存在aG，使得G。證明設(shè)|G|p，p是素數(shù)。由p2可知，G中必存在非單位元。任取aG，ae，則是G的子群。根據(jù)拉格朗日定理，的階是p

35、的因子，即的階是p或1，顯然的階不是1，這就推出G。說明拉格朗日定理對分析有限群中元素的階很有用。這個定理的逆命題并不為真。有時候r是n的因子，但n階群G中不一定含有r階元?？梢则炞C例11.15中的群G=f1,f2,f6中并沒有6階元。拉格朗日定理的應(yīng)用實例命題：如果群G只含1階和2階元，則G是Abel群。證明：設(shè)a為G中任意元素，根據(jù)題意，有a1e或a2e，即有a-1a。任取x,yG，則 xy(xy)-1y-1x-1yx。因此G是Abel群。例11.16例11.16 證明6階群中必含有3階元。 證明：設(shè)G是6階群，由拉格朗日定理的推論1可知G中的元素只能是1階、2階、3階或6階元。若G中含有

36、6階元，設(shè)這個6階元是a，則a2是3階元。若G中不含6階元，下面證明G中必含有3階元。如若不然，G中只含1階和2階元，即aG，有a2e，由命題可知G是阿貝爾群。取G中兩個不同的2階元a和b，令He,a,b,ab易證H是G的子群，但|H|=4，|G|=6，與拉格朗日定理矛盾。例11.17例11.17 證明階小于6的群都是阿貝爾群。證明：1階群是平凡的，顯然是阿貝爾群。2,3和5都是素數(shù)。由拉格朗日定理的推論2可知2階,3階和5階群都是由一個元素生成的群。它們都是阿貝爾群。（因為a i,a jG，有a i a ja i+ja j+ia j a i。）設(shè)G是4階群。若G中含有4階元，比如說a，則G，

37、由剛才的分析可知G是阿貝爾群。若G中不含4階元，根據(jù)拉格朗日定理，G中只含1階和2階元。由命題可知G也是阿貝爾群。 本節(jié)內(nèi)容及學(xué)習要求主要內(nèi)容陪集的定義及實例。陪集及其代表元素之間的關(guān)系。陪集的四條性質(zhì)。有限群G的拉格朗日定理(|G|=|H|G:H)及兩個推論。學(xué)習要求在群G中會求已知子群H的右（或左）陪集。了解陪集的性質(zhì)，特別是兩個陪集相等的充要條件。了解群G的陪集分解是怎樣與G上的等價關(guān)系相對應(yīng)的。掌握拉格朗日定理及其推論的簡單應(yīng)用。11.5 正規(guī)子群與商群正規(guī)子群的定義及實例正規(guī)子群的兩個判別定理以及相應(yīng)的四種判別方法商群的定義及其實例。正規(guī)子群的定義及實例定義11.10設(shè)H是群G的子群

38、。如果aG都有HaaH,則稱H是G的正規(guī)子群(normal subgroup)或不變子群，記作H|G。注意 條件HaaH僅僅表示兩個集合aH和Ha相等。錯誤的理解：由aHHa可推出ahha對H中所有的元素h都成立。正確的理解：對hH，存在h1H，使ahh1a。說明任何群G都有正規(guī)子群，因為G的兩個平凡子群，即G和e，都是G的正規(guī)子群。如果G是阿貝爾群，G的所有子群都是正規(guī)子群。正規(guī)子群的實例例11.18 設(shè)A1,2,3,f1,f2,f6是A上的雙射函數(shù)。其中f1,f2,f3, f4,f5,f6,令Gf1,f2,f6，則G關(guān)于函數(shù)的復(fù)合運算構(gòu)成群。G的全體子群是：H1f1,H2f1,f2, H3

39、f1,f3H4=f1,f4,H5f1,f5,f6, H6G不難驗證，H1,H5和H6是G的正規(guī)子群，而H2,H3和H4不是正規(guī)子群。正規(guī)子群的判定定理定理11.13 設(shè)N是群G的子群，N是群G的正規(guī)子群當且僅當任取gG，nN有 gng-1N。證明 必要性。任取gG，nN，由gNNg可知，存在 n1N 使得 gnn1g，從而有 gng-1n1gg-1n1N。充分性，即證明 gG 有 gNNg。任取 gngN，由 gng-1N 可知存在 n1N 使得 gng-1n1，從而得 gnn1gNg。這就推出 gNNg。反之，任取ngNg，由于g-1G必有(g-1)n(g-1)-1N，即 g-1ngN。所以

40、存在n1N 使得 g-1ngn1，從而有nggn1gN。這就推出 NggN。綜合上述，gG 有 gNNg。正規(guī)子群的判定實例例11.19 設(shè)G是全體n階實可逆矩陣的集合關(guān)于乘法構(gòu)成的群，其中n2。令 HX|XGdetX1其中detX 表示矩陣 X 的行列式，則H是G的正規(guī)子群。證明 設(shè)E表示n階單位矩陣，則EH，H非空。任取M1,M2H，則det(M1M2-1)detM1 detM2-11所以M1M2-1H。由子群判別定理可知，HG。下面證明H是正規(guī)的。任取XG,MH,則det(XMX-1) detX detM detX-1detX detX-1det(XX-1)detE1所以XMX-1H。由

41、判定定理,H是G的正規(guī)子群。定理11.14定理11.14 設(shè)N是群G的子群，N是G的正規(guī)子群當且僅當gG，有 gNg-1N。證明 任取gG有g(shù)Ng-1N (gNg-1)gNg gNNg由正規(guī)子群定義，定理得證。例11.20例11.20 設(shè)N是群G的子群，若G的其他子群都不與N等勢，則N是G的正規(guī)子群。證明 任取gG，則gNg-1是G的子群。容易證明 NgNg-1。令f:NgNg-1，f(n)gng-1，nN則f是N到gNg-1的映射。假若f(n1)f(n2),則有g(shù)n1g-1=gn2g-1，從而推出 n1n2，即f是單射。任取gng-1gNg-1，則有nN且f(n)gng-1，這就證明f是滿射

42、。從而NgNg-1。根據(jù)已知條件，必有g(shù)Ng-1N。所以N是G的正規(guī)子群。例11.21例11.21 設(shè)N是群G的子群，若G:N2，則N是G的正規(guī)子群。證明 由G:N2可知N存在兩個右陪集，即GNNg，gN同理可知，GNgN，gN任取gG，若gN，則有g(shù)NNNg。若 gN，則有g(shù)NG-NNg。從而證明了N是G的正規(guī)子群。例11.20和例11.21可作為判別正規(guī)子群的充分條件來使用。考慮例11.18中的群G。H1、H5和H6都是G的唯一的1階、3階和6階子群。所以它們都是正規(guī)的。對于H5,由于G:H52，根據(jù)例11.19的結(jié)論也可以判別的它的正規(guī)性。商群由群G和G的正規(guī)子群N可以構(gòu)造一個新的群，就

43、是G的商群G/N。設(shè)G是群，N是G的正規(guī)子群，令G/N是N在G中的全體右陪集（或左陪集）構(gòu)成的集合，即G/NNg|gG在G/N上定義二元運算如下：Na,NbG/N，NaNbNab 可以證明G/N關(guān)于運算構(gòu)成一個群。首先驗證運算是良定義的，即N的任意兩個陪集Na、Nb的乘積是唯一的。因為運算是涉及到類的運算，必須證明該運算與類的代表元素的選擇無關(guān)。換句話說，若 NaNx,NbNy, 則有 NaNbNxNy。商群任取a,b,x,yG，則有NaNxNbNyn1n2(an1xbn2y) NabNn1xn2yNn1n2xy（由于N是正規(guī)的） NabNxy NaNbNxNy易見G/N關(guān)于運算是封閉的。商群

44、再證明運算是可結(jié)合的。任取a,b,cG，(NaNb)NcNabNcN(ab)cNabcNa(NbNc)NaNbcNa(bc)Nabc所以有(NaNb)NcNa(NbNc)。 NeN是G/N中關(guān)于運算的單位元。NaG/N，Na-1是Na的逆元。綜上所述,G/N關(guān)于運算構(gòu)成群。稱為G的商群(quotient group)。例11.22設(shè)是整數(shù)加群，令3Z3z|zZ則3Z是Z的正規(guī)子群。Z關(guān)于3Z的商群 _ _ _Z/3Z0,1,2其中 _ii3z+i|zZ i0,1,2且Z/3Z中的運算如右表所示。_0_1_2_0_0_1_2_1_1_2_0_2_2_0_1本節(jié)內(nèi)容及學(xué)習要求主要內(nèi)容正規(guī)子群的定義

45、及實例。正規(guī)子群的兩個判別定理以及相應(yīng)的四種判別方法。商群的定義及其實例。學(xué)習要求掌握正規(guī)子群的概念及判別方法。給定群G和它的正規(guī)子群H，會求商群G/H。11.6 群的同態(tài)與同構(gòu)和半群的同態(tài)類似,也可以定義群的同態(tài)。群的同態(tài)映射和同構(gòu)映射，以及相關(guān)的概念。群同態(tài)的性質(zhì)。群的同態(tài)映射定義11.11 設(shè)G1,G2是群，：G1G2，若任意a,bG1都有(ab)(a)(b)則稱是群G1到G2的同態(tài)映射，簡稱同態(tài)。典型同態(tài)映射的實例(1)G1是整數(shù)加群，G2是模n的整數(shù)加群。令：ZZn, (x)(x)mod n則是G1到G2的同態(tài)。因為x,yZ有(x+y)(x+y)mod n(x)mod n (y)mo

46、d n(x)(y)典型同態(tài)映射的實例(2)設(shè)G1是實數(shù)加群，G2是非零實數(shù)關(guān)于普通乘法構(gòu)成的群。令：RR*, (x)ex則是G1到G2的同態(tài),因為x,yR有(x+y)ex+yex ey(x)(y)(3)設(shè)G1,G2是群，e2是G2的單位元。令：G1G2, (a)e2，aG1則是G1到G2的同態(tài)，稱為零同態(tài)。因為a,bG1有(ab)e2 e2e2 (a)(b) 同態(tài)的分類定義11.12 設(shè)：G1G2是群G1到G2的同態(tài)。(1) 若：G1G2是滿射的，則稱為滿同態(tài)，這時也稱G2是G1的同態(tài)像，記作G1G2。(2) 若：G1G2是單射的，則稱為單同態(tài)。 (3) 若：G1G2是雙射的，則稱為同構(gòu)，記作

47、G1G2。(4) 若G1G2，則稱是群G的自同態(tài)。舉例：(1)中的同態(tài)是滿同態(tài)，這時也可以說模n整數(shù)加群是整數(shù)加群的同態(tài)像。(2)中的同態(tài)是單同態(tài)。由于ran R+，同態(tài)像是。這兩個同態(tài)都不是同構(gòu)。例11.24例11.24 設(shè)G是模n整數(shù)加群，證明恰含有n個G的自同態(tài)。證明：先證存在著n個G的自同態(tài)。令 ：ZnZn， (x)(px)mod n，p=0,1,n-1則是G的自同態(tài)，因為任意的x,yZn有 (xy) (p(xy)mod n (px)mod n (py)mod n (x) (y)由于p有n種取值，不同的p確定了不同的映射，所以存在n個G的自同態(tài)。例11.24下面證明任何G的自同態(tài)都是上

48、述n個自同態(tài)中的一個。設(shè)是G的自同態(tài)，且(1)i，iZn。我們將證明xZn，有(x)(ix)mod n。 (1)i(i1)mod n假設(shè)對一切x1,2,n-2，有 (x)(ix)mod n成立，則 (x+1)(x1)(x)(1) (ix)mod n i(ix+i)mod n(i(x+1)mod n最后有 (0)(n-1) 1)(n-1) (1)(i(n-1)mod n i(in)mod n 0(i0)mod n例11.25例11.25 設(shè)G為群，aG。令 ：GG, (x)axa-1， xG則是G的自同構(gòu)，稱為G的內(nèi)自同構(gòu)。證明：x,yG，有(xy)a(xy)a-1(axa-1)(aya-1)(

49、x)(y)所以是G的自同態(tài)。任取 yG，則存在 a-1yaG，且滿足(a-1ya)a(a-1ya)a-1y所以是滿射的。任取x,yG，假若(x)(y)，即axa-1aya-1，由G中的消去律必有xy。從而證明了是單射的。綜合上述, 是G的自同構(gòu)。舉例如果G是阿貝爾群，對于上面的內(nèi)自同構(gòu)必有(x)axa-1aa-1xx這說明阿貝爾群的內(nèi)自同構(gòu)只有一個，就是恒等映射。考慮模3整數(shù)加群，根據(jù)例11.24，Z3有3個自同態(tài)，即p(px)mod 3，p0,1,2。p0，0 : 00, 10, 20p1，1 : 00, 11, 22p2，2 : 00, 12, 21在這三個自同態(tài)中，1和2 是 Z3的自同

50、構(gòu),其中1是內(nèi)自同構(gòu)。0是零同態(tài)。 同態(tài)映射的性質(zhì)定理11.5 設(shè)是群G1到G2的同態(tài)映射，e1和e2分別為G1和G2的單位元，則 (1) (e1)e2(2) (a-1)(a)-1，aG1說明：同態(tài)映射保持元素的對應(yīng)性。證明 (1) (e1)(e1) (e1e1)(e1)(e1)e2。由G2的消去律得 (e1)e2。(2) 任取aG1，由(a-1)(a) (a-1a) (e1) e2 (a)(a-1) (aa-1) (e1) e2可知(a-1)是(a)的逆元。根據(jù)逆元的唯一性得 (a-1) (a)-1。例11.26例11.26 設(shè)G1是有理數(shù)加群，G2是非零有理數(shù)乘法群。證明不存在G2到G1的

51、同構(gòu)。證明 假設(shè)是G2到G1的同構(gòu)，那么有：G2G1, (1)0于是有(-1)(-1) (-1)(-1) (1) 0從而得(-1)0，這與的單射性矛盾。例11.27例11.27 設(shè)Ge,a,b,c是Klein四元群。試給出G的所有自同構(gòu)。解答設(shè)是G的自同構(gòu),則(e)e，且是雙射。因此滿足這些條件的映射只有以下六個：1：ee，aa，bb，cc2：ee，aa，bc，cb3：ee，ab，bc，ca4：ee，ab，ba，cc5：ee，ac，bb，ca6：ee，ac，ba，cb根據(jù)同態(tài)定義,不難驗證x,yG都有i(xy)i(x)i(y)，i1,2,6成立。所以上述的1, 2, 6是G上的全體自同構(gòu)。同態(tài)

52、映射的性質(zhì)定理11.16 設(shè)是群G1到G2的同態(tài)，H是G1的子群，則(1)(H)是G2的子群。(2)若H是G1的正規(guī)子群，且是滿同態(tài)，則(H)是G2的正規(guī)子群。說明：同態(tài)映射保持子群的對應(yīng)性。 證明 (1) 由e2(e1)(H)可知(H)非空。任取x,y(H)，則存在a,bH，使得(a)x，(b)y。由于是同態(tài)，所以xy-1(a)(b)-1(a)(b-1)(ab-1)又由于H是G1的子群，ab-1H，因此xy-1(H)。從而證明了(H)是G2的子群。定理11.16(2)若H是G1的正規(guī)子群，且是滿同態(tài)，則(H)是G2的正規(guī)子群。 只需證明(H)是正規(guī)的。任取x(H)，yG2，則存在aH，使得(

53、a)x。又由于的滿射性，必存在gG1使得(g)y。所以yxy-1 (g)(a)(g)-1 (gag-1) (由于同態(tài))因為H是G1的正規(guī)子群，gag-1H。這就推出 yxy-1(H)。從而證明了 (H) | G2。同態(tài)的核定義11.13 設(shè)是群G1到G2的同態(tài)，令ker x|xG1 (x)e2其中e2為G2的單位元。稱ker 為同態(tài)的核。 舉例：考慮例11.23的幾個同態(tài)。(1)：ZZn, (x)(x) mod n，ker z|zZn整除znZ(2)：RR*, (x)ex，ker 0(3)：G1G2，(a)e2，aG1，是零同態(tài)，ker G1有關(guān)同態(tài)核的性質(zhì)定理11.17 設(shè)是群G1到G2的同

54、態(tài)，則(1) ker | G1(2) 是單同態(tài)當且僅當 kere1，其中e1為G1的單位元。證明 (1) 令e1,e2分別為G1和G2的單位元。e1ker，所以ker非空。任取a,bker，則(ab-1)(a)(b-1)(a)(b)-1e2e2-1e2因此ab-1ker，從而證明了ker G1 。任取aker，xG1，則(xax-1)(x)(a)(x-1)(x)e2(x-1)(xx-1)(e1)e2所以xax-1ker。這就證明了ker | G1。有關(guān)同態(tài)核的性質(zhì)(2) 是單同態(tài)當且僅當 kere1，其中e1為G1的單位元。必要性。假設(shè)存在aker 且 ae1，則(a)e2(e1)與是單射相矛

55、盾。充分性。任取a,bG1，則 (a)(b) (a)(b)-1 e2 (ab-1)e2由于kere1，那么ab-1e1，從而推出ab。這就證明了的單射性。所以是單同態(tài)。自然同態(tài)例11.28 設(shè)G是群，N是G的正規(guī)子群。令g：GG/N,g(a)Na，aG 則g是G到G/N的同態(tài)。因為a,bG，有g(shù)(ab)NabNaNbg(a)g(b)稱g為自然同態(tài)。易見自然同態(tài)都是滿同態(tài)。下面求ker g。任取xG，由xker g NxN xN可知 ker gN。考慮兩個平凡的正規(guī)子群。設(shè)g：GG/N是自然同態(tài)。當NG時，有G/NG/GG, 且aG有g(shù)(a)G,g是零同態(tài)。當Ne時，kerge。根據(jù)定理11.1

56、7,g是單同態(tài),也是同構(gòu)。這時G/Na|aG，且aG有 g(a)a。 例11.29例11.29 設(shè)G1，G2是群，e1和e2分別為G1和G2的單位元。令：G1G2G1， ()a，G1G2則 是直積G1G2到G1的同態(tài)。因為對任意的，G1G2 有()()ac()()易見是滿同態(tài)，且對任意的G1G2ker ()e1 ae1所以得ker e1G2由定理11.17知，e1G2是G1G2的正規(guī)子群。當G2是平凡群e2時，ker ，這時為同構(gòu)。同態(tài)基本定理定理11.18 設(shè)G是群，N是G的正規(guī)子群，則G/N是G的同態(tài)像。反之，若G是G在下的同態(tài)像，則G/ker G。證明 由例11.28知，自然同態(tài)g是G到

57、G/N的滿同態(tài)。反之，設(shè)是G到G的滿同態(tài)，kerK。對任意KaG/ker，令f(Ka)(a)，則可以證明f是G/ker到G的同構(gòu)。首先，由定理11.9和Kker 的定義知KaKb ab-1K (ab-1)e (a)(b)-1e (a)(b) f(Ka)f(Kb)這證明了f是G/ker 到G的單射。定理11.18任取cG,由于是滿同態(tài)，存在aG使得(a)c。于是f(Ka)(a)c，即f是滿射。對于任意的 Ka,KbG/ker ，都有f(KaKb)f(Kab)(ab)(a)(b)f(Ka)f(Kb)所以f是G/ker 到G的同態(tài)。綜合上述有G/ker G例11.30例11.30 設(shè)G1和G2分別為

58、m,n階群，則G1G2的充要條件是m為n的倍數(shù)。證明： 必要性。若G1G2，由同態(tài)基本定理知G2同構(gòu)于G1的某個商群G1/ker，于是n|G2|G1/ker |G1:ker |G1|/|ker|m/|ker|即m是n的倍數(shù)。例11.30充分性。由G1，G2，aiG1，令 (ai)=bi，則aiaj ajie m|(j-i)由于m是n的倍數(shù)，有n|(j-i)，即 bj-i=e,于是bibj。這就證明了是G1到G2的映射。易見是滿射。下面證明是同態(tài)。ai,ajG1 有(aiaj)(ai+j)bi+jbibj(ai)(aj)綜合上述,G1G2。例11.31例11.31 G是群，H和K是G的正規(guī)子群且

59、HK，證明 G/K(G/H)(K/H)。證明定義:G/H G/K， (Ha)Ka，HaG/H，則HaHb ab-1H ab-1K KaKb所以是良定義的。易見是滿射且Ha,HbG/H有(HaHb)(Hab)KabKaKb(Ha)(Hb)于是是滿同態(tài)且 ker K/H。根據(jù)同態(tài)基本定理， G/K(G/H)(K/H)。本節(jié)主要內(nèi)容及學(xué)習要求主要內(nèi)容群同態(tài)映射的定義與典型同態(tài)映射的實例。特殊同態(tài)的分類（單同態(tài)、滿同態(tài)、同構(gòu)、自同態(tài)）。同態(tài)核與同態(tài)像同態(tài)映射的性質(zhì)：同態(tài)映射保持元素及子群的對應(yīng)性，同態(tài)核的性質(zhì)，同態(tài)基本定理。學(xué)習要求給定群G1，G2和映射，能夠判別或證明是否為G1到G2的同態(tài)映射 能夠

60、判別特殊同態(tài)的類型：滿同態(tài)、單同態(tài)、同構(gòu)掌握一些典型的群同態(tài)了解群同態(tài)映射的性質(zhì)會應(yīng)用群同態(tài)的性質(zhì)證明群中的有關(guān)命題11.7 循環(huán)群與置換群循環(huán)群的定義及分類循環(huán)群的生成元群環(huán)群的子群置換群（略）循環(huán)群的定義定義11.14 設(shè)G是群，若存在aG使得Gak|kZ則稱G是循環(huán)群(cyclic group)，記作G，稱a為G的生成元(generator)。舉例：對于任何群G，由G中元素a生成的子群是循環(huán)群。任何素數(shù)階的群都是循環(huán)群。循環(huán)群的分類根據(jù)循環(huán)群G根據(jù)生成元a的階可以分成兩類：n階循環(huán)群和無限循環(huán)群。（1）若a是n階元，則Ga0e,a1,a2,an-1那么|G|n，稱G為n階循環(huán)群。（2）若