2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)(北京卷)

1、絕密 啟用前2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(北京,理)本試卷共5頁,150分?？荚嚂r(shí)長120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上,在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。第一部分(選擇題共40分)一、選擇題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng)。1.(2019北京,理1)已知復(fù)數(shù)z=2+i,則zz=() A.3B.5C.3D.5解析z=2+i,z=2-i.zz=(2+i)(2-i)=5. 故選D.答案D2.(2019北京,理2)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的s值為()A.1B.2C.3D.4解析運(yùn)行第一次,k=1,s=21運(yùn)行第

2、二次,k=2,s=22運(yùn)行第三次,k=3,s=22結(jié)束循環(huán),輸出s=2,故選B.答案B逐次運(yùn)行,直到滿足k3時(shí),結(jié)束循環(huán),輸出s.3.(2019北京,理3)已知直線l的參數(shù)方程為x=1+3t,y=2+4t(t為參數(shù)),則點(diǎn)(1,0)A.15B.25C.45解析直線l的普通方程為4(x-1)-3(y-2)=0,即4x-3y+2=0,點(diǎn)(1,0)到直線l的距離d=|4-0+2|答案D4.(2019北京,理4)已知橢圓x2a2+y2b2=1(abA.a2=2b2B.3a2=4b2C.a=2bD.3a=4b解析橢圓的離心率e=ca=12,c2=a2-b2,化簡得3a2=4b2答案B根據(jù)橢圓離心率的定義

3、,列關(guān)于a,b,c的等式求解.5.(2019北京,理5)若x,y滿足|x|1-y,且y-1,則3x+y的最大值為()A.-7B.1C.5D.7解析由題意得-1y1,y-1x1-y,作出可行域如圖陰影部分所示.設(shè)z=3x+y,y=z-3x,當(dāng)直線l0:y=z-3x經(jīng)過點(diǎn)答案C6.(2019北京,理6)在天文學(xué)中,天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足m2-m1=52lgE1E2,其中星等為mk的星的亮度為Ek(k=1,2).已知太陽的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,A.1010.1B.10.1C.lg 10.1D.10-10.1解析兩顆星的星等與亮度滿足m2-m

4、1=52lgE令m2=-1.45,m1=-26.7,則lgE1E2=25(m2-m1)=25(-1.45+26.7)=10.1,E1E答案A先求出lgE1E2,然后將對數(shù)式換為指數(shù)式求7.(2019北京,理7)設(shè)點(diǎn)A,B,C不共線,則“AB與AC的夾角為銳角”是“|AB+AC|BC|”A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件解析A,B,C三點(diǎn)不共線,|AB+AC|BC|AB+AC|AB-AC|AB+AC|2|AB-AC|2ABAC0AB與AC的夾角為銳角.故“AB與答案C8.(2019北京,理8)數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線,曲線C:x2+y2=

5、1+|x|y就是其中之一(如圖).給出下列三個(gè)結(jié)論:曲線C恰好經(jīng)過6個(gè)整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn));曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過2;曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.其中,所有正確結(jié)論的序號是()A.B.C.D.解析由x2+y2=1+|x|y得y2-|x|y=1-x2,即y-|x|22=1-3x24,即1-3x240,則x243,所以x可取的整數(shù)有0,-1,1,從而曲線C:x2+y2=1+|x|y恰好經(jīng)過(0,1),(0,-由x2+y2=1+|x|y得x2+y21+x2+y22,x2+y22,所以曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過2曲線C:x2+y2=1+|x|y關(guān)于y軸對

6、稱,從而曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積等于曲線C0:x2+y2=1+xy圍成的橢圓區(qū)域的面積,曲線C0:x2+y2=1+xy表示長半軸長為2,短半軸長為63的橢圓,面積為ab=263=23故選C.答案C將曲線C的方程做合理的變換,由曲線C的方程的性質(zhì)探索曲線的幾何性質(zhì).第二部分(非選擇題共110分)二、填空題共6小題,每小題5分,共30分。9.(2019北京,理9)函數(shù)f(x)=sin22x的最小正周期是.解析函數(shù)f(x)=sin22x=1-cos4x2,答案10.(2019北京,理10)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若a2=-3,S5=-10,則a5=,Sn的最小值為.解析等差數(shù)列an中

7、,由S5=5a3=-10,得a3=-2,又a2=-3,公差d=a3-a2=1,a5=a3+2d=0,由等差數(shù)列an的性質(zhì)得當(dāng)n5時(shí),an0,當(dāng)n6時(shí),an大于0,所以Sn的最小值為S4或S5,即為-10.答案0-1011.(2019北京,理11)某幾何體是由一個(gè)正方體去掉一個(gè)四棱柱所得,其三視圖如圖所示.如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,那么該幾何體的體積為.解析在正方體中還原該幾何體,如圖所示.該幾何體的體積V=43-12(2+4)24=40答案40畫出三視圖對應(yīng)的幾何體,應(yīng)用割補(bǔ)法求幾何體的體積.12.(2019北京,理12)已知l,m是平面外的兩條不同直線.給出下列三個(gè)論斷:lm;m;l.

8、以其中的兩個(gè)論斷作為條件,余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論,寫出一個(gè)正確的命題:.答案若l,m,則lm13.(2019北京,理13)設(shè)函數(shù)f(x)=ex+ae-x(a為常數(shù)).若f(x)為奇函數(shù),則a=;若f(x)是R上的增函數(shù),則a的取值范圍是.解析若函數(shù)f(x)=ex+ae-x為奇函數(shù),則f(-x)=-f(x),e-x+aex=-(ex+ae-x),(a+1)(ex+e-x)=0對任意的x恒成立,則a=-1.若函數(shù)f(x)=ex+ae-x是R上的增函數(shù),則f(x)=ex-ae-x0恒成立,即ae2x,故a0.答案-1(-,014.(2019北京,理14)李明自主創(chuàng)業(yè),在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店,銷售的水果

9、中有草莓、京白梨、西瓜、桃,價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.為增加銷量,李明對這四種水果進(jìn)行促銷:一次購買水果的總價(jià)達(dá)到120元,顧客就少付x元.每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后,李明會得到支付款的80%.(1)當(dāng)x=10時(shí),顧客一次購買草莓和西瓜各1盒,需要支付元;(2)在促銷活動中,為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折,則x的最大值為.解析(1)當(dāng)x=10時(shí),顧客一次購買草莓和西瓜各一盒,需要支付(60+80)-10=130元.(2)設(shè)顧客一次購買水果的促銷前總價(jià)為y元,y120元時(shí),李明得到的金額為y80%,符合要求.y120元時(shí),有(y-x)80%y

10、70%成立,即8(y-x)7y,xy8,即xy8min所以x的最大值為15.答案(1)130(2)15三、解答題共6小題,共80分。解答應(yīng)寫出文字說明,演算步驟或證明過程。15.(本小題13分)(2019北京,理15)在ABC中,a=3,b-c=2,cos B=-12(1)求b,c的值;(2)求sin(B-C)的值.解(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得b2=32+c2-23c-1因?yàn)閎=c+2,所以(c+2)2=32+c2-23c-1解得c=5,所以b=7.(2)由cos B=-12得sin B=3由正弦定理得sin C=cbsin B=5在ABC中,B是鈍角,所以C為銳角

11、.所以cos C=1-所以sin(B-C)=sin Bcos C-cos Bsin C=4316.(本小題14分)(2019北京,理16)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA平面ABCD,ADCD,ADBC,PA=AD=CD=2,BC=3.E為PD的中點(diǎn),點(diǎn)F在PC上,且PFPC(1)求證:CD平面PAD;(2)求二面角F-AE-P的余弦值;(3)設(shè)點(diǎn)G在PB上,且PGPB=23,判斷直線AG是否在平面AEF(1)證明因?yàn)镻A平面ABCD,所以PACD.又因?yàn)锳DCD,所以CD平面PAD.(2)解過A作AD的垂線交BC于點(diǎn)M.因?yàn)镻A平面ABCD,所以PAAM,PAAD.如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)

12、-xyz,則A(0,0,0),B(2,-1,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).因?yàn)镋為PD的中點(diǎn),所以E(0,1,1).所以AE=(0,1,1),PC=(2,2,-2),AP=(0,0,2).所以PF=13PC=23,23,-23設(shè)平面AEF的法向量為n=(x,y,z),則n令z=1,則y=-1,x=-1.于是n=(-1,-1,1).又因?yàn)槠矫鍼AD的法向量為p=(1,0,0),所以cos=np|由題知,二面角F-AE-P為銳角,所以其余弦值為33(3)解直線AG在平面AEF內(nèi).因?yàn)辄c(diǎn)G在PB上,且PGPB=23,PB所以PG=23PB=43,-23,-43,AG=A

13、P+由(2)知,平面AEF的法向量n=(-1,-1,1).所以AGn=-43+2所以直線AG在平面AEF內(nèi).17.(本小題13分)(2019北京,理17)改革開放以來,人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來,移動支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學(xué)生上個(gè)月A,B兩種移動支付方式的使用情況,從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人,發(fā)現(xiàn)樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有5人,樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下:支付金額(元)支付方式(0,1 000(1 000,2 000大于2 000僅使用A18人9人3人僅使用B10人14人1人(1)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月A,B

14、兩種支付方式都使用的概率;(2)從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人,以X表示這2人中上個(gè)月支付金額大于1 000元的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中,隨機(jī)抽查3人,發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2 000元.根據(jù)抽查結(jié)果,能否認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2 000 元的人數(shù)有變化?說明理由.解(1)由題意知,樣本中僅使用A的學(xué)生有18+9+3=30人,僅使用B的學(xué)生有10+14+1=25人,A,B兩種支付方式都不使用的學(xué)生有5人.故樣本中A,B兩種支付方式都使用的學(xué)生有100-30-25-5=40人.

15、所以從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,該學(xué)生上個(gè)月A,B兩種支付方式都使用的概率估計(jì)為40100=0.4(2)X的所有可能值為0,1,2.記事件C為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于1 000元”,事件D為“從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于1 000元”.由題設(shè)知,事件C,D相互獨(dú)立,且P(C)=9+330=0.4,P(D)=14+125=0.所以P(X=2)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24,P(X=1)=P(CDC=P(C)P(D)+P(C)P(D)=0.4(1-0.6)+(1-0.4)0.6=0.52,P(X=0)=P(C D)=

16、P(C)P(D)=0.所以X的分布列為X012P0.240.520.24故X的數(shù)學(xué)期望E(X)=00.24+10.52+20.24=1.(3)記事件E為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機(jī)抽查3人,他們本月的支付金額都大于2 000元”.假設(shè)樣本僅使用A的學(xué)生中,本月支付金額大于2 000 元的人數(shù)沒有變化,則由上個(gè)月的樣本數(shù)據(jù)得P(E)=1C答案示例1:可以認(rèn)為有變化.理由如下:P(E)比較小,概率比較小的事件一般不容易發(fā)生.一旦發(fā)生,就有理由認(rèn)為本月的支付金額大于2 000元的人數(shù)發(fā)生了變化.所以可以認(rèn)為有變化.答案示例2:無法確定有沒有變化.理由如下:事件E是隨機(jī)事件,P(E)比較小,一般不容易

17、發(fā)生,但還是有可能發(fā)生的,所以無法確定有沒有變化.18.(本小題14分)(2019北京,理18)已知拋物線C:x2=-2py經(jīng)過點(diǎn)(2,-1).(1)求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程;(2)設(shè)O為原點(diǎn),過拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)M,N,直線y=-1分別交直線OM,ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B.求證:以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個(gè)定點(diǎn).(1)解由拋物線C:x2=-2py經(jīng)過點(diǎn)(2,-1),得p=2.所以拋物線C的方程為x2=-4y,其準(zhǔn)線方程為y=1.(2)證明拋物線C的焦點(diǎn)為F(0,-1).設(shè)直線l的方程為y=kx-1(k0).由y=kx-1,x2=-4設(shè)M(x1,y1),N(x2

18、,y2),則x1x2=-4.直線OM的方程為y=y1x令y=-1,得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)xA=-x1同理得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)xB=-x2設(shè)點(diǎn)D(0,n),則DA=-x1y1,-1-n,DB=-x2y2,-1-n,DADB=x1x2y1y2+(n+令DADB即-4+(n+1)2=0,得n=1或n=-3.綜上,以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的定點(diǎn)(0,1)和(0,-3).19.(本小題13分)(2019北京,理19)已知函數(shù)f(x)=14x3-x2+x(1)求曲線y=f(x)的斜率為1的切線方程;(2)當(dāng)x-2,4時(shí),求證:x-6f(x)x;(3)設(shè)F(x)=|f(x)-(x+a)|(aR),記F(x)在區(qū)間-2,

19、4上的最大值為M(a).當(dāng)M(a)最小時(shí),求a的值.(1)解由f(x)=14x3-x2+x得f(x)=34x2-2x+令f(x)=1,即34x2-2x+1=1,得x=0或x=8又f(0)=0,f83所以曲線y=f(x)的斜率為1的切線方程是y=x與y-827=x-83,即y=x與y=x-(2)證明令g(x)=f(x)-x,x-2,4.由g(x)=14x3-x2得g(x)=34x2-2令g(x)=0得x=0或x=83g(x),g(x)的情況如下:x-2(-2,0)00884g(x)+-+g(x)-60-640所以g(x)的最小值為-6,最大值為0.故-6g(x)0,即x-6f(x)x.(3)解由(2)知,當(dāng)a3;當(dāng)a-3時(shí),M(a)F(-2)=|g(-2)-a|=6+a3;當(dāng)a=-3時(shí),M(a)=3.綜上,當(dāng)M(a)最小時(shí),a=-3.20.(本小題13分)(2019北京,理20)已知數(shù)列an,從中選取第i1項(xiàng)、第i2項(xiàng)、第im項(xiàng)(i1i2im),若ai1ai2aim,則稱新數(shù)列ai1,ai2,aim為an的長度為m的遞增子列.(1)寫出數(shù)列1,8,3,7,5,6,9的一個(gè)長度為4的遞增子列;(2)已知數(shù)列an的長度為p的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為am0,長度為q的遞增子列的末項(xiàng)的最