一級安全評價師考試馬爾柯夫預(yù)測

1、4.6馬爾柯夫預(yù)測1主要內(nèi)容馬爾柯夫預(yù)測的基本概念與原理市場占有率的馬爾柯夫預(yù)測相關(guān)領(lǐng)域應(yīng)用預(yù)測期望利潤的馬爾柯夫預(yù)測2馬爾柯夫預(yù)測的基本概念與原理 馬爾可夫（Markov）法是以俄國數(shù)學(xué)家A A Markov名字命名的一種方法。 它將時間序列看作一個隨機(jī)過程，通過對事物不同狀態(tài)的初步概率和狀態(tài)之間轉(zhuǎn)移概率的研究，確定狀態(tài)變化趨勢，以預(yù)測事物的未來發(fā)展?fàn)顩r。3狀態(tài)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移狀態(tài)是指客觀事物可能出現(xiàn)或存在的狀況。如企業(yè)的產(chǎn)品在市場上可能暢銷，也可能滯銷。狀態(tài)轉(zhuǎn)移是指客觀事物由一種狀態(tài)到另一種狀態(tài)的變化。4馬爾柯夫過程設(shè)預(yù)測對象為一系統(tǒng)，若該系統(tǒng)在某一時刻可能出現(xiàn)的狀態(tài)為Ei，而該系統(tǒng)從狀態(tài)Ei變

2、化到另一狀態(tài)Ej的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程稱為馬爾柯夫過程。它具有如下的兩個特征：無后效性：即系統(tǒng)的第n次試驗結(jié)果出現(xiàn)的狀態(tài)，只于第n-1次時所處的狀態(tài)有關(guān)，與它以前所處的狀態(tài)無關(guān)；穩(wěn)定性：即在較長時間下，該過程逐漸趨于穩(wěn)定狀態(tài)，而與初始狀態(tài)無關(guān)。 5概率向量和概率矩陣 在一行向量中，如果每一元素都為非負(fù)，且其和等于1，則稱該向量為概率向量。 如：A=(0.3 0.5 0.2) 由概率向量構(gòu)成的矩陣稱為概率矩陣。概率矩陣有下列性質(zhì)：若A、B都是概率矩陣，則AB 也是概率矩陣；若A是概率矩陣，則An也是概率矩陣。 6正規(guī)概率矩陣若P為概率矩陣，且存在m0,使Pm的所有元素均為正(非零非負(fù))，則P為正規(guī)概率矩

3、陣。正規(guī)概率矩陣(m=1)正規(guī)概率矩陣(m=2)不是正規(guī)概率矩陣7對于正規(guī)概率矩陣P和概率向量U，如果UP=U成立，則稱U為P的固定概率向量。并且P只有一個固定概率向量。正規(guī)概率矩陣的固定概率向量設(shè)P的固定概率向量為 U=(x,1-x)，則由 UP=U，得 U=(1/3,2/3)，為P的唯一的固定概率向量。8一步轉(zhuǎn)移概率與轉(zhuǎn)移矩陣系統(tǒng)由狀態(tài)Ei經(jīng)過一步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)Ej的概率為pij，則下述N階矩陣稱為一步轉(zhuǎn)移矩陣：9例110k步轉(zhuǎn)移概率與矩陣S1S1S2S10.70.70.30.411由此，兩步轉(zhuǎn)移概率矩陣為： 可以證明：12狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率的估算一步轉(zhuǎn)移概率是馬爾柯夫方法應(yīng)用的關(guān)鍵。一般地，轉(zhuǎn)移概

4、率的理論分布是未知的，但當(dāng)我們具有足夠樣本資料時，可利用狀態(tài)之間轉(zhuǎn)移的頻率來作為概率的估計值。即： 出現(xiàn)的次數(shù)為狀態(tài)其中是樣本資料中狀態(tài)轉(zhuǎn)移到的次數(shù)。 13例2已知某一產(chǎn)品在過去21個月銷量如下表所示。其中每月銷量在150千件以上為暢銷，在100千件與150千件之間為正常，低于100千件為滯銷。記三種銷售狀態(tài)分別為： 滯銷正常暢銷 14由表可知，滯銷狀態(tài)總數(shù)為: 正常狀態(tài)總數(shù)為: 暢銷狀態(tài)總數(shù)為:并且 所以 同樣 得 (注意計算轉(zhuǎn)移概率時最后一期不參加計算)15寫成一步轉(zhuǎn)移矩陣為：16系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)處于狀態(tài)i的概率如用Si表示，則系統(tǒng)的狀態(tài)可用下面的概率向量來表示：S=(S1，S2，Sn)系統(tǒng)

5、的穩(wěn)定狀態(tài)是指系統(tǒng)即使再經(jīng)過一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移，其狀態(tài)概率仍保持不變的狀態(tài)。即：SP=S 則稱S為P的穩(wěn)定狀態(tài)概率向量。17穩(wěn)定狀態(tài)概率向量求法且 S1+S2+Sn=1由從而有P11S1+P21S2+Pn1Sn=S1P12S1+P22S2+Pn2Sn=S2 P1nS1+P2nS2+PnnSn=SnS1+S2+Sn=118由前n個方程中去掉一個不獨立的方程，整理得即有矩陣形式19設(shè)系統(tǒng)在k=0時所處的初始狀態(tài)為已知，記作馬爾柯夫預(yù)測模型經(jīng)過k次轉(zhuǎn)移后所處的狀態(tài)向量記為：則20馬爾柯夫預(yù)測模型寫成矩陣形式為：21馬爾柯夫預(yù)測法的應(yīng)用條件必須將研究的問題歸納成獨立的狀態(tài)；要確定經(jīng)過一個時期后，系統(tǒng)由一種狀

6、態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N狀態(tài)的概率，并且這種概率必須滿足下列條件：只與目前狀態(tài)有關(guān)；與具體的時間周期無關(guān)；預(yù)測期間，狀態(tài)的個數(shù)必須保持不變。22預(yù)測步驟如果研究的問題符合上述條件，則構(gòu)成一階馬爾柯夫鏈，并可以據(jù)此建立預(yù)測模型，進(jìn)行預(yù)測。具體步驟如下：確定系統(tǒng)的狀態(tài)；確定轉(zhuǎn)移概率矩陣；進(jìn)行預(yù)測。23例3某公司將最近20個月的商品銷售額統(tǒng)計如下，試預(yù)測第21個月的商品銷售額。各月商品銷售額 單位：萬元241.劃分狀態(tài) 按銷售額多少作為劃分狀態(tài)的標(biāo)準(zhǔn)。 狀態(tài)1滯銷：銷售額60萬元； 狀態(tài)2平銷：60萬元銷售額100萬元； 狀態(tài)3暢銷：銷售額100萬元。解：2.計算轉(zhuǎn)移概率矩陣各狀態(tài)出現(xiàn)的次數(shù)為：M1=7；M2

7、=5；M3=8由狀態(tài)i轉(zhuǎn)移為狀態(tài)j的次數(shù)為：M11=3；M12=4；M13=0；M21=1；M22=1；M23=3；M31=2；M32=0；M33=5。3.預(yù)測因為第20月的銷售屬狀態(tài)3，而狀態(tài)3經(jīng)過一步轉(zhuǎn)移達(dá)到狀態(tài)1、2、3的概率分別為2/7、0、5/7，P33P31P32，所以第21月仍處于狀態(tài)3的概率最大，即銷售額超過100萬元的可能性最大。25某家電生產(chǎn)企業(yè)液晶電視機(jī)銷售情況如下表，分析預(yù)測下月可能的銷售量。例：單位：千臺261063185302011S1 S2 S3 本期狀態(tài)S3S2S1合計下 期 狀 態(tài) 次數(shù)從某一狀態(tài)向另一狀態(tài)轉(zhuǎn)移的次數(shù)為： 解：假設(shè)該產(chǎn)品銷售量可分為如下三個狀態(tài)

8、：(1)滯銷(2)正常(3)暢銷27轉(zhuǎn)移概率矩陣：第21期的銷量為105.9千臺，屬于暢銷狀態(tài) ，由此經(jīng)過一步轉(zhuǎn)移到達(dá)各個狀態(tài)的概率有以下關(guān)系：說明銷量在目前狀態(tài)下，經(jīng)過一次轉(zhuǎn)移暢銷的可能性最大。故預(yù)測第22期液晶電視機(jī)的銷量將超過100千臺。 28市場占有率的馬爾柯夫預(yù)測29市場占有率在市場競爭條件下，企業(yè)向市場提供的商品份額占市場總份額的比例為企業(yè)該商品的市場占有率。設(shè)市場中提供某種商品的廠商共有n家。當(dāng)前的市場占有率，即本期市場占有率為：用Pij代表經(jīng)過一個時期后i廠商喪失的顧客轉(zhuǎn)移到j(luò)廠商的概率，或j廠商得到由i廠商轉(zhuǎn)來的顧客的概率。特別是當(dāng)i=j時，Pij代表i廠商保留上期顧客的概率

9、。這樣Pij即為市場占有率的轉(zhuǎn)移概率。30對于未來一個時期的市場占有率上式表明：對于某一廠商下期市場占有率，包括自己保留下來的顧客和從其它廠商轉(zhuǎn)來的顧客兩部分占有率構(gòu)成。寫成矩陣形式，有：即：S（t+1）=S（t）P下期市場占有率取決于本期市場占有率和轉(zhuǎn)移概率。31例4有A、B、C三家企業(yè)的同種產(chǎn)品上個月在某地區(qū)市場上的占有率分別為：0.52、0.30、0.18。根據(jù)市場調(diào)查情況，每1000戶顧客中分別購買A、B、C三家企業(yè)產(chǎn)品的變化情況如表。試用馬爾柯夫預(yù)測法分析，若按目前趨勢發(fā)展下去，三家企業(yè)產(chǎn)品占有率的狀況。企業(yè)占有顧客變化情況 單位：人32解： 1確定初始狀態(tài)以上月各企業(yè)的市場占有率為

10、初始狀態(tài)，S(0)=(0.52,0.30,0.18)2.計算轉(zhuǎn)移概率3.計算本期市場占有率本月市場占有率S(1)=S(0)P,即： S(1)=(0.435,0.297,0.268)334.后續(xù)周期趨勢預(yù)測若以本月為第一個月,則第K個月的市場占有率為S(K)=S(0)PK。如果需要進(jìn)行長期趨勢預(yù)測,則可以此公式計算下去。如下表345長期市場占有率預(yù)測穩(wěn)定狀態(tài)分析企業(yè)產(chǎn)品的市場占有率的穩(wěn)定狀態(tài)是各企業(yè)產(chǎn)品的市場占有率不發(fā)生逐期變化時的狀態(tài)。從前面可以看到，隨逐時間的推移，各企業(yè)產(chǎn)品的市場占有率逐期上升或下降，但變化的幅度逐漸減小，趨近于不變，即處于穩(wěn)定狀態(tài)。若以SA、SB、 SC分別代表穩(wěn)定狀態(tài)下

11、A、B、C各企業(yè)產(chǎn)品的市場占有率，則：35得聯(lián)立方程組：0.6SA+0.35SB+0.1SC=SA0.3SA+0.35SB+0.2SC=SB0.1SA+0.3SB+0.7SC=SCSA+SB+SC=1解上述聯(lián)立方程，得：SA=0.3375，SB=0.2750，SC=0.3875。即系統(tǒng)穩(wěn)定時，A、B、C各企業(yè)產(chǎn)品的市場占有率分別為33.75%，27.5%，38.75%。36410103030250202503004501010230甲乙丙合計丙乙甲 到 從設(shè)某地區(qū)有甲、乙、丙三家企業(yè)，生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，共同供應(yīng)1000家用戶。假定在10月末經(jīng)過市場調(diào)查得知，甲、乙、丙三家企業(yè)擁有的用戶分別是：2

12、50，300，450戶，而11月份用戶可能的流動情況如下：現(xiàn)要求我們根據(jù)這些市場調(diào)查資料預(yù)測11、12兩個月三家企業(yè)市場用戶各自的擁有量。例537(1)根據(jù)調(diào)查資料，確定初始狀態(tài)概率向量為：(2)根據(jù)市場調(diào)查情況，確定一次轉(zhuǎn)移概率矩陣為：38(3)利用馬爾柯夫預(yù)測模型進(jìn)行預(yù)測，11月份三個企業(yè)市場占有率為：所以11月份三個企業(yè)市場用戶擁有量分別為： 甲：10000.28 = 280 戶 乙：10000.27 = 270 戶 丙：10000.45 = 450 戶39 若12月份用戶的流動情況與11月份相同，即轉(zhuǎn)移概率矩陣不變，則12月份三個企業(yè)市場占有率為：12月份三個企業(yè)市場用戶擁有量分別為：

13、 甲：10000.306 = 306 戶 乙：10000.246 = 246 戶 丙：10000.448 = 448 戶40穩(wěn)定狀態(tài)概率為： 41 次數(shù)下 期 狀 態(tài)合計ABC本期狀態(tài)A160120120400B1809030300C1803090300某地區(qū)銷售A、B、C三種牌號的味精，經(jīng)調(diào)查在1000個顧客中有400個顧客購買A牌號味精，有300個顧客購買B牌號味精，有300個顧客購買C牌號味精。顧客購買味精的流動情況如下表，試預(yù)測本月、第三個月的市場占有率及長期市場占有率。例642解：初始狀態(tài)為：轉(zhuǎn)移概率矩陣：43本月的狀態(tài)：即本月A牌號味精的市場占有率為0.52，B牌號味精的市場占有率

14、為0.24，C牌號味精的市場占有率為0.24。44同理也可以預(yù)測第三個月的市場占有率：即第三個月這三種牌號味精的市場占有率分別為50.08%，24.96%，24.96%。45穩(wěn)定狀態(tài)：即達(dá)到市場平衡狀態(tài)時，A牌的市場占有率為50%，B牌的市場占有率為25%，C牌的市場占有率也是25%。46應(yīng)用人力資源預(yù)測 例：某高校為編制師資發(fā)展計劃，需要預(yù)測未來教師隊伍的結(jié)構(gòu)。現(xiàn)對教師狀況進(jìn)行如下分類：青年、中年、老年和流退(流失和退休).根據(jù)歷史資料，各類教師每年的轉(zhuǎn)移概率矩陣為： 目前青年教師(碩博)400人，中年教師360人, 老年教師300人。試分析3年后教師隊伍的結(jié)構(gòu)以及為保持編制不變, 3年內(nèi)應(yīng)

15、進(jìn)多少碩博畢業(yè)生充實隊伍?47解：設(shè)目前教師結(jié)構(gòu)為則一年后的教師結(jié)構(gòu)為即流退98人,為保持編制不變,第一年需進(jìn)98人.此時青年教師為320+98=418人.教師結(jié)構(gòu)為：兩年后教師機(jī)構(gòu)為：第二年流退100人,第二年需進(jìn)100名碩博畢業(yè)生.則青年教師為334+100=434人.教師機(jī)構(gòu)為：三年后教師機(jī)構(gòu)為：48 第三年流退100人,第三年需進(jìn)100名碩博畢業(yè)生。則青年教師為347+100=447人.教師機(jī)構(gòu)為： 綜上所述：3 年內(nèi)需要引進(jìn)碩士和博士畢業(yè)生298人。3 年后教師機(jī)構(gòu)為：青年教師447名，中年教師298名，老年教師315名。49應(yīng)用項目選址預(yù)測 某汽車維修公司在合肥有A、B和C3個維修

16、廠。由于公司注重對員工技術(shù)的提高，樹立顧客至上、信譽(yù)第一的理念,采用先進(jìn)的管理模式,公司在本行業(yè)具有良好的形象，形成了一定規(guī)模的、穩(wěn)定的客戶群。的客戶的調(diào)查顯示，客戶在A、B和C3個維修廠之間的轉(zhuǎn)移概率為： 由于資金的原因，公司目前打算只對其中的一個維修廠進(jìn)行改造，并擴(kuò)大規(guī)模。試分析應(yīng)選擇哪一個維修廠。50解:由于 的所有元素都大于0,所以該矩陣是正規(guī)矩陣。因此，P存在惟一的固定概率向量：解線性方程組：即得惟一解： 可見:長期趨勢表明當(dāng)客戶在3個維修廠之間的轉(zhuǎn)移達(dá)到均衡狀態(tài)時, 大約有50%的客戶在A廠維修所以：應(yīng)選擇A廠進(jìn)行項目投資51應(yīng)用最佳經(jīng)營策略選擇預(yù)測 某地區(qū)銷售的鮮牛奶是由3個廠家

17、提供的。該地區(qū)客戶總數(shù)為100萬戶, 假定廠家從每個客戶那里每年平均獲利50萬元. 廠家2的市場調(diào)查顯示，狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為： 當(dāng)K的逐步增大穩(wěn)定狀態(tài)下向量得到固定點即均衡狀態(tài)下的市場占有率分別為50%、25%和25%52 依據(jù)均衡狀態(tài)下的市場占有率，廠家認(rèn)為應(yīng)采取積極的營銷策略，提高自己的市場占有率, 為此設(shè)計了兩套方案:方案一 旨在吸引老客戶,實施之需花費(fèi)450萬元，并估計轉(zhuǎn)移概率矩陣為：方案二 旨在吸引廠家1和廠家2的客戶,實施之需花費(fèi)400萬元并估計轉(zhuǎn)移概率矩陣為：試選擇最佳方案53方案一，顯然解：的所有元素都大于0，所以P1 為正規(guī)矩陣。故P有惟一的固定點 解線性方程組:即得惟一解

18、因此，當(dāng)市場達(dá)到均衡狀態(tài)時，廠家2的市場占有率達(dá)到44%，比原來增加了19個百分點，由此帶來的利潤為： 方案一的凈利潤為950-450=500萬元。同理方案二的凈利潤為450萬元。可見應(yīng)選擇方案一。54期望利潤的馬爾柯夫預(yù)測55期望利潤預(yù)測是指產(chǎn)品在銷售狀況發(fā)生轉(zhuǎn)移時對利潤變化的預(yù)測。在期望利潤預(yù)測中，產(chǎn)品銷售狀態(tài)的轉(zhuǎn)移可視為馬爾柯夫鏈，則由此帶來的利潤也必將發(fā)生轉(zhuǎn)變。這種隨馬爾柯夫鏈的狀態(tài)轉(zhuǎn)移所賦予的利潤轉(zhuǎn)變，稱為帶利潤的馬爾柯夫鏈。 期望利潤預(yù)測56r11:暢銷暢銷的累計利潤；r12:暢銷滯銷的累計利潤；r21:滯銷暢銷的累計利潤；r22:滯銷滯銷的累計利潤。 設(shè)銷售狀態(tài)有暢銷1和滯銷2兩種，一步轉(zhuǎn)移矩陣和相應(yīng)的利潤矩陣為：則，經(jīng)一次轉(zhuǎn)移的期望利潤(或稱即時期望利潤)為：i=1時，表示產(chǎn)品現(xiàn)處于暢銷，一次轉(zhuǎn)移后的期望利潤；i=2時，表示產(chǎn)品現(xiàn)處于滯銷，一次轉(zhuǎn)移后的期望利潤。一次轉(zhuǎn)移的