3.1.3 橢圓方程及性質(zhì)的應(yīng)用 教案

1、第三章 圓錐曲線的3.1 橢圓3.1.3 橢圓方程及性質(zhì)的應(yīng)用一、教學(xué)目標(biāo)1、熟悉橢圓的方程和簡單的幾何性質(zhì).2、正確理解和掌握直線與橢圓的位置關(guān)系3、初步認知與熟悉直線與橢圓的相關(guān)問題.二、教學(xué)重點、難點重點：對橢圓方程和簡單的幾何性質(zhì)的掌握、重點方法的學(xué)習(xí).難點：數(shù)形結(jié)合思想的正確形成，正確熟練地的運算、正確解題通道的準(zhǔn)確建立.三、學(xué)法與教學(xué)用具1、學(xué)法：學(xué)生在老師的引導(dǎo)下，通過閱讀教材，自主學(xué)習(xí)、思考、交流、討論和概括，從而完成本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo).2、教學(xué)用具：多媒體設(shè)備等四、教學(xué)過程（一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題【思考】橢圓在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的三種關(guān)系：（1）點與橢圓 （2）直線與橢圓 （3）

2、曲線與橢圓這些位置關(guān)系構(gòu)成了怎樣的數(shù)學(xué)問題？（二）閱讀精要，研討新知一、點與橢圓的位置關(guān)系問題1. 若直線與橢圓恒有公共點，則的取值范圍是 【解析】由已知，直線化為，所以直線恒過定點 依題意，只須點在橢圓上或橢圓內(nèi)即可，所以，即 又，所以的取值范圍是【答案】二、直線與橢圓的位置關(guān)系問題2.若直線與圓沒有交點,則過點的直線與橢圓的交點個數(shù)為() A.2個 B.至多一個C.1個 D.0個【解析】由題意得所以點在橢圓內(nèi),故過點的直線與橢圓有2個交點，故選A.3.已知橢圓,直線與橢圓有兩個公共點,則實數(shù)的取值范圍是_.【解析】由消去得因為直線與橢圓有兩個公共點,所以解得，所以實數(shù)的取值范圍是【答案】三

3、、直線與橢圓的弦長問題4.已知橢圓設(shè)直線與橢圓交于兩點，坐標(biāo)原點到直線的距離為，求面積的最大值【解析】設(shè) （1）當(dāng)軸時，（2）當(dāng)與軸不垂直時，設(shè)直線的方程為由已知由，整理得當(dāng)時，上式當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立當(dāng)時，綜上所述，此時，四、直線與橢圓的點的對稱問題5.已知橢圓：在橢圓上是否存在兩點關(guān)于直線對稱，若存在，求出實數(shù)的取值范圍，若不存在，說明理由.【解析】方法一：(方程組法) 設(shè)橢圓上存在兩點關(guān)于直線對稱，由題意，設(shè)，設(shè)，的中點為，由， 則 ， ，又點在直線上，代入解得 ，為所求方法二：(點差法) 設(shè)橢圓上存在兩點關(guān)于直線對稱，的中點為，則，兩式相減得又 又點在直線上， 解得，又在橢圓內(nèi)，為所

4、求五、直線與橢圓的定點問題6.已知橢圓若直線與橢圓相交于，兩點（不是左右頂點），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標(biāo)【解析】設(shè)，由 得 ， （1） 以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點，, 即 ，即，解得，且滿足.當(dāng)時，有，直線過定點與已知矛盾；當(dāng)時，有，直線過定點綜上可知，直線過定點，定點坐標(biāo)為六、直線與橢圓的定值問題7.已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點，焦點在軸上，斜率為1且過橢圓右焦點的直線交橢圓于、兩點，與共線.（）求橢圓的離心率；（）設(shè)為橢圓上任意一點，且，證明為定值.【解析】（）設(shè)橢圓方程為則右焦點為，直線的方程為，由 整理得 ，設(shè)，則 由共線，得（）由（）可知，故橢圓可化為，設(shè) 由 在橢圓上， 即 由（）知，又，代入得 七、直線與橢圓的最值問題、范圍問題8.設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點.（）若是該橢圓上的一個動點，求的最大值和最小值;（）設(shè)過定點的直線與橢圓交于不同的兩點、，且為銳角（其中為坐標(biāo)原點），求直線的斜率的取值范圍.【解析】（）方法一：由已知得，所以，設(shè)，則因為，故當(dāng)，即點為橢圓短軸端點時，有最小值當(dāng)，即點為橢圓長軸端點時，有最大值方法二：由已知得，所以，設(shè)，則（以下同方法一）（）顯然直線不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線，由，消去，整理