3.1.3 橢圓方程及性質(zhì)的應(yīng)用 教案

1、第三章 圓錐曲線的3.1 橢圓3.1.3 橢圓方程及性質(zhì)的應(yīng)用一、教學(xué)目標(biāo)1、熟悉橢圓的方程和簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì).2、正確理解和掌握直線與橢圓的位置關(guān)系3、初步認(rèn)知與熟悉直線與橢圓的相關(guān)問(wèn)題.二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：對(duì)橢圓方程和簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的掌握、重點(diǎn)方法的學(xué)習(xí).難點(diǎn)：數(shù)形結(jié)合思想的正確形成，正確熟練地的運(yùn)算、正確解題通道的準(zhǔn)確建立.三、學(xué)法與教學(xué)用具1、學(xué)法：學(xué)生在老師的引導(dǎo)下，通過(guò)閱讀教材，自主學(xué)習(xí)、思考、交流、討論和概括，從而完成本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo).2、教學(xué)用具：多媒體設(shè)備等四、教學(xué)過(guò)程（一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題【思考】橢圓在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的三種關(guān)系：（1）點(diǎn)與橢圓 （2）直線與橢圓 （3）

2、曲線與橢圓這些位置關(guān)系構(gòu)成了怎樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題？（二）閱讀精要，研討新知一、點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題1. 若直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，則的取值范圍是 【解析】由已知，直線化為，所以直線恒過(guò)定點(diǎn) 依題意，只須點(diǎn)在橢圓上或橢圓內(nèi)即可，所以，即 又，所以的取值范圍是【答案】二、直線與橢圓的位置關(guān)系問(wèn)題2.若直線與圓沒(méi)有交點(diǎn),則過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為() A.2個(gè) B.至多一個(gè)C.1個(gè) D.0個(gè)【解析】由題意得所以點(diǎn)在橢圓內(nèi),故過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓有2個(gè)交點(diǎn)，故選A.3.已知橢圓,直線與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.【解析】由消去得因?yàn)橹本€與橢圓有兩個(gè)公共點(diǎn),所以解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】三

3、、直線與橢圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題4.已知橢圓設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，求面積的最大值【解析】設(shè) （1）當(dāng)軸時(shí)，（2）當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為由已知由，整理得當(dāng)時(shí)，上式當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立當(dāng)時(shí)，綜上所述，此時(shí)，四、直線與橢圓的點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題5.已知橢圓：在橢圓上是否存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍，若不存在，說(shuō)明理由.【解析】方法一：(方程組法) 設(shè)橢圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，由題意，設(shè)，設(shè)，的中點(diǎn)為，由， 則 ， ，又點(diǎn)在直線上，代入解得 ，為所求方法二：(點(diǎn)差法) 設(shè)橢圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，的中點(diǎn)為，則，兩式相減得又 又點(diǎn)在直線上， 解得，又在橢圓內(nèi)，為所

4、求五、直線與橢圓的定點(diǎn)問(wèn)題6.已知橢圓若直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)（不是左右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)【解析】設(shè)，由 得 ， （1） 以AB為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)，, 即 ，即，解得，且滿足.當(dāng)時(shí)，有，直線過(guò)定點(diǎn)與已知矛盾；當(dāng)時(shí)，有，直線過(guò)定點(diǎn)綜上可知，直線過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為六、直線與橢圓的定值問(wèn)題7.已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，斜率為1且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，與共線.（）求橢圓的離心率；（）設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn)，且，證明為定值.【解析】（）設(shè)橢圓方程為則右焦點(diǎn)為，直線的方程為，由 整理得 ，設(shè)，則 由共線，得（）由（）可知，故橢圓可化為，設(shè) 由 在橢圓上， 即 由（）知，又，代入得 七、直線與橢圓的最值問(wèn)題、范圍問(wèn)題8.設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn).（）若是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值和最小值;（）設(shè)過(guò)定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且為銳角（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率的取值范圍.【解析】（）方法一：由已知得，所以，設(shè)，則因?yàn)?，故?dāng)，即點(diǎn)為橢圓短軸端點(diǎn)時(shí)，有最小值當(dāng)，即點(diǎn)為橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，有最大值方法二：由已知得，所以，設(shè)，則（以下同方法一）（）顯然直線不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線，由，消去，整理