含參變量反常積分課件

1、11 十月 20221本節(jié)研究形如的含參變量廣義積分(無窮限積分，無界函數(shù)的積分)的連續(xù)性、可微性與可積性。第1頁/共36頁10 十月 20221本節(jié)研究形如的含參變量廣義積分(無窮限11 十月 20222設(shè) 定義在無界區(qū)域 若對每一個固定的 , 反常積分 都收斂,則它的值是 在區(qū)間 上取值的函數(shù), 稱為定義在 上的含參量 的無窮限反常積分, 或 簡稱為含參量反常積分.第2頁/共36頁10 十月 20222設(shè) 定義在無界區(qū)域 11 十月 20223對于含參量反常積分 與函數(shù) 則稱含參量反常積分 在 上一致收斂于 .(1). 含參量無窮廣義積分第3頁/共36頁10 十月 20223對于含參量反常

2、積分 11 十月 20224(2). 含參量瑕積分第4頁/共36頁10 十月 20224(2). 含參量瑕積分第4頁/共36頁11 十月 20225 一致收斂的柯西準則:含參量反常積分 在 上一致收斂的第5頁/共36頁10 十月 20225 一致收斂的柯西準則:含參量反常積分11 十月 20226 一致收斂的柯西準則:含參量反常積分 在 上一致收斂的第6頁/共36頁10 十月 20226 一致收斂的柯西準則:含參量反常積分11 十月 20227魏爾斯特拉斯（Weierstrass）判別法若 收斂，則 設(shè)有函數(shù) ,使得第7頁/共36頁10 十月 20227魏爾斯特拉斯（Weierstrass）1

3、1 十月 20228證明因為 收斂，所以由廣義積分一致收斂的柯西準則，有從而所以 關(guān)于一致收斂。第8頁/共36頁10 十月 20228證明因為 11 十月 20229 魏爾斯特拉斯判別法:設(shè)有函數(shù) ,使得第9頁/共36頁10 十月 20229 魏爾斯特拉斯判別法:設(shè)有函數(shù) 11 十月 202210證明因為 收斂，所以由廣義積分一致收斂的柯西準則，有從而所以 關(guān)于一致收斂。第10頁/共36頁10 十月 202210證明因為 11 十月 202211 阿貝耳判別法:第11頁/共36頁10 十月 202211 阿貝耳判別法:第11頁/共36頁11 十月 202212 狄利克雷判別法;第12頁/共36

4、頁10 十月 202212 狄利克雷判別法;第12頁/共3611 十月 202213三、含參量反常積分一致收斂的性質(zhì)1. 連續(xù)性定理(1)(2)第13頁/共36頁10 十月 202213三、含參量反常積分一致收斂的性質(zhì)1.11 十月 202214第14頁/共36頁10 十月 202214第14頁/共36頁11 十月 202215證明:因為 在 內(nèi)一致收斂，所以因此，當 時，又 在 上連續(xù)，所以作為 的函數(shù)在 連續(xù)，于是(就(1)的情況)第15頁/共36頁10 十月 202215證明:因為 11 十月 202216從而，當 時，有定理證畢。第16頁/共36頁10 十月 202216從而，當 11

5、 十月 2022172. 積分順序交換定理設(shè) 在 上連續(xù)， 關(guān)于在 上一致收斂，則 在可積，并且即積分順序可以交換.證明(從略)可積性定理第17頁/共36頁10 十月 2022172. 積分順序交換定理設(shè) 11 十月 202218 可積性定理第18頁/共36頁10 十月 202218 可積性定理第18頁/共36頁11 十月 2022193. 積分號下求導(dǎo)的定理設(shè) 在 上連續(xù)， 收斂， 關(guān)于 在 上一致收斂，則在 可導(dǎo)，且即求導(dǎo)和積分順序可以交換.可微性定理第19頁/共36頁10 十月 2022193. 積分號下求導(dǎo)的定理設(shè) 11 十月 202220可微性定理第20頁/共36頁10 十月 202

6、220可微性定理第20頁/共36頁11 十月 202221證明:因為 在 連續(xù)，由連續(xù)性定理在 連續(xù)， 沿區(qū)間 積分 ，得到在上式兩端對 求導(dǎo)，得定理證畢。(就(1)的情況)第21頁/共36頁10 十月 202221證明:因為 11 十月 202222第22頁/共36頁10 十月 202222第22頁/共36頁11 十月 202223證明反常積分在 R上一致收斂.含參量反常積分在R上一致收斂.第23頁/共36頁10 十月 202223證明反常積分在 R上一致收斂.含參量11 十月 202224證明含參量反常積分在0,d上一致收斂. 在0,d上一致收斂. 第24頁/共36頁10 十月 20222

7、4證明含參量反常積分在0,d上一致11 十月 202225證明含參量反常積分在 上一致收斂 . 含參量反常積分 在 上一致收斂 . 第25頁/共36頁10 十月 202225證明含參量反常積分在 11 十月 202226例4 證明證明: （1）用分段處理的方法. ()第26頁/共36頁10 十月 202226例4 證明證明: （1）用分段處11 十月 202227因為 第27頁/共36頁10 十月 202227因為 第27頁/共36頁11 十月 202228第28頁/共36頁10 十月 202228第28頁/共36頁11 十月 202229例5 計算積分 解 第29頁/共36頁10 十月 20

8、2229例5 計算積分 解 第29頁/共11 十月 202230例 6 利用積分號下求導(dǎo)求積分 解 因為 因為 故 第30頁/共36頁10 十月 202230例 6 利用積分號下求導(dǎo)求積分 解 11 十月 202231由數(shù)學(xué)歸納法易證于是 第31頁/共36頁10 十月 202231由數(shù)學(xué)歸納法易證于是 第31頁/共311 十月 202232例7 計算積分 解 令 第32頁/共36頁10 十月 202232例7 計算積分 解 令 第32頁/11 十月 202233在第二項積分中令 得 故 第33頁/共36頁10 十月 202233在第二項積分中令 得 故 第33頁11 十月 202234(2), 含參量反常積分一致收斂的定義;(1), 含參量反常積分的定義;(3), 含參量反常積分一致收斂的判別;一致收斂的柯西準則:一致收斂的充要條件;魏爾斯特拉斯判別法;第34頁/共36頁10 十月 202234(2), 含參量反常積分一致收斂的11 十月 202235 P264: 2 (2)(3), 4 (1)(3) ,5 阿貝耳判別法