復(fù)數(shù)及其運(yùn)算課件

1、課程名稱工程數(shù)學(xué)教 材工程數(shù)學(xué)講義南京理工大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系 編總 學(xué) 時(shí)64學(xué)時(shí)教師姓名 楊彥炯課程簡介1課程名稱工程數(shù)學(xué)教 材工程數(shù)學(xué)講義南京理工大學(xué)對(duì) 象復(fù)變函數(shù)、積分變換、場(chǎng)論主要任務(wù)研究復(fù)變數(shù)之間的相互依賴關(guān)系，具體地就是復(fù)數(shù)域上的微積分。主要內(nèi)容復(fù)變函數(shù)的積分、級(jí)數(shù)、留數(shù)、共形映射、積分變換、場(chǎng)論。復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、2對(duì) 象復(fù)變函數(shù)、積分變換、場(chǎng)論主要任務(wù)研究復(fù)變數(shù)復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用背景 世界著名數(shù)學(xué)家 M.Kline指出：19世紀(jì)最獨(dú)特的創(chuàng)造是復(fù)變函數(shù)理論。 象微積分的直接擴(kuò)展統(tǒng)治了18世紀(jì)那樣，該數(shù)學(xué)分支幾乎統(tǒng)治了19世紀(jì)。 它曾被稱為這個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)享受，也曾作為抽象科學(xué)中最和

2、諧的理論。3復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用背景 世界著名數(shù)學(xué)家 M.Kline指出16世紀(jì)，解代數(shù)方程時(shí)引入復(fù)數(shù)17世紀(jì)，實(shí)變數(shù)初等函數(shù)推廣到復(fù)變數(shù)情形18世紀(jì)，J.達(dá)朗貝爾與L.歐拉逐步闡明復(fù)數(shù)的幾何、物理意義。19世紀(jì)，奠定理論基礎(chǔ)。A.L.Cauchy、維爾斯特拉斯分別用積分和級(jí)數(shù)研究復(fù)變函數(shù)，黎曼研究復(fù)變函數(shù)的映射性質(zhì)20世紀(jì)，發(fā)展為數(shù)學(xué)分支,在解析性質(zhì)、映射性質(zhì)、多值性質(zhì)、隨機(jī)性質(zhì)、函數(shù)空間及多復(fù)變函數(shù)等方面有重要成果。20世紀(jì)19181716416世紀(jì)，解代數(shù)方程時(shí)引入復(fù)數(shù)17世紀(jì)，實(shí)變數(shù)初等函數(shù)推廣到空氣動(dòng)力學(xué)流體力學(xué)電學(xué)熱學(xué)復(fù)變函數(shù)論在空氣動(dòng)力學(xué)、流體力學(xué)、電學(xué)、熱學(xué)、理論物理等領(lǐng)域有重要應(yīng)用

3、。復(fù)變函數(shù)論5空氣動(dòng)力學(xué)流體力學(xué)電學(xué)熱學(xué)復(fù)變函數(shù)論在空氣動(dòng)力學(xué)、流體力學(xué)、664）應(yīng)用于計(jì)算繞流問題中的壓力、力矩。5）應(yīng)用于計(jì)算滲流問題。 例如：大壩、鉆井的浸潤曲線。6）應(yīng)用于平面熱傳導(dǎo)問題、電(磁)場(chǎng)強(qiáng)度。 例如：熱爐中溫度的計(jì)算。 最著名的例子是飛機(jī)機(jī)翼剖面壓力的計(jì)算。 從而解決機(jī)翼的造型。74）應(yīng)用于計(jì)算繞流問題中的壓力、力矩。5）應(yīng)用于計(jì)算滲流問題7）Laurent級(jí)數(shù)應(yīng)用于數(shù)字信號(hào)處理。8）積分變換也是復(fù)變函數(shù)的重要應(yīng)用。9）Laplace變換可以求解微積分方程。積分變換的理論需要復(fù)變函數(shù)的留數(shù)等理論。利用Laurent級(jí)數(shù)直接寫出離散數(shù)字信號(hào)的Z變換。87）Laurent級(jí)數(shù)應(yīng)

4、用于數(shù)字信號(hào)處理。8）積分變換也是復(fù)10）Laplace變換應(yīng)用于控制問題。在控制問題中，傳遞函數(shù)是輸入量的Laplace變換與輸出量的Laplace變換之比。11）Fourier變換應(yīng)用于頻譜分析。12）Fourier變換應(yīng)用于信號(hào)處理。頻譜分析是把周期信號(hào)展開成Fourier級(jí)數(shù)，對(duì)各次諧波的頻率、振幅、相位之間的關(guān)系進(jìn)行分析。隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，語音、圖象作為信號(hào)，在頻率域中的處理要方便得多。910）Laplace變換應(yīng)用于控制問題。在控制問題中，傳遞函第一章 復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)1-1 復(fù)數(shù)及其運(yùn)算1-2 復(fù)變函數(shù)10第一章 復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)1-1 復(fù)數(shù)及其運(yùn)算10一、復(fù)數(shù)的概念對(duì)虛數(shù)單位,作如

5、下規(guī)定:1-1 復(fù)數(shù)及其運(yùn)算11一、復(fù)數(shù)的概念對(duì)虛數(shù)單位,作如下規(guī)定:1-1 復(fù)數(shù)及其運(yùn)算復(fù) 數(shù) (real part) (imaginary part)12復(fù) 數(shù) (real part) (imaginary 一般, 任意兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小。 復(fù)數(shù)的模 判斷復(fù)數(shù)相等13 一般, 任意兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小。 復(fù)數(shù)的模 判斷復(fù)數(shù)相例1解求 設(shè)14例1解求 設(shè)14定義 z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的和、差、積和商為： z1z2=(x1x2)+i(y1y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)四則運(yùn)算二、代數(shù)運(yùn)算15定義 z1=x

6、1+iy1與z2=x2+iy2的和、差、z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 .運(yùn)算規(guī)律復(fù)數(shù)的運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律、分配律。（與實(shí)數(shù)相同）即，16z1+z2=z2+z1；運(yùn)算規(guī)律復(fù)數(shù)的運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)定義 若z=x+iy , 稱z=x-iy 為z 的共軛復(fù)數(shù).(conjugate)共軛復(fù)數(shù)17共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)定義 若z=x+iy , 稱z=x-i例 2解18例 2解18三、 復(fù)數(shù)的表示方法點(diǎn)表示19三、 復(fù)數(shù)的表示方法點(diǎn)表示19 數(shù)z與點(diǎn)z同義.20

7、 數(shù)z與點(diǎn)z同義.20顯然成立：向量表示21顯然成立：向量表示21復(fù)數(shù)和與差的模的性質(zhì)共軛復(fù)數(shù)的幾何性質(zhì)22復(fù)數(shù)和與差的模的性質(zhì)共軛復(fù)數(shù)的幾何性質(zhì)22注意 1輻角不確定，沒有輻角.注意 2復(fù)數(shù)輻角的定義23注意 1輻角不確定，沒有輻角.注意 2復(fù)數(shù)輻角的定義23輻角主值的定義24輻角主值的定義242525 當(dāng)z落于一,四象限時(shí)，不變。 當(dāng)z落于第二象限時(shí)，加 。 當(dāng)z落于第三象限時(shí)，減 。 26 當(dāng)z落于一,四象限時(shí)，不變。 當(dāng)z落于第二象限時(shí)利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系復(fù)數(shù)可以表示成三角表示27利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系復(fù)數(shù)可以表示成三角表示27利用Euler公式指數(shù)表示28利用Euler公式

8、指數(shù)表示28例 3 將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式:解故29例 3 將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式:解故29故30故30例 4求下列方程所表示的曲線:解31例 4求下列方程所表示的曲線:解31化簡后得32化簡后得32四、擴(kuò)充復(fù)平面與復(fù)球面33四、擴(kuò)充復(fù)平面與復(fù)球面33 球面上的點(diǎn), 除去北極 N 外, 與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)之間存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系. 我們用球面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù). 球面上的北極 N 不能對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的定點(diǎn)，但球面上的點(diǎn)離北極 N 越近，它所表示的復(fù)數(shù)的模越大.34 球面上的點(diǎn), 除去北極 N 外, 與復(fù)平 我們規(guī)定: 復(fù)數(shù)中有一個(gè)唯一的“無窮大”與復(fù)平面上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)相對(duì)應(yīng),

9、 記作 . 因而, 球面上的北極 N 就是復(fù)數(shù)無窮大的幾何表示.35 我們規(guī)定: 復(fù)數(shù)中有一個(gè)唯一的“無窮大”與復(fù)包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的復(fù)平面稱為擴(kuò)充復(fù)平面. 不包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的復(fù)平面稱為有限復(fù)平面, 或簡稱復(fù)平面. 引入復(fù)球面后，能將擴(kuò)充復(fù)平面的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)明顯地表示出來. 球面上的每一個(gè)點(diǎn)與擴(kuò)充復(fù)平面的每一個(gè)點(diǎn)構(gòu)成了一一對(duì)應(yīng), 這樣的球面稱為復(fù)球面.36包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的復(fù)平面稱為擴(kuò)充復(fù)平面. 不包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的 的幾何解釋：由于在復(fù)平面上沒有一點(diǎn)能與 相對(duì)應(yīng)，所以，只得假想在復(fù)平面上添加一個(gè)“假想點(diǎn)”（或“理想點(diǎn)”）使它與 對(duì)應(yīng)，我們稱此“假想點(diǎn)”為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)關(guān)于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，我們約定：在復(fù)平面添加假想點(diǎn)后所成的

10、平面上，每一條直線都通過無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，同時(shí)，任一半平面都不包含無窮遠(yuǎn)點(diǎn)37 的幾何解釋：37 這里要特別注意的是，這里的記號(hào) 是一個(gè)數(shù)，而在數(shù)學(xué)分析中所見的記號(hào) + 或 均不是數(shù)，它們只是表示變量的一種變化狀態(tài)為使無窮遠(yuǎn)點(diǎn)有更加令人信服的直觀解釋，人們引入了黎曼球面（或復(fù)球面）：將一個(gè)球心為O ，半徑為1的球按照以下方法擱在直角坐標(biāo)系 （圖1-5）中（設(shè)復(fù)平面與 坐標(biāo)平面重合）,使球的一條直徑與 軸重合38 這里要特別注意的是，這里的記號(hào) 是一個(gè)數(shù)，而在數(shù)由復(fù)數(shù)的表示式和代數(shù)運(yùn)算得如下關(guān)系式 五、 乘積與商39由復(fù)數(shù)的表示式和代數(shù)運(yùn)算得如下關(guān)系式 五、 乘積與商39即：定理1 兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于

11、它們的模相乘， 兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角相加。40即：定理1 兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模相乘，40幾何意義 將復(fù)數(shù)z1按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度 Argz2，再將其伸縮到|z2|倍。 定理1可推廣到n 個(gè)復(fù)數(shù)的乘積。oxy(z)z1z2z241幾何意義 將復(fù)數(shù)z1按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度 定理1可推要使上式成立,必須且只需 k=m+n+1.42要使上式成立,必須且只需 k=m+n+1.42定理2 兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商， 兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除 數(shù)的輻角之差。即43定理2 兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商，即43例 6解44例 6解44de Moivr 公式定義六、

12、 乘冪與方根乘冪45de Moivr 公式定義六、 乘冪與方根乘冪45例7 求 的值解： 故有 因?yàn)?6例7 求 的值解： 故有 因?yàn)?6可以推得:從幾何上看, 方根47可以推得:從幾何上看, 方根474848例 8解即49例 8解即495050（1） 連續(xù)曲線平面曲線的復(fù)數(shù)表示:七、平面曲線51（1） 連續(xù)曲線平面曲線的復(fù)數(shù)表示:七、平面曲線51（2） 光滑曲線 由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線稱為按(分)段光滑曲線.52（2） 光滑曲線 由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線（3） Jordan曲線 除起點(diǎn)與終點(diǎn)外無重點(diǎn)的連續(xù)曲線C 稱為簡單曲線. 起點(diǎn)與終點(diǎn)重合的曲線C 稱為閉曲線.

13、簡單閉曲線稱為Jordan(若當(dāng))曲線.53（3） Jordan曲線 除起點(diǎn)與終點(diǎn)外無重點(diǎn)的連續(xù)Jordan曲線的性質(zhì) 任意一條簡單閉曲線 C 將復(fù)平面唯一地分成三個(gè)互不相交的點(diǎn)集.內(nèi)部外部邊界54Jordan曲線的性質(zhì) 任意一條簡單閉曲線 課堂練習(xí)判斷下列曲線是否為簡單曲線?答案簡單閉簡單不閉不簡單閉不簡單不閉55課堂練習(xí)判斷下列曲線是否為簡單曲線?答簡單簡單不簡單不簡單5若 是簡單曲線， 與 是定義在區(qū)間a,b 上連續(xù)并且有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，并且有 ，則稱 為光滑曲線，由有限條光滑曲線首尾連接而成的曲線為逐段光滑曲線逐段光滑曲線56若 是簡單曲線， 與 是定義在區(qū)逐段光滑曲線56（1） 鄰域注意

14、八、平面點(diǎn)集與區(qū)域57（1） 鄰域注意八、平面點(diǎn)集與區(qū)域57(2) 去心鄰域注意：58(2) 去心鄰域注意：58(3) 內(nèi)點(diǎn)(4) 開集 如果G 內(nèi)每一點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn),那末稱G 為開集.59(3) 內(nèi)點(diǎn)(4) 開集 如果G 內(nèi)每一點(diǎn)都是它的(5) 區(qū)域 連通的開集稱為區(qū)域, 即：如果平面點(diǎn)集 D 滿足以下兩個(gè)條件,則稱它為一個(gè)區(qū)域. D是一個(gè)開集； D是連通的, 就是說D 中任何兩點(diǎn)都可以用完全屬于D 的一條折線連結(jié)起來.(6) 區(qū)域的邊界點(diǎn)、邊界邊界點(diǎn)：60(5) 區(qū)域 連通的開集稱為區(qū)域, 即：如果平面點(diǎn)集 注意1： 區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些 孤立的點(diǎn)所組成的. 注意2： 區(qū)域D與

15、它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域 D的所有邊界點(diǎn)組成D的邊界. 進(jìn)一步地，設(shè) D是一個(gè)平面區(qū)域, 點(diǎn) P 不屬于D, 但 P 的任一鄰域內(nèi)總有D的點(diǎn),則稱 P為區(qū)域 D 的邊界點(diǎn).61 注意1： 區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些 注意2： 以上基本概念的圖示區(qū)域鄰域邊界點(diǎn)邊界(7) 有界區(qū)域和無界區(qū)域62以上基本概念的圖示區(qū)域鄰域邊界點(diǎn)邊界(7) 有界區(qū)域和無界(1) 圓環(huán)域:課堂練習(xí)判斷下列區(qū)域是否有界?(2) 上半平面:(3) 角形域:(4) 帶形域:答案(1)有界; (2) (3) (4)無界.63(1) 圓環(huán)域:課堂練習(xí)判斷下列區(qū)域是否有界?(2) 上半平例 設(shè)點(diǎn)集 則點(diǎn) 是 的內(nèi)點(diǎn)； 是 的邊

16、界點(diǎn)； 是 的外點(diǎn)； 是開集且為有界集； ， 是閉集且為有界集即 常稱為單位圓 這里的 64例 設(shè)點(diǎn)集 則點(diǎn) 是 的內(nèi)點(diǎn)； 是 的邊界點(diǎn)； 是 的外點(diǎn)定義: 若點(diǎn)集D為區(qū)域則稱D 連同其邊界 所組成的點(diǎn)集稱為閉域。 如果區(qū)域 D 是有界集合，則稱它為有界域，否則為無界域。65定義: 若點(diǎn)集D為區(qū)域則稱D 連同其邊界 65(8) 單連通域與多連通域的定義 復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域G, 如果在其中任作一條簡單閉曲線, 而曲線的內(nèi)部總屬于G, 就稱為單連通區(qū)域. 一個(gè)區(qū)域如果不是單連通域, 就稱為多連通區(qū)域.單連通域多連通域66(8) 單連通域與多連通域的定義 復(fù)平面上 任意一條簡單閉曲線 必將復(fù)平面唯一地分成 三個(gè)點(diǎn)集，使它們滿足：（1）彼此不相交；（2） 是有界區(qū)域（稱為曲線 的內(nèi)部）；（3） 是無界區(qū)域（稱為曲線 的外部）； （4）C 既是 的邊界又是 的邊界；3.單連域和多連域外部67 任意一條簡單閉曲線 必將復(fù)平面唯一地分成 三個(gè)點(diǎn)集，使它例設(shè) ， E表示上半平面由定義得知， 是單連通區(qū)域D表示環(huán)D 是多連通區(qū)域68例設(shè) 3 例題例 1 指出下列不等式所確定的點(diǎn)集, 是有界的還是無界的,單連通的還是多連通的.解無界的單連