在動量表象中課件

1、5.1.1 坐標(biāo)表象通過坐標(biāo)變換,以引進(jìn)量子力學(xué)中的表象及表象變換的概念.表象: 量子力學(xué)中的態(tài)和力學(xué)量的具體表示方式稱為表象.x1x2x1x2A1A1A2A2Ae1e2e1e2O平面坐標(biāo)系x1和x2的基矢e1和e2，長度為1，彼此正交，即（1）平面上的任何一個矢量都可用它們來展開, （2）A1和A2表示矢量A在兩個分量坐標(biāo)上的投影。5.1量子態(tài)的不同表象， 幺正變換5.1.1 坐標(biāo)表象通過坐標(biāo)變換,以引進(jìn)量子力學(xué)中的表象及表假設(shè)另一個x1x2直角坐標(biāo)系，由 原來的坐標(biāo)系順時針旋轉(zhuǎn)角,其基矢為e1e2, 滿足（1）在此坐標(biāo)中，矢量A表示成（2）（3）對上式分別用e1, e2點乘（4）假設(shè)另一個

2、x1x2直角坐標(biāo)系，由 原來的坐標(biāo)系順時針旋轉(zhuǎn)寫成矩陣的形式（5）R（）稱為變換矩陣元，是兩個坐標(biāo)系基矢之間的標(biāo)積。當(dāng)R確定后，任何兩個坐標(biāo)系之間的關(guān)系也就確定了。其轉(zhuǎn)置矩陣表示為（6）x1x2x1x2A1A1A2A2Ae1e2e1e2O寫成矩陣的形式（5）R（）稱為變換矩陣元，是兩個坐標(biāo)系基矢變換矩陣R與其轉(zhuǎn)置矩陣之間的關(guān)系為因為R=R，（7）變換矩陣R與其轉(zhuǎn)置矩陣之間的關(guān)系為因為R=R，（7）5.1.2 Representation Theory (表象理論) 一個粒子的態(tài)完全可由歸一化的波函數(shù)(r,t)來描述， 將(r,t)稱為坐標(biāo)表象。下面將討論用動量為變量描述波函數(shù)。 將(r,t)

3、還可表示成在整個動量空間積分。c(p,t)為展開系數(shù)， p(r )是動量的本征函數(shù)。 （11）（12） 5.1.2 Representation Theory (表顯然， c(p,t)描述的粒子態(tài)與(r,t)描述的粒子態(tài)同樣完整。 已知c(p,t)，就可以求出(r,t)，反之也一樣。即c(p,t)和(r,t)描述的是粒子態(tài)同一個狀態(tài)。因此，將c(p,t)稱為粒子態(tài)的動量表象。 如果已知(r,t) 就可以通過上式得到c(p,t)，反過來也成立。（13）（14）顯然， c(p,t)描述的粒子態(tài)與(r,t)描述的粒子態(tài)同那么在動量表象中，坐標(biāo)的平均值可以表示為其它觀測量的平均值類似可表示出。那么在動

4、量表象中，坐標(biāo)的平均值可以表示為其它觀測量的平均值類如果(x,t)描述的狀態(tài)是動量p的自由粒子的狀態(tài)在動量表象中，具有確定動量p 的粒子波函數(shù)是函數(shù)。如果(x,t)描述的狀態(tài)是動量p的自由粒子的狀態(tài)在動量表例題：一維粒子運動的狀態(tài)是解：由于波函數(shù)為歸一化，首先要對波函數(shù)進(jìn)行歸一化求1）粒子動量的幾率分布； 2）粒子的平均動量例題：一維粒子運動的狀態(tài)是解：由于波函數(shù)為歸一化，首先要對波在動量表象中課件動量的幾率分布為動量的平均值為動量的幾率分布為動量的平均值為 考慮任意力學(xué)量Q本征值為1, 2, n,對應(yīng)的正交本征函數(shù) u1(x), u 2 (x), u n (x) , 則任意波函數(shù)（x）按Q的

5、本征函數(shù)展開為下標(biāo)n表示能級，上式兩邊同乘以u*m(x), 并積分粒子態(tài)完全由an完全集確定，即能量表象。（16）（17）3. 能量表象 考慮任意力學(xué)量Q本征值為1, 2, 因為所以是對應(yīng)力學(xué)量Q取不同能量本征值的幾率因為所以是對應(yīng)力學(xué)量Q取不同能量本征值的幾率可表示成一列矩陣的形式其共軛矩陣為一行矩陣因為波函數(shù)是歸一化的，表示成可表示成一列矩陣的形式其共軛矩陣為一行矩陣因為波函數(shù)是歸一化例題1：一維諧振子的能量表象中不同能量本征值的波函數(shù)n=0:n=1:因為系統(tǒng)的波函數(shù)是正交歸一的波函數(shù)，表示為例題1：一維諧振子的能量表象中不同能量本征值的波函數(shù)n=0: 直角坐標(biāo)系中，矢量A的方向由i,j,

6、k三個單位矢量基矢決定，大小由Ax,Ay,Az三個分量（基矢的系數(shù)）決定。在量子力學(xué)中，選定一個F表象，將Q的本征函數(shù)u1(x), u2(x), un(x),看作一組基矢，有無限多個。大小由a1(t), a2(t), an(t),系數(shù)決定。所以，量子力學(xué)中態(tài)矢量所決定的空間是無限維的空間函數(shù)，基矢是正交歸一的波函數(shù)。數(shù)學(xué)上稱為希爾伯特（Hilbert）空間.常用的表象有坐標(biāo)表象、動量表象、能量表象和角動量表象總結(jié) 直角坐標(biāo)系中，矢量A的方向由i,j,k三個單例題2 質(zhì)量為m的粒子在均勻力場f(x)=-F(F0)中運動，運動范圍限制在x0, 試在動量表象中求解束縛態(tài)能級和本征函數(shù)。解： 勢能為V

7、（x）Fx， 總能量為在動量表象中，x的算符表示為例題2 質(zhì)量為m的粒子在均勻力場f(x)=-F(F0)中運定態(tài)的薛定諤方程E可由貝塞爾函數(shù)解出，基態(tài)能級為定態(tài)的薛定諤方程E可由貝塞爾函數(shù)解出，基態(tài)能級為習(xí)題4.1 求在動量表象中角動量Lx的矩陣元和L2x的矩陣元解：Lx在動量表象中的矩陣元第一項習(xí)題4.1 求在動量表象中角動量Lx的矩陣元和L2x的矩陣元第二項也可以導(dǎo)出，則Lx的矩陣元第二項也可以導(dǎo)出，則Lx的矩陣元4. 2算符的矩陣表示設(shè)算符F有如下關(guān)系 ：在Q表象中，Q的本征值分別為Q1，Q2，Q3，Qn, 對應(yīng)的本征函數(shù)分別為u1(x), u2(x), un(x),.將(x,t)和 (

8、x,t)分別在Q表項中由Q的本征函數(shù)展開代入上式，4. 2算符的矩陣表示設(shè)算符F有如下關(guān)系 ：在Q表象中，Q的兩邊同乘以u*n(x), 并在整個空間積分利用本征函數(shù)un(x)的正交性兩邊同乘以u*n(x), 并在整個空間積分利用本征函數(shù)un(引進(jìn)記號這就是在Q表項中的表述方式。表示成矩陣的形式：引進(jìn)記號這就是在Q表項中的表述方式。表示成矩陣的形式：（23）矩陣Fnm的共軛矩陣表示為因為量子力學(xué)中的算符都是厄米算符，即將滿足該式的矩陣稱為厄米矩陣（23）矩陣Fnm的共軛矩陣表示為因為量子力學(xué)中的算符都是厄 若在轉(zhuǎn)置矩陣中，每個矩陣元素用它的共軛復(fù)數(shù)來代替，得到的新矩陣稱為F的共軛矩陣Fnm的轉(zhuǎn)置

9、矩陣為根據(jù)厄米矩陣的定義所以例如例如 若在轉(zhuǎn)置矩陣中，每個矩陣元素用它的共軛復(fù)數(shù)來例題 （習(xí)題4.2）求一維無限深勢阱中粒子的坐標(biāo)和動量在能量表象中的矩陣元能量表象例題 （習(xí)題4.2）求一維無限深勢阱中粒子的坐標(biāo)和動量在能量在動量表象中課件Q在自身表象中的矩陣元Qm為Q在自身空間中的的本征值如X在坐標(biāo)空間中可表示為動量p在動量空間中表示為結(jié)論：算符在自身的表象中是一個對角矩陣Q在自身表象中的矩陣元Qm為Q在自身空間中的的本征值如X在坐一維無限深勢阱能量表象中能量的矩陣元一維諧振子能量表象中能量的矩陣元一維無限深勢阱能量表象中能量的矩陣元一維諧振子能量表象中能量 兩個矩陣的和為兩個矩陣的分量之和

10、。設(shè)C為兩矩陣之和 Cmn=AmnBmn （42）兩矩陣之積矩陣Fpp是動量空間。矩陣F（Fmnmn）稱為對角矩陣（diagonal matrix ）,當(dāng)Fmn=1, 稱為單位矩陣（unit matrix）,表示為I(mn).在動量空間中，算符F的矩陣元 兩個矩陣的和為兩個矩陣的分量之和。設(shè)C為兩矩陣之和兩矩陣4.3 量子力學(xué)公式的矩陣表述1. 平均值公式4.3 量子力學(xué)公式的矩陣表述1. 平均值公式寫成矩陣形式（51）簡寫為寫成矩陣形式（51）簡寫為例題 求一維無限深勢阱中，當(dāng)n=1和n=2 時粒子坐標(biāo)的平均值解：例題 求一維無限深勢阱中，當(dāng)n=1和n=2 時粒子坐標(biāo)的平均2. The Ei

11、genvalue Problem 在量子力學(xué)中最重要的問題是找算符的本征值和本征函數(shù)。首先，算符F的本征函數(shù)滿足（54）（55）2. The Eigenvalue Problem 有非零解的條件是其系數(shù)行列式為零（60）這是一個線性齊次代數(shù)方程組這是一個久期（secular）方程。將有1， 2 . n n個解,就是F的本征值。有非零解的條件是其系數(shù)行列式為零（60）這是一個線性齊次代數(shù)例題： 求算符x在下面波函數(shù)中的本征值, -a,a區(qū)間解：則例題： 求算符x在下面波函數(shù)中的本征值, -a,a區(qū)間解該行列式有解的條件是其系數(shù)行列式為零兩個本征值分別為該行列式有解的條件是其系數(shù)行列式為零兩個本征

12、值分別為3.矩陣形式的薛定諤方程The Schrdinger Equation in Matrix Form薛定諤方程（77）不顯含時間的波函數(shù)的能量表象（78）波函數(shù)根據(jù)哈密頓本征函數(shù)展開（79）代入薛定諤方程（80）3.矩陣形式的薛定諤方程薛定諤方程（77）不顯含時間的波函數(shù)兩邊同乘以并積分（81）（82）簡寫為H，均為矩陣元。兩邊同乘以并積分（81）（82）簡寫為H，均為矩陣元。例題： 求在動量表象中線性諧振子的能量本征函數(shù)線性諧振子的總能量為解法一：在動量表象中，x的算符表示為：則H算符表示為定態(tài)的薛定諤方程寫為例題： 求在動量表象中線性諧振子的能量本征函數(shù)線性諧振子的總c（p）是動量

13、表象中的本征函數(shù)仿照一維諧振子坐標(biāo)空間的求解方法可解出c(p)。解法二c（p）是動量表象中的本征函數(shù)仿照一維諧振子坐標(biāo)空間的求解方當(dāng)n0時，當(dāng)n0時，討論從一個表象變換到另一個表象的一般情況。設(shè)算符A的正交歸一的本征函數(shù)1(r ) ， 2(r )， n(r );設(shè)算符B的正交歸一的本征函數(shù)1(r ) ， 2(r )， n(r );（64）（66）1. Unitary Transformation（幺正變換）（65）算符F在A表象中（67）算符F在B表象中討論從一個表象變換到另一個表象的一般情況。（64）（66）1確定Fmn與F之間聯(lián)系的轉(zhuǎn)換矩陣。將算符B的本征函數(shù)(x)用算符A的本征函數(shù)n(x

14、)展開。兩邊同乘以 并積分得（69）（68）同理確定Fmn與F之間聯(lián)系的轉(zhuǎn)換矩陣。將算符B的本征函數(shù)(（70）（71）應(yīng)用厄密共軛矩陣性質(zhì)（70）（71）應(yīng)用厄密共軛矩陣性質(zhì)得到算符在兩個表象中的變換矩陣簡寫為這就是力學(xué)量F從A表象變換到B表象的變換公式。（72）得到算符在兩個表象中的變換矩陣簡寫為這就是力學(xué)量F從A表象變因為和都是正交歸一的波函數(shù)，（68）因為和都是正交歸一的波函數(shù)，（68）S與S+的積等于單位矩陣。即SS+I, S+S-1（74） 將滿足上式的矩陣稱為幺正矩陣, 由幺正矩陣表示的變換稱為幺正變換.物理意義: 在不同的表象中幾率是守恒的。如果一個粒子在態(tài)n中的幾率為1， 在態(tài)

15、n中的幾率為Sn2,那么, S12, S22, Sn2,給出粒子在態(tài)n中出現(xiàn)的幾率分布。下面的式子必定成立。（75）S與S+的積等于單位矩陣。即SS+I, S+S-1（74例題： 求轉(zhuǎn)動矩陣R(）的特征值、特征矢量和幺正變換矩陣.解：設(shè)在A表象中B表象中特征矢為本征值為代入原方程，求解b1、b2 例題： 求轉(zhuǎn)動矩陣R(）的特征值、特征矢量和幺正變換矩陣當(dāng)變換矩陣當(dāng)變換矩陣下面討論態(tài)矢量 u(x,t)從A表象變換到B表象的公式b=S+a下面討論態(tài)矢量 u(x,t)從A表象變換到B表象的公式b=S總結(jié)：幺正變換的性質(zhì)1）幺正變換不改變算符的本征值設(shè)算符F在A表項中的本征值方程為a為態(tài)矢將F和a從A

16、表象變換到B表象在B表象中因為b=S+a S1a總結(jié)：幺正變換的性質(zhì)1）幺正變換不改變算符的本征值設(shè)算符F在2）幺正變換下， 矩陣的跡（trace) 不變。用TrF表示，定義為矩陣的對角單元之和。那么TrFA=TrFB, 矩陣的積不依賴于特別的表象。2）幺正變換下， 矩陣的跡（trace) 不變。用TrF表示5.4 狄喇克符號 在經(jīng)典力學(xué)中，體系的運動規(guī)律與所選取的坐標(biāo)是無關(guān)的，坐標(biāo)是為了處理問題方便才引進(jìn)的。同樣，在量子力學(xué)中，粒子的運動規(guī)律與選取的表象無關(guān)，表象的選取是為了處理問題方便。 在經(jīng)典力學(xué)中，常用矢量的形式討論問題，并不指明坐標(biāo)系。 同樣，量子力學(xué)中描述態(tài)和力學(xué)量，也可以不用坐標(biāo)

17、系。這樣一套符號稱為狄喇克符號。5.4 狄喇克符號 在經(jīng)典力學(xué)中，體系的運動規(guī)1.右矢 (ket) 和左矢（bra） 左矢 表示右矢的共軛，例如 ，表示為的共軛態(tài)矢。 的共軛態(tài)矢。 量子體系的一切可能的態(tài)構(gòu)成一個Hilbert空間， Hilbert是一個以復(fù)量為基的一個有限的或無限的、完全的矢量空間。 2.標(biāo)積在Hilbert空間中。一個標(biāo)積(scalar product)定義為一對函數(shù)和的乘積。標(biāo)積記為 一個量子態(tài)用右矢 來表示。例如用 表示波函數(shù)描述的狀態(tài)。1.右矢 (ket) 和左矢（bra） 左矢 表標(biāo)積運算規(guī)則：若 0，則稱正交。若 1，則稱為歸一化態(tài)矢。表示態(tài)矢是正交歸一的完備系標(biāo)

18、積運算規(guī)則：若 0，則稱正交。表例題：軌道角動量l=rp，證明在lz的任何一個本征態(tài)下，lx和ly的平均值為零證明：設(shè)m為lz=的本征態(tài)，屬于本征值狀態(tài)為m因為對易關(guān)系例題：軌道角動量l=rp，證明在lz的任何一個本征態(tài)下，l類似地，利用對易關(guān)系可以證明類似地，利用對易關(guān)系可以證明|A在Q表象中的分量為a1(t), a2(t),.,在Q表象中的分量為a1(t), a2(t),.,顯然坐標(biāo)x的本征態(tài)矢正交歸一的條件是，動量p的本征態(tài)矢正交歸一的條件是，波函數(shù)的歸一化性表示為因為波函數(shù)（x,t）可以用一組基矢展開坐標(biāo)x的本征態(tài)矢正交歸一的條件是，動量p的本征態(tài)矢正交歸一的因為這種性質(zhì)稱為本征值n的

19、封閉性。用狄喇克形式表示為展開系數(shù)為因為這種性質(zhì)稱為本征值n的封閉性。用狄喇克形式表示為展開系數(shù)將代入上式，得稱為投影算符或單位算符在連續(xù)譜的情況下，求和應(yīng)換為積分將代入上式，得稱為投影算符或單位算符在連續(xù)譜的情況下，求和應(yīng)例題：兩個態(tài)矢|A 和| B在同一個表象Q中的標(biāo)記例題：兩個態(tài)矢|A 和| B在同一個表象Q中的標(biāo)記3. 算符在具體表象中的狄喇克表示方法設(shè)算符F存在如下關(guān)系將態(tài)矢A、B分別在Q表象中展開用|m左乘上式，再利用正交性3. 算符在具體表象中的狄喇克表示方法設(shè)算符F存在如下關(guān)系將則稱為算符F在Q表象中的矩陣元則稱為算符F在Q表象中的矩陣元例題 薛定諤方程表示為兩邊左乘以 k |

20、,例題 薛定諤方程表示為兩邊左乘以，計算x, p，x2，p2的平均值及x、p。解：因為利用正交性，同樣得到例題 對于諧振子的能量本征態(tài)|n，計算x, p，x2，p利用正交性，得到利用正交性，得到對于基態(tài)，n=0，剛好是測不準(zhǔn)關(guān)系的下限對于基態(tài)，n=0，剛好是測不準(zhǔn)關(guān)系的下限4. Interpretation of and +我們知道諧振子的能量是等間隔的, n所具有的能量大于n, 將該能量分成n份，一份稱為聲子(phonons), 那么將n稱為n聲子態(tài)(n-phonon state), 中表示聲子數(shù),零聲子態(tài)(zero-phonon state)，稱為真空.（66）解釋: 如果 作用于波函數(shù),

21、 則湮滅(annihilate)了一個聲子, 因而稱為湮滅算符; +作用于函數(shù), 則產(chǎn)生一個聲子, +產(chǎn)生算符. 4. Interpretation of and +我由于稱為聲子數(shù)算符(phonon number operator), （67）諧振子波場中的量子正是聲子. 如果與光子相類比的話, 就更清楚了. |3 Annihilation of a phonon +2 |1 Creation of two ohonons諧振子的能級和聲子的湮滅、產(chǎn)生示意圖En/7/25/23/21/2x由于稱為聲子數(shù)算符(phonon number operat計算a,a+, a,a+a, a+,a+a計

22、算a,a+, a,a+a, a+,a+a5.6力學(xué)量隨時間的演化厄米算符 L其平均值為（1） 因為波函數(shù)和算符都是時間相關(guān)的， 則平均值也是時間相關(guān)的。（2）第一項表示算符L的瞬時偏導(dǎo)數(shù)的平均值， 第二項積分則利用（3）應(yīng)用算符H的厄密性得到H=E 5.6力學(xué)量隨時間的演化厄米算符 L其平均值為（1） （4）簡化為（5）結(jié)論： 平均值隨時間的變化就等于 的平均值。若 L 不顯含時間，即（6）如果則（4）簡化為（5）結(jié)論： 平均值隨時間的變化就等于 6.2 Ehrenfests Theorem考慮坐標(biāo)、動量的時間導(dǎo)數(shù)都不顯含時間，則下式成立對其它分量， 有類似的成立。為了考察它們的對易性，我們考

23、慮粒子在一個勢壘中，其哈密頓量為6.2 Ehrenfests Theorem考慮坐標(biāo)、動量位置和動量之間的關(guān)系與經(jīng)典力學(xué)中的坐標(biāo)與動量之間的關(guān)系一致。位置和動量之間的關(guān)系與經(jīng)典力學(xué)中的坐標(biāo)與動量之間的關(guān)系一致。形式與經(jīng)典的牛頓方程相似。對三維的位置和動量，有這就是Ehrenfests theorem 形式與經(jīng)典的牛頓方程相似。對三維的位置和動量，有這就是Ehr6.3 Laws of Conservation則該算符對時間的導(dǎo)數(shù)為零，其運動可視為常數(shù), 即勻速運動。如果一個算符本身不顯含時間， 即它又與H對易， 算符H是總能量算符，顯然H與它本身對易。即使它顯含時間, 其運動仍為常量，這就是能量守恒定律。勻速運動的算符對我們量子力學(xué)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)非常重要。1. 守恒量6.3 Laws of Conservation則該算符對時動量算符P不顯含時間，如果Vx=0, 則稱為動量守恒定律.對中心力, 勢能只是半徑r的函數(shù), 角動量算符與勢能V(r )對易。整個哈密頓量為因此 有角動量守恒定律成立。還可得出動量算符P不顯含時間，如果Vx=0, 則稱為動量守恒定 2. The Virial Theorem 位力定律是從動能算符和勢能的平均值得到的公式既在經(jīng)典力學(xué)中成立，又在量子力學(xué)中成立。在經(jīng)典力學(xué)中，的瞬時平均值在周期運動中為零。時間導(dǎo)