關(guān)于傅里葉變換與振幅關(guān)系的思考

1、關(guān)于傅里葉變換與振幅關(guān)系的思考摘要：在對簡諧振動(dòng)三要素分析的基礎(chǔ)上，考察簡諧振動(dòng)的疊加性，進(jìn)而引入傅里葉級數(shù)與傅里葉變換，從一種全新的視角給出 傅里葉變換與振幅的關(guān)系。關(guān)鍵詞：傅里葉變換；頻譜；振幅關(guān)于傅里葉變換，很多文章只是告訴這么操作一下就可以得 到正確結(jié)果，沒有解釋為什么這樣做，往往會(huì)讓人覺得“不明覺 厲”，仿佛是一種魔法。但是一旦理解了它是一種分解操作，理 解了 “基函數(shù)”的意義，理解了傅里葉變換與幅度的關(guān)系，我們 就很容易理解為什么要做、怎么做、為什么這樣做。下面我們 一一來論述。1簡諧振動(dòng)的三要素以川表示簡諧振動(dòng)的位移，表示時(shí)間，這種振動(dòng)的數(shù)學(xué)表 達(dá)式為：/(/)= j4sm(co

2、Z+(p)式中力為振幅，它表示振動(dòng)的強(qiáng)度，少表示角頻率，(P稱為 初相位。振幅4、角頻率少、初相位，(P稱為簡諧振動(dòng)三要素。2簡諧振動(dòng)的疊加性一個(gè)比較復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)可以看成是許多不同頻率的簡諧振 動(dòng)的疊加。8/(0 = 4)+ Z 4 sin(n(o t +p)n=l=4)+ Z(4 sincp ncosraGrf + 4, cos(p sinncoZ)這種展開稱為諧波分析。其中常數(shù)項(xiàng)&稱為彤的直流分 量；4$位(砒+(pi)稱為一 次諧波(又叫基波)；4sin(2of+(p2) 4sin(3+(P3),，依次稱為二次諧波，三次諧波，等等。令，號弓=如國.也=4海 職，ta=x得傅里葉級數(shù)，即

3、將周期函數(shù)展開成由簡單的三角函數(shù)組成 的級數(shù)，F(xiàn)C滬奪+(河心+樞11心)L n=l3簡諧振動(dòng)疊加的唯一性根據(jù)線性空間中的正交性質(zhì)，級數(shù)展開是唯一的。3.1函數(shù)的內(nèi)積是向量內(nèi)積概念的推廣一個(gè)函數(shù)/&)可以看作無窮維向量。設(shè)/(x)，g(x)是定義在 甚如區(qū)間上的兩個(gè)可積函數(shù)，函數(shù)的自變量類似有限維向量中每 個(gè)分量的下標(biāo)1,2,3,”只是*在何力中連續(xù)取值，所以尸(X)是無 窮維向量。因?yàn)閷τ趚的每一個(gè)取值，/(*)和g(x)都是一個(gè)分量，所以兩 個(gè)函數(shù)的內(nèi)積是對應(yīng)分量(函數(shù)值)之積的無限和，可以用定積 分表示。為了看清這一推廣，將向量X=(石冉，)，丫=(0,*.土) 內(nèi)積表示為0,丫)=而小

4、1 +沔力+矽皿1三角函數(shù)系 cos X, sin x, cos 2x, sin 2x,cos nx, sin nx,在陣上 正交，即其中任意兩個(gè)函數(shù)之積在Em上的積分等于0。證明：Leos心辦=Ls也= 0 (理=1,2,同理海品cosnx衣，=?cos(A： + n)x+ cos(k-n)x)x = 0 (k,n = ,2,-,kn)sinAx-sinnrcZr = O (kin = l,2-,kn)J-7tcosir sinnx(i = 0 (ktn = 1,2-,kn)在三角函數(shù)系中，兩個(gè)相同函數(shù)的乘積在上的積分不 等于0;且有1 -Ixdx = 2?tJ-nf cos2 nxdx =

5、 7C ( = 1,2, )J-jc(,n2I cos nxdx = tc (ra = 1,2, )結(jié)論：設(shè)/(x)是周期為2tt的周期函數(shù)，且a 03f(x)= y +cos wx + bnsiiiwx)(1)右端級數(shù)可逐項(xiàng)積分an = j f(x)-cosnxdx (w = l,2,-)bn = J f(x)-smnxdx (m = 1,2,-)3.2周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開是唯一的基波角頻率為1的非正弦周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)(1)說明 以1, cosx,sinx,cos2x, ,cosnx,sin%為基的無限維線性空間中的向量總是可以由這些正交基向量 疊加出來，疊加系數(shù)就是與各基向量求內(nèi)積

6、得到。周期函數(shù)的傅 里葉級數(shù)就是它在內(nèi)積空間上的正交分解，分解是唯一的。4頻譜函數(shù)與振幅的關(guān)系4.1傅里葉級數(shù)在傅里葉級數(shù)里面，4=府宥表示第n次諧波的振幅。 周期信號總是包含某些頻率的正弦波，其加權(quán)不為零，但在頻譜 上，加權(quán)是無限大的，用沖激函數(shù)表示。4.2傅里葉變換對于傅里葉變換，非周期函數(shù)所可以看成是某個(gè)周期函數(shù) 人0)當(dāng)TS時(shí)得到。先了解4=2無伽8決=：(%-仍“)( = 0,1,2,-)，它 是一個(gè)復(fù)數(shù),|cJ = H%F，與&=a；+b；相差一個(gè)系數(shù)* 當(dāng)T*時(shí)，變成傅里葉變換項(xiàng))=匚f(t)e-m,dt，2也叫頻譜函數(shù)，R方伽8小與相差一個(gè)系數(shù)，|/)|稱作振 幅函數(shù)，也叫頻譜。傅里葉逆變換將非周期信號看作無窮多個(gè)復(fù)指數(shù)信號相加， 因此每個(gè)信號的加權(quán)都是零，但在密度上有差別，密度用傅里葉 變換以后的函數(shù)值表示。所以，傅里葉變換項(xiàng)) = 口六以產(chǎn)以, 橫坐標(biāo)表示分離出來的信號對應(yīng)的頻率，縱坐標(biāo)是f相應(yīng)加權(quán)密度，傅里葉變換的模例(0)|表示振幅。傅里葉逆變換是用復(fù)指數(shù)信號的和表示各種形式的信號，復(fù) 指數(shù)信號頻率不同，他們的頻率是原信號頻率的整數(shù)倍。這些信 號是高頻信號，他們修飾與原信號頻率相同的信號，使得傅里葉 逆變換就等于原信號。頻譜上的最低頻率就是原信號頻率，對應(yīng) 的幅值最大的。傅里葉逆變換是在頻率上求和，不是在時(shí)域上。那么，我們