平面向量三點共線定理的推論及空間推廣

1、 證明：(1)tOP=xOA+yOB+zOC=(x+y+z)OP,/.xPA+yPB+zPC=0,由推論3知結(jié)論成立.由得證./、VSIz/、VSIzI一OPAB二APAB二VSIx+y+zIO-PABCAABC同理可證VOPBCVOPABCIyIOPCA_Ix+y+zIOPABCAAA推論6.已知四面體ABCD及與其頂點不重合的點O,若aOA+bOB推論6.已知四面體ABCD及與其頂點不重合的點O,V:V:V:V_IaI:IbI:IcI:IdI.OBCDOACDOABDOABC證明：只證a,b,c,d0的情形，其它情形可類似證明.由aOA+bOB+由aOA+bOB+cOC+dOD_0,得aO

2、Ab+c+dbOB+cOC+dODb+c+d,令OP_bOB+cOC+dODb+c+d，VO，VOACD同理可證則P,B,C,D四點共面，由推論5,S:S:S_b:c:d，又-aOA_OP，如圖4,知APCDAPBDAPBCb+c+dIOPI:IOAI_a:(b+c+d)，VOABDVOBCDVo-abc_a+b+c+d，命題得證.四結(jié)論的應(yīng)用1.如圖，OMAB，點P在由射線OM，線段OB及AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界）運動,且Op_xOA+yOB，則x的取值范圍；當(dāng)x_2時，y的取值范圍解析：由推論1及推論1，有x0，且當(dāng)x_2，有Ox+y1,答案為：x0,y0,x+y1，適.合的

3、只有答案為.5.設(shè)點O在AABC外,且OA2OB3OC=0，則S:S二AABCAOBC解析：由推論3，可知S:S=Ix+y+zI:IxI=4.AABCAOBC5.設(shè)點P是AABC內(nèi)一點(不包括邊界)，且AP=mAB+nAC(m,ngR)，則m2+n2-2m-2n+3的取值范圍是.解析：由推論1及推論1知m,n滿足m0,n0,m+n1，m2+n2-2m-2n+3=(m-1)2+(n-1)2+1表示點（m,n）到（1,1）的距離的平方，由線性規(guī)化知識可得所求的范圍為（2,+8）.6.已知點O與四面體ABCD，且OA+OBOCOD=0,則S:S:SAABDABCDACAD解析：由推論5，OD=OA+

4、OBOC，可知S:S:S=1-11:1:1=1:1:1.AABDABCDACAD7.若點O與四面體ABCD，且OA+2OBOC3OD=0，則V:S:S二O-ABDO-BCDO-CAD解析：由推論6，可知V:S:S:S=111:1:2:131=1:1:2:3.O-ABDO-BCDO-CADO-ABC8.已知點P是四面體ABCD內(nèi)一點（不包括邊界），且AP=xAB+yAC+zAD（x,y,zgR），則點x,y,zLi滿足x2+y2+z23的概率是Li解析：因為點P在四面體ABCD內(nèi)（不包括邊界），由推論4知x,y,z滿足0 x,y,z1x0 x,y,z1x+y+z1表x+y+z1，如圖建立空間直角坐標系，（x,y,z）l示三棱錐o-Ac。內(nèi)部的區(qū)域而（x，y,z）|x2+y2+z23表示以點1V.-3-V、O為圓心，