初中數(shù)學(xué)-圓中角平分線模型

1、圖21圖21已性交葡圓中角平分線模型廣猛說題系列之圓中角平分線模型商機市贊化學(xué)校段廣猛問潁;如圖1所示，6。是RlZiABC的外接圓j且AC=3, BC=4f /ACB的平分線與玲。交于點D,求3的長.解題前（畝題）：RlZkABC及忌。這些最基本的&骨架”都是確定的, 角平分線CD也是確定的，整個圖中所有的東西都是確定 的，既然是確定的注定是可解的！苜先；同學(xué)們不要畏 懼這些確定性的題目，而且它們往往不僅不可怕反 而可能很“溫柔”，注怎2玩她都有可以！即常?？?以做到”一題多解號.此題背置是圓，苜先有個基本功工同受們必須形成條 件反射，即角等一弧等一弦等”的迅速轉(zhuǎn)化，如圖2所 示，由CD是/

2、ACB的平分線知.ZAdZBCD,從而有筋=5:弦AIABD .故AABD為等腰直角三角形，ZAOZBCIZaABD3A=45D.解題中（析題）:構(gòu)思一（員特殊角構(gòu)解三角形*解題中（析題）:構(gòu)思一（員特殊角構(gòu)解三角形*崛）:C _如圖3所示，連接AD,則/A/B是確定的,或者說其三角函數(shù)值是確定的,和它們所在的直角三角形/ A、三邊之比是確定的，目為九4： 5,也可稱這種角為立特殊商3 ./ df X另外，由/A645。及AC=3這些確定性條件，結(jié) A . 一 丁3B合全等三角形判定方法yAA/知，ACD是一個確 定的三角舷，從而8也是確定的，解ZkACD即可， 而且:，怎幺確定下來的就怎2求

3、解” i執(zhí)果素因，由 因?qū)Ч?，因果循環(huán)，妙趣橫生：這就是我所渭的&基 于確定性思想的因果關(guān)系分析法”，它是一種常用的思 考問題、解決問題的方式，同學(xué)們應(yīng)該逐漸學(xué)會這種分 析方法.而且它應(yīng)該也是我們?nèi)ァ爱媹D”的基本原理.再過點A作AE1CD于點&則將目標(biāo)用/分割為了兩個直第三角形，等腰比色氐34及比AEDj 由 AC=. 算可得 AE=GE=, ”再由 AE: ED: AD=3: 4: 5 得 UA V2V2從而CD=CE-ED= =坐.:二巴旅:Z徜倩得一提的是，連接BD,同理也可解色8力求CD,不再贅述，同學(xué)們可自行歷究.從,而由CE=CF得3-x=4-x,從,而由CE=CF得3-x=4-x

4、,解得睡匚（見平線構(gòu)“雙垂重D ：如圖4所示連接DA及DE,貝U DA=DB,且NnDB=g。%見口角平分線乙位核形成條件反射作雙垂即過點,D作DI：1CA于點.E, 作 DF_LCB干點 F,則 DE=DF：容易證明四邊形CEDF為正方形？知CE=CF- 另外由在母在易證；：RlAAEDRtABFD,設(shè)AE=BF=x,貝| CE=3f, CF=4畫77三 ,而 CD= CE= i 2 .梅忠三（見等E殖角三角形構(gòu)施轉(zhuǎn)四）：連接梅忠三（見等E殖角三角形構(gòu)施轉(zhuǎn)四）：連接DA DB易知,包口為等腰直角三角開火其中D3=DB目ZAKB-孫，登就為 旋轉(zhuǎn)奠定了天然的條件；點D出發(fā)有三條線段DAUDB,

5、 可將線段D3繞著點D按順時針方向旋 轉(zhuǎn)兜。至DB位置，這樣線段DC也會相 應(yīng)旋轉(zhuǎn)90至DE位能，如圖5所示：由旋轉(zhuǎn)易知aADC絲為公BDE,:貝 AOBE HZDAC=ZDBE,由外圓的內(nèi) 接四邊形對角互補“如DBC= 180 貝iJ/DSE- ZDBO1 0即 CBE=ig。1VM而公B、E三點共線. 故ADCE為等腰直角三角升源易知CE=CB-BE=7 , 從而CD=CE=-a/2 .22值得一提的是，也可將線段DB繞著點D按逆時針方向旋轉(zhuǎn)。0口至DA位置，則線段.DC也會相應(yīng)旋轉(zhuǎn)至相應(yīng)的位置，不再落迷，同學(xué)可自行研究，具體可參加本人作麻詼,一 轉(zhuǎn)那些事上廠詞構(gòu)思四（作垂線構(gòu)胃由CT模型

6、）：_設(shè)構(gòu)思四（作垂線構(gòu)胃由CT模型）：_設(shè)8與AB交于點F,連接OD.則易知OD1AB,再過點C作CE1AB于點E,構(gòu) 造出“射影型”相似，如圖6所示晨則AE、CE、OE、OD均可求j.g7.12由射影正理口算得AE=-，. OE=OA -AE=-f由面積法如C?E=-;510易知ACEFs&DOF;且相似比為蘭=耳？則EF CF 24 口 2412,=一丁 M EF= OE= f 從而 DF 254935497 FCD= CF=-” 一口4一上上日| r丁 AC SC AC + BC 7 從而目標(biāo)線底CD=CE+DE=二 十j= = -j= = -j=這里,：；由A、E向經(jīng)過等艘KtAAB

7、D直角頂點的線段 DC作“雙垂”,構(gòu)造出一粗全等三角形WAADE絲RtZXDBF （AAS）：,本屆即為“一線三直角I是一種應(yīng)用極其廣涕 的基本模型，需要同學(xué)們認(rèn)真反思；琢磨！解題后C思題）：反思是一種重要的習(xí)慣，尤其是解題后反思！做一道題就應(yīng)該真正做到題目中去n真 正反思到題目里來，“閉上眼睛”將題目中的來龍去脈再想一遍，日積月累，學(xué)習(xí)好習(xí)慣 會慢慢地養(yǎng)成，解題能力也一定會悄無聲息地在提升！對梅忠一（見“特殊角”梅“解三角形”整，的反思二普通意義上，初中階段所謂的燈特殊角”特指3口工45% 這三種甭但筆者認(rèn)為只 要是已知三角困數(shù)值的任何一個確定的角都可以理解為所謂強特殊角力，其所在的直角三

8、角形總是相似的，換言之，其所在的直角三角形三邊之比也是確定的.同學(xué)們畝題時，往 往要先“抓不變量3尤其是抓這些“不變角再結(jié)合“比例法”分析圖中各線段之間 的比例關(guān)系，這時于分析問題、口算結(jié)果至關(guān)重要.在一個三角形中，通過全等的判定方法一旦確定這個三角形是唯一存在的，那么就可 以在不破壞其“特殊角”的前提下，通過作高線構(gòu)造直角三角形，通過解直憑三竄?穿出 這個三角形來，我們來看看下面這個最基本的關(guān)于“解三角形的模型題：練習(xí)如圖7所示，在2VPAB中，AB=5? tanZA=- 的長并求出/nPB的度數(shù).簡析:對于求PA、PB的長，在不破壞其/A及二B的前提下通過作高線PG,構(gòu)造 兩個小特殊直角三

9、甬形,再結(jié)合方程思想”即可，如圖7-1所示；要求上APB的度數(shù)，最基本的想法是求出其一個三角函數(shù)值，但2注PB是鈍角劭中 階段.我們只學(xué)過銳角三角圖數(shù)二可以通過轉(zhuǎn)化求其補角的度數(shù)？如圖”2中所示的 ZBPH,通過作高線BH,構(gòu)造通BPH由面積法求BH,再用藥股定理求出PH,可發(fā) 現(xiàn)BFH為等腰直角三角形/可得/APB為1站口.例題中的“構(gòu)思一”解法，對于學(xué)生而言，難在復(fù)雜的圖形中識別或構(gòu)造“解三角形” 這個基本模型，所以平時學(xué)習(xí)中，務(wù)必不能因題目簡單就“一帶而過”，這些所謂“簡單 題“往往就是我們解決復(fù)雜問題的“突破口內(nèi)，在復(fù)雜圖形中識別或構(gòu)造這些簡單的“基 本模型”才是困難所在！解題后反思正

10、是最好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，“哪怕題目再簡單j我也要反 思”！這是一種意識，一種品質(zhì),一種提升能力的方式與方法！比如下面這題，對很多學(xué) 生而言，難度較大，試試看,你還能識別到*不變角L利用比例法口算答案不？(題目來源:高fl陸贊化學(xué)校九年級自主練習(xí)3 )練習(xí)2 ：如圖g所示，已知點A(4, 0) ,O為坐標(biāo)原點,P是線段OA上任意一點【不 含端點O, A),過P、。兩點的二次函數(shù)1和過P、A兩點的二次函數(shù)售的圖象開口均 向下，它們的頂點分別為B. 0射線C與AC相交于點,D.當(dāng)口*AIA3B寸，求這兩個 二次函接的最大值之和.DD對構(gòu)思二（見再平分城構(gòu)“雙垂中睡）的反思:角平分線可以說是同學(xué)們剛接觸幾何

11、時最重要的一個概念，也是最基本的一個模型， 見再平分線這個條件，就應(yīng)該想到作“雙垂” $甚至有時候證明角平分線，也需要作“雙 垂”.我們一起來看看下面這個關(guān)于角平分線的一個所謂的圓中三弦定理”特例：特別說明:以下內(nèi)容摘自浙江紹興沈岳夫老師發(fā)表于中國數(shù)學(xué)教官2016年初中版第 12期文章點動圖變思構(gòu)圖分類探求尋突破一一對一道九年級期末復(fù)習(xí)題力肆鐐初 感悟.,定理1如圖叫在RtAM；中，/配爐段10。為Rt曲;的外接圓，.日平分/加方且交白于點,心 則/；+宛=應(yīng) 如.（證明邊程喀.河興蔑的讀者請目三思考證見）弱化定理1中的條件；如果比盧段“ ，那么公，爾，這三者之間又有著什么樣 的數(shù)量關(guān)系呢，通

12、過類比探究得到L .定理- 2;如圖10? AC, BC是9。的兩條弦二且./AC片0 , /MB的平分線交巳0于點D,則AC + ECYCD,（透個定理是.圓中三弦定理”的一個特例:2證明：如圖K）,連接皿、叫過點口作/KE兩邊的垂線比和DF,垂足分別是EF.可ijf RtAADERt ABDF,得黜=即,貝IAC 十 EC=AC +它F 十 EF=AC 十 CF 十 AEfE 十 S4KE, 所以4C + RegeCE = -_-.在Rt ACDE中,因為.cos.ZDCE= $所以 在=匚加口3NDCE ,即ACrBC廠肱工痼gQACrBC廠肱工痼=CDcos-；變形得肥+ EO2CD8

13、0二，故命題成立.22通過對定理1；定理2的探究，揭示了命題中條件與隱含條件, 結(jié)詒的內(nèi)在聯(lián)系,為 尋求解題途徑指明了方向，使問題的解法簡單流暢、別具一格，達到了化繁為簡、化難為 易的目的，而且還可以開拓學(xué)生的思路、提高解題能力，對學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣培養(yǎng)也大有程fn 上面是沈老師文章所提，如有冒犯，敬請原諒，沈特是本人的偶像哦！上面模型的證明及例題的“構(gòu)思二”，都可采用見角平分線構(gòu)“雙垂”模型，再分析 求解，有的時候反過來，需要證明角平分線的話，也可作“雙垂”，證相等即可，比如下廣國文指i廣國文指i（題目來海 部附贊化學(xué)樹1邠腔品作業(yè)改編）練習(xí)3：如圖11所示 ABC和八BED均為等邊三角形，AD

14、與BC交于點P, EC 與BD交于點Q,且與AD交于點M,連接YB,當(dāng)A、B、E三點共線時，求證二VB平 分/AXIE.簡析:先證明dADB二CEE （見圖11-1）,進一步證明ZAPB二ZkCQB （見圖11-2）/ 再過點H向/心正的兩邊作雙垂（見圖114）,可證明EG=RH,從而問題得解-至于BG=BH,可以直接由“全等三角形的對應(yīng)邊上的高對應(yīng)相等“直觀感知，但不好 直接利用這個結(jié)論，可以用面積法證一下，也可以,再來一；欠全等證一下，學(xué)生可自行體悟！時腿三（見等角三形構(gòu)旋轉(zhuǎn)”酗的反思：拆去時腿三（見等角三形構(gòu)旋轉(zhuǎn)”酗的反思：拆去例題圖中的0。，保甯模型的*骨架其實這也是一個常見的基本模型

15、工. 維者稱上為學(xué)共斜邊的等腰直角三角形加直角三角形模型與，如下圖所示，詳見本人作品 旅轉(zhuǎn)誕事.已知直角ZkABC和等腰直角ADBC,則AB-AOAD.D簡稱“共斜邊等腰邕角三角形一直角三角形”模型（異側(cè)型）.已知直角ABC和等腰直角DBC,則AB-AC72AEL再來看一看已知直角ABC和等腰直角DBC,則AB-AC72AEL再來看一看2015年常州中考填空壓軸題：練習(xí)4：如下圖，在?？诘膬?nèi)接四邊形 朋S中弧磔的中點，則雨的長是1；AS=3, 4Z?=5簡稱“共斜邊等腰直角三角形-直角三角形”模型（同側(cè)型）.關(guān)于上面這兩個模型，2。16年中考幾個地方都有出現(xiàn)，如廣州中考壓軸題、淮安中考 壓軸題

16、，需充分引起同學(xué)們平時對于幾何基本圖形積累的重視，以達到在考試中靈活應(yīng)對 的自如，尤其是借助旋轉(zhuǎn)那些事，把一些常見的典型模型利用“旋轉(zhuǎn)”思:“日厚 在一起，使自己對于模型應(yīng)用達到“無模勝有模打的境界！;乙皿=60口 1點.二為。 A&ACNaD簡析;此題可借助NBnC=NDACj 見角平分線構(gòu)雙垂模型完成也可借助CB-B,且/BCIAL2口。，“見等腰構(gòu)旋轉(zhuǎn)模型”完成，均不再窗述.對構(gòu)思四及構(gòu)思五的反思：這兩種方法都是考察學(xué)生平時對一些全等或相似等基本圖形的識別與構(gòu)造，如構(gòu)思四 中涉及的落射熹型相似“及日字形相似”，如構(gòu)思五中涉及的門一線三直角”等基本圖 形3如何在復(fù)雜的圖形中識別到這些基本圖形，如何在“殘缺的”圖形中聯(lián)想構(gòu)造出這些 基本圖形，就是大家學(xué)好幾何的關(guān)鍵所在;只有對于一些常見基本圖形理解透，才能在解題中對這