專題15：解析幾何一【解析版】-2022年高考數(shù)學(xué)尖子生強基校考講義

1、2022年高考數(shù)學(xué)尖子生強基計劃專題15：解析幾何一真題特點分析：1.【2020武漢大學(xué)1 】設(shè)圓半徑為3，其一條弦，為圓上任意一點，則的最大值為（ ）A. 0B. 1C. 3D. 42.【2020年清華大學(xué)】在非等邊中，若和分別為的外心和內(nèi)心，在線段上，且滿足，則下列選項正確的是（ ）A，四點共圓BCD3.【2021年清華大學(xué)】在中，為的中點，則的最大值為（ ）ABCD答案：B知識要點拓展一、知識精講點到直線的距離 ：(點,直線：).2.圓的四種方程（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 .（2）圓的一般方程 (0).（3）圓的參數(shù)方程 .（4）圓的直徑式方程 (圓的直徑的端點是、).3.點與圓的位置關(guān)系點與圓

2、的位置關(guān)系有三種若，則點在圓外;點在圓上;點在圓內(nèi).4.直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系有三種:;. 其中.5.橢圓的參數(shù)方程是.6.雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系(1）若雙曲線方程為漸近線方程：.(2)若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為.(3)若雙曲線與有公共漸近線，可設(shè)為（，焦點在軸上， 焦點在軸上）.7.直線與圓錐曲線相交的弦長公式或（三角形四心的坐標(biāo) 設(shè)三邊的長度分別為a,b,c，三個頂點A、B、C的坐標(biāo)分別記為、，則重心G、內(nèi)心I、垂心H、外心O坐標(biāo)分別為、。直線系 若直線與直線相交于P，則它們的線性組合（，且不全為0）（*）表示過P點的直線系。當(dāng)參數(shù)為一組確定的值時，（*）表示一條過P

3、點的直線。特別的，當(dāng)時，（*）式即；當(dāng)時，（*）式即為。對于以外的直線，我們往往只在（*）式中保留一個參數(shù)，而使另一個為1.又若與平行，這時（*）式表示所有與平行的直線。3.圓冪定理：過一定點作兩條直線與圓相交，則定點到每條直線與圓的交點的兩條線段的積相等，即它們的積為定值.備注：切線可以看作割線的特殊情形，切點看作是兩個重合的交點.若定點到圓心的距離為，圓半徑為，則這個定值為.當(dāng)定點在圓內(nèi)時，等于過定點的最小弦的一半的平方；當(dāng)定點在圓上時，；當(dāng)定點在圓外時，等于從定點向圓所引切線長的平方.特別地，我們把稱為定點對于圓的冪.4.兩圓的“根軸”：到兩圓等冪的點的軌跡是與此二圓的連心線垂直的一條直

4、線；如果此二圓相交，那么該軌跡是此二圓的公共弦所在直線這條直線稱為兩圓的“根軸”對于根軸我們有如下結(jié)論：三個圓兩兩的根軸如果不互相平行，那么它們交于一點，這一點稱為三圓的“根心”三個圓的根心對于三個圓等冪當(dāng)三個圓兩兩相交時，三條公共弦(就是兩兩的根軸)所在直線交于一點5.各曲線的定義：（1）橢圓：；（2）雙曲線：；（3）拋物線：6.圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面上，到一個定點的距離與到一條定直線的距離之比為一個常數(shù)的點的軌跡叫做圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）當(dāng)時，曲線是橢圓；當(dāng)時，曲線是雙曲線；當(dāng)時，曲線是拋物線這個定點叫做曲線的焦點，定直線叫做曲線的準(zhǔn)線，定點到定直線的距離叫做焦參數(shù)7.圓錐曲線

5、的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）橢圓：，；（2）雙曲線：，（）；（3）拋物線：，（）備注：比值叫圓錐曲線的離心率，其中。典例精講例1（復(fù)旦）橢圓上的點到圓上的點的距離的最大值是（ ）。（A）11 （B） （C） （D）分析與解答：由平面幾何知識，橢圓上的點到圓上的點的距離最大值=橢圓上的動點到圓心的最大距離+圓的半徑。設(shè)圓圓心為，是橢圓上的點，則（當(dāng)時取等號）。故所求距離最大值為11.注：或者考慮與的相交情況，用判別式法解決。例2（復(fù)旦）拋物線，為拋物線的焦點，是拋物線上兩點，線段的中垂線交軸于，。證明：是的等差中項；若，為平行于軸的直線，其被以AD為直徑的圓所截得的弦長為定值，求直線的方程。分析與解答：（

6、1）設(shè)，由拋物線定義知。又中垂線交軸于，故，因為，所以，故，是的等差中項。因為，所以。設(shè)，。圓心。設(shè)直線的方程為。由于弦長為定值，故為定值，這里R為圓的半徑，d為圓心到的距離。 。令，即時，為定值，故這樣的直線的方程為。例3（復(fù)旦）已知拋物線，直線都過點且互相垂直。若拋物線與直線中至少有一條相交，求實數(shù)的取值范圍。分析與解答：先看的情形，如圖13-8，顯然，無論在拋物線形內(nèi)，還是在形外。與始終至少有一條相交，故符合題意。若，過作拋物線的切線，設(shè)這兩條切線的張角為。若，則我們總可以找出兩條互相垂直的直線，使這兩條直線與不相交，（如圖13-9）；若，則過的兩條直線中，必有一條與相交（如圖13-10

7、）。 圖13-8 圖13-9 圖13-10于是，原問題轉(zhuǎn)化為如下一個問題：過作拋物線的切線，這兩條切線對拋物線的張角。設(shè)過的切線方程為，由，知。令。設(shè)方程兩根為，則。由韋達(dá)定理，故。綜上，的取值范圍是。例4設(shè)，常數(shù)，定義運算“”：，定義運算“”： ；對于兩點、，定義.(1)若，求動點的軌跡；(2)已知直線與(1)中軌跡交于、兩點，若，試求的值；(3)在(2)中條件下，若直線不過原點且與軸交于點S，與軸交于點T，并且與(1)中軌跡交于不同兩點P、Q , 試求的取值范圍。分析與解答：(1)設(shè) 則 又由0可得 P(,)的軌跡方程為，軌跡C為頂點在原點，焦點為的拋物線在軸上及第一象限的內(nèi)的部分 (2)

8、 由已知可得 , 整理得,由 ,得， OxyOxyPSTQQ1P1解得或(舍) ； (3)設(shè)直線,依題意,，則,分別過P、Q作PP1y軸，QQ1y軸，垂足分別為P1、Q1，則由消去y得 、取不相等的正數(shù)，取等的條件不成立 的取值范圍是（2，+） 例5（清華）拋物線的焦點為，弦過，原點為，拋物線準(zhǔn)線與軸交于點，求。分析與解答：解法一：設(shè)，分別過A、B作x軸的垂線，垂足分別為，依拋物線定義知，所以，所以。同理，所以。解法二：AB：代入拋物線中，所以。所以又，所以。例6（北大）已知點，若點C是圓上的動點，求面積的最小值。分析與解答：圓的方程。設(shè)到AB：的距離為d，則。因為。所以，所以。當(dāng)C點的坐標(biāo)取

9、時，的面積有最小值。例7.（交大）如圖，在上，關(guān)于拋物線對稱軸對稱。過點作切線，切線，點到距離分別為，。試問：是銳角、鈍角還是直角三角形？若的面積是240，求的坐標(biāo)和的方程。分析與解答：（1）對求導(dǎo)，。設(shè)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知BC的斜率。由題意知，設(shè)，則。從而。 ， ， ，再結(jié)合知，故是直角三角形。由（1），不妨設(shè)C在AD上方，AB的方程為。由得到另一個交點。AC方程為，由得到另一個交點。 ， ，所以，解得，故或。 時，BC的方程為。 時，BC的方程為。注：此題的關(guān)鍵是證明。四、真題訓(xùn)練1.（復(fù)旦）拋物線的準(zhǔn)線方程為（ ） （B） （C） （D）2.對于直角坐標(biāo)平面內(nèi)任意兩點、，定義它們之間的一

10、種“新距離”：.給出下列三個命題：若點在線段上. 則 ；在中，若,則；在中，。其中的真命題為 ( ) A. B. C. D. 3.（復(fù)旦）極坐標(biāo)方程為常數(shù)）所表示的曲線是（ ）。圓或直線 （B）拋物線或雙曲線 （C）雙曲線或橢圓 （D）拋物線或橢圓4.（復(fù)旦）參數(shù)方程所表示的函數(shù)是（ ）。圖像關(guān)于原點對稱 （B）圖像關(guān)于直線對稱（C）周期為的周期函數(shù) （D）周期為的周期函數(shù)在平面直角坐標(biāo)系中，定義點之間的“直角距離”為。若到點的“直角距離”相等，其中實數(shù)滿足，則所有滿足條件的點的軌跡的長度之和為。在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點。定義、兩點之間的“直角距離”為。已知，點為直線上的動點， 則的最小

11、值為 。7.（“卓越聯(lián)盟”）如圖，是圓的直徑，于，且，是圓的切線，交于。求；連結(jié)，判斷與的關(guān)系。并加以證明。8.（北大）求過兩拋物線交點的直線方程。9.（同濟(jì)）如圖，已知動直線經(jīng)過點，交拋物線于兩點，坐標(biāo)原點是的中點，設(shè)直線的斜率分別為。證明：；當(dāng)時，是否存在垂直于x軸的直線，被以為直徑的圓截得的弦長為定值？若存在，請求出直線的方程，若不存在，請說明理由。10.（上海交大）是圓與上的點，求的最小值。真題訓(xùn)練答案1.【答案】B【分析與解答】：令則原拋物線方程為，其準(zhǔn)線方程為，故原拋物線的準(zhǔn)線方程為。2.【答案】C3.【答案】D【分析與解答】：由知識拓展圓錐曲線的統(tǒng)一極坐標(biāo)方程知：，。故為橢圓或拋

12、物線（當(dāng)且僅當(dāng)時取拋物線）。4.【答案】C【分析與解答】：， ，即，故是以為周期的周期函數(shù)。5.【答案】：6.【答案】：47.【分析與解答】：（1）連結(jié)AF、OF，則A、F、G、H四點共圓。且由EF是切線知，。所以，且（弦切角等于弦所對的圓周角）所以。所以。FD與AB不平行（即相交），用反證法。如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點，AB所在直線為y軸建立一個平面直角坐標(biāo)系。若，則D點的橫坐標(biāo)等于F點的橫坐標(biāo)，即4.從而。又，所以EF的斜率為。而。這與是圓的切線矛盾！8.【分析與解答】：設(shè)交點為，則 5+2有，同理：。所以都在直線上，而過兩點的直線方程是唯一的。所以所求直線方程為。9.【分析與解答】：（1）解法

13、一：設(shè)。直線AQ交拋物線于，則直線AQ：，直線AB：，先將代入中。所以，同理。所以。所以B與C關(guān)于x軸對稱即與關(guān)于x軸對稱。所以。解法二：設(shè)AB：代入中，。因為，所以拋物線為：。那么可設(shè)，又，并可得A、P中點，（如圖）則圓的半徑。再設(shè)直線存在且為：。那么要使被以AP為直徑的圓截得的弦長為定值C；則即。所以直線存在，為。10.【分析與解答】：設(shè)圓的圓心為，則。再設(shè)Q點坐標(biāo)為，則 ，從而，等號成立，且三點共線，即且三點共線。故的最小值為。五、強化訓(xùn)練：A組1、（華南）已知圓，點是圓內(nèi)一點。過點的圓的最短的弦在直線上，直線的方程為，那么（ ）（A），且與圓相交（B），且與圓相切（C），且與圓相離（D

14、），且與圓相離【答案】【解析】易知，當(dāng)時，過點的弦長最短；若最短的弦在直線上，則是直線的一個法向量；故，即，；另外：圓心到直線的距離，故與圓相離；2、（復(fù)旦）拋物線的準(zhǔn)線方程為（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】【解析】將拋物線圖像向右平移個單位得到拋物線的圖像；拋物線的準(zhǔn)線方程為，故拋物線的準(zhǔn)線方程為；3、（復(fù)旦）已知常數(shù)滿足。設(shè)和分別是以和為漸近線且通過原點的雙曲線，則和的離心率之比等于（ ）（A）（B）（C）1（D）【答案】【解析】由條件可設(shè)的方程式，的方程式。又、過原點，故由知，故，從而前應(yīng)帶負(fù)號，前應(yīng)帶正號，且，所以，得4、（復(fù)旦）將同時滿足不等式，的點組成的集合D稱為可行域，將函

15、數(shù)稱為目標(biāo)函數(shù)，所謂規(guī)劃問題就是求解可行域中的點使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到可行域上的最小值。如果這個規(guī)劃問題有無窮多個解，則的取值為（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】【解析】題中的可行域為圖中的陰影部分，表示點與陰影部分中的點的連線的斜率。要使問題有無窮多解，則點到直線上，即，故5、（復(fù)旦）已知是以為圓心、為半徑的圓周，兩點、在以為起點的射線上，并且滿足，則稱、關(guān)于圓周C對稱。那么，雙曲線上的點關(guān)于單位圓周的對稱點所滿足的方程是（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】【解析】任取點在雙曲線上，設(shè)其關(guān)于圓周的對稱點，則，即.令，則，故，即所滿足的方程是6、（武大）過點的動直線交圓于A、B兩點，分別過A、B

16、作圓C的切線，如果兩切線相交于點Q，那么點Q的軌跡為（ ）（A）直線（B）直線的一部分（C）圓的一部分（D）雙曲線的一支【答案】【解析】設(shè)點A、B、Q，因為直線AQ、BQ與圓相切，所以直線AQ的方程為：，直線BQ的方程為：。又因為點Q在這兩條直線上，所以有，則A、B都滿足方程，且經(jīng)過A、B兩點的直線唯一，故AB所在直線方程為，又因為點在直線AB上，所以，故點Q在直線上，而直線與圓相交，而點Q不在圓內(nèi)，所以點Q的軌跡為直線的一部分。7、（武大）以圓錐曲線的焦點弦為直徑的圓和相應(yīng)準(zhǔn)線相離，則此曲線是（ ）（A）橢圓（B）雙曲線（C）拋物線（D）圓【答案】【解析】設(shè)AB是圓錐曲線的焦點弦，A、B到相

17、應(yīng)焦點的距離分別為，圓錐曲線的離心率為e，則它們到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離分別為，圓心到準(zhǔn)線的距離為，而圓的半徑，因為圓和相應(yīng)準(zhǔn)線相離，故，即對應(yīng)的圓錐曲線為橢圓。8、（武大）如果直線平分圓的周長，那么的取值范圍是（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】【解析】由題意可知，直線經(jīng)過圓的圓心，所以，即，所以，所以當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。所以。9、（復(fù)旦）設(shè)有直線族和橢圓族分別為（為實數(shù)，為參數(shù)）和（是非零實數(shù)），若對于所有的，直線都與橢圓相交，則應(yīng)滿足（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】【解析】注意到直線恒過定點，對所有，直線與橢圓相交，則當(dāng)且僅當(dāng)在橢圓的內(nèi)部，所以，即。10、（同濟(jì)）若圓上至少有三個不同的點到直線的距離為，則直線的斜率的取值范圍是?！敬鸢浮俊窘馕觥繄A的方程為：，圓心： ，半徑為，若圓上至少有3個點到直線的距離為，則直線與圓必相交，否則滿足條件的點最多只有兩個。因而只需滿足圓心到直線的距離，即，整理得： 。解出即可。11、（武大）如果直線與圓相交，且兩個交點關(guān)于直線對稱，那么實數(shù)的取值范圍為。【答案】【解析】因為兩個交點關(guān)于直線對稱，而這兩個交點均在直線，所以直線垂直于直線，即有。