平面點集與多元函數課件

1、1 平面點集與多元函數 多元函數是一元函數的推廣, 它保留著一元函數的許多性質, 同時又因自變量的增多而產生了許多新的性質, 讀者對這些新性質尤其要加以注意. 下面著重討論二元函數, 由二元函數可以方便地推廣到一般的多元函數中去. 一、 平面點集 二、 R2 上的完備性定理 三、 二元函數 四、 n 元函數1 平面點集與多元函數 多元函數是一元函數的推廣,一、平 面 點 集 平面點集的一些基本概念 由于二元函數的定坐標平面上滿足某種條件 P 的點的集合, 稱為平對 與平面上所有點之間建立起了一一對應.在平面上確立了直角坐標系之后, 所有有序實數 義域是坐標平面上的點集, 因此在討論二元函數之前

2、，有必要先了解平面點集的一些基本概念. 面點集, 記作一、平 面 點 集 平面點集的一些基本概念 由于二元函數例如： (2)(3)例如： (2)(3)圖 16 1 (a) 圓 C (b) 矩形 S 圖 16 2 (a) 圓鄰域 (b) 方鄰域 圖 16 1 (a) 圓 C (b) 矩形 S 由于點 A 的任意圓鄰域可以包含在點 A 的某一方鄰域之內(反之亦然), 因此通常用“點 A 的 鄰用記號 或 來表示. 點 A 的空心鄰域是指:或并用記號 來表示. 域” 或 “點 A 的鄰域” 泛指這兩種形狀的鄰域, 并由于點 A 的任意圓鄰域可以包含在點 A 的某一方鄰域之內(注意: 不要把上面的空心

3、方鄰域錯寫成 : ( 請指出 點和點集之間的關系以下三種關系之一 : 任意一點 與任意一個點集 之間必有 E 的內點; 由 E 的全體內點所構成的集合稱為 E (i) 內點若則稱點 A是 的內部, 記作 int E. 錯在何處? )注意: 不要把上面的空心方鄰域錯寫成 : ( 請指出 點和(ii) 外點 若則稱點 A 是 E 的外點; 由 E 的全體外點所構成的集合稱 (iii) 界點 若 恒有 ( 其中 ), 則稱點 A 是 E 的界點由 E 的全體界點所構成的集合稱為 E 的邊界, 記作注 E 的內點必定屬于 E; E 的外點必定不屬于 E; E 的界點可能屬于 E, 也可能不屬于 E.

4、并請注意: 為 E 的外部. (ii) 外點 若則稱點 A 是 E 的外點; 由 E 只有當時, E 的外部與 才是兩 個相同的集合. 圖 16 3例1 設平面點集（見圖 16 3）于D; 滿足 的一切點也是 D 的內點; 滿足 的一切點是 D 的界點, 它們都屬滿足 的一切點都是 D 的界點, 但它們都不屬于 D.只有當時, E 的外部與 才是兩 個相同的集合. 圖點 A 與點集 E 的上述關系是按 “內-外” 來區(qū)分的. 此外，還可按 “疏-密” 來區(qū)分，即在點 A 的近旁是否密集著 E 中無窮多個點而構成另一類關系: (i) 聚點 若在點 A 的任何空心鄰域內都 含有 E 中的點，則稱點

5、 A 是點集 E 的聚點注1 聚點本身可能屬于E，也可能不屬于E. 注2 聚點的上述定義等同于: “在點 A 的任何鄰域 內都含有 E 中的無窮多個點”. 注3 E 的全體聚點所構成的集合稱為 E 的導集, 記 點 A 與點集 E 的上述關系是按 “內-外” 來區(qū)分的. 作 又稱 為 E 的閉包, 記作 例如, 對于例1 中的點集 D, 它的導集與閉包同為其中滿足 的那些聚點不屬于D, 而其余 所有聚點都屬于 D.(ii) 孤立點 若點 , 但不是 E 的聚點（即存 在某 0, 使得 則稱點 A 是 E 的孤立點. 注 孤立點必為界點; 內點和不是孤立點的界點必 作 又稱 為 E 的閉包, 記

6、作 例如, 對于例1 中為聚點; 既非聚點, 又非孤立點, 則必為外點. 例2 設點集 顯然, E 中所有點 ( p, q ) 全為 E 的孤立點; 并有 一些重要的平面點集 根據點集所屬的點所具有的特殊性質, 可來定義一 些重要的點集. 開集 若點集 E 所屬的每一點都是 E 的內點( 即 E = int E ), 則稱 E 為開集. 為聚點; 既非聚點, 又非孤立點, 則必為外點. 例2 閉集 若點集 E 的所有聚點都屬于 E 則稱 E 為閉集. 若點集 E 沒有聚點這時也稱 E 為閉集. 例如前面列舉的點集中, (2)式所示的 C 是開集; (3) 式所示的 S 是閉集; (4)式所示的

7、 D 既非開集, 又 非閉集; 而(1)式所示的 R2 既是開集又是閉集. 在 平面點集中, 只有 R2 與 是既開又閉的. 開域 若非空開集 E 具有連通性, 即 E 中任意兩 點之間都可用一條完全含于 E 的有限折線相連接, 閉集 若點集 E 的所有聚點都屬于 E 則稱 E 為閉集.則稱 E 為開域. 簡單地說, 開域就是非空連通開集. 閉域 開域連同其邊界所成的集合稱為閉域. 區(qū)域 開域、閉域、開域連同其一部分界點所成 的集合, 統(tǒng)稱為區(qū)域. 不難證明: 閉域必為閉集; 而閉集不一定為閉域. 在前述諸例中, (2)式的 C 是開域, (3)式的 S 是閉 域, (1)式的 R2 既是開域

8、又是閉域, (4)式的 D 是區(qū) 域 (但既不是開域又不是閉域). 又如 則稱 E 為開域. 簡單地說, 開域就是非空連通開集. 它是 I、 III 兩象限之并集. 雖然它是開集, 但因不具有連通性, 所以它既不是開域, 也不是區(qū)域. 有界點集 對于平面點集 E, 若使 其中 O 是坐標原點(也可以是其他固定點), 則稱 E 是有界點集. 否則就是無界點集 (請具體寫出定義). 前面 (2), (3), (4) 都是有界集, (1) 與 (5) 是無界集. E 為有界點集的另一等價說法是: 存在矩形區(qū)域 它是 I、 III 兩象限之并集. 雖然它是開集, 但因此外，點集的有界性還可以用點集的直

9、徑來反映, 所謂點集 E 的直徑, 就是 其中(P1, P2) 是 P1 (x1, y1) 與 P2 (x2, y2)之間的距 離, 即 于是, 當且僅當 d(E) 為有限值時, E為有界點集. 根據距離的定義, 不難證明如下三角形不等式: 此外，點集的有界性還可以用點集的直徑來反映, 所謂點集 舉例討論上述點集的性質例3 證明: 對任何恒為閉集. 證 如圖16 4 所示, 設的任一聚點，欲證（即 亦為的界 點）. 為此由聚點定義，存在 圖 16 再由為界點的定義, 在 舉例討論上述點集的性質例3 證明: 對任何恒為閉集. 的點. 由此推知在 內既有的點, 又有非 的任意性, 為的界點, 即,

10、 這就證得 為閉集 注 類似地可以證明: 對任何點集 亦恒為閉集. ( 留作習題 ) 例4 設 試證 E 為閉 集的充要條件是： 內既有的點, 又有非 的點. 所以, 由的點. 由此推知在 內既有的點, 又有非 的任意性, 為的界圖 16 5 證 下面按循環(huán)流程圖16 5 來分別作出證明. 已知為閉集( 即 ),欲證 反之顯然有 圖 16 5 證 下面按循環(huán)流程圖16 綜合起來, 便證得 已知 欲證 為此 外點, 反之顯然 綜合起來, 便證得 已知 欲證 為此 外點, 反注 此例指出了如下兩個重要結論: (i) 閉集也可用 “”來定義 ( 只是使用 起來一般不如 “”方便, 因為有關聚點 有許

11、多便于應用的性質 )(ii) 閉集與開集具有對偶性質 閉集的余集為開 集; 開集的余集為閉集. 利用此性質, 有時可以通 過討論 來認識 E. 注 此例指出了如下兩個重要結論: 例5 以下兩種說法在一般情形下為什么是錯的? (i) 既然說開域是“非空連通開集”，那么閉域就是 “非空連通閉集”；(ii) 要判別一個點集是否是閉域, 只要看其去除 邊界后所得的是否為一開域, 即 答 (i) 例如取 這是一個非空連 通閉集. 但因它是前面 (5) 式所示的集合 G 與其邊 界 (二坐標軸) 的并集 (即), 而 G 不是 例5 以下兩種說法在一般情形下為什么是錯的? (i) 開域, 故 S 不是閉域

12、 (不符合閉域的定義). (a) (b) (c) 圖 16 6 (ii) 如圖16 6 所示, (a)中的點集為 D; (b)中的點 集為 (c) 中的點集為 易見 E 為一開域, 據定義 F 則為閉域；然而 開域, 故 S 不是閉域 (不符合閉域的定義). 顯然不符合它為閉域的定義. 由此又可見到:二、R2上的完備性定理 平面點列的收斂性定義及柯西準則 反映實數 系完備性的幾個等價定理, 構成了一元函數極限理 論的基礎. 現在把這些定理推廣到 R2, 它們同樣是 二元函數極限理論的基礎. 顯然不符合它為閉域的定義. 定義1 設 為一列點, 為一固定點. 則稱點列 Pn 收斂于點 P0 , 記

13、作 同樣地有 定義1 設 為一列點, 為一固定點. 則稱點列 Pn由于點列極限的這兩種等價形式都是數列極限, 因 此立即得到下述關于平面點列的收斂原理. 定理16.1(柯西準則) 收斂的充要條件是: 證（必要性）由于點列極限的這兩種等價形式都是數列極限, 因 此立即得應用三角形不等式, 立刻得到(充分性) 當 (6) 式成立時, 同時有 這說明 xn 和 yn 都滿足關于數列的柯西準則, 所以它們都收斂. 由點列收斂概念, 推知Pn收斂于點 P0(x0, y0). 應用三角形不等式, 立刻得到(充分性) 當 (6) 式成 ( 這是一個重要命題, 證明留作習題.) 下述區(qū)域套定理, 是區(qū)間套定理

14、在 R2 上的推廣. 定理16.2(閉域套定理) 設 Dn 是 R2 中的一列閉 域, 它滿足： ( 這是一個重要命題, 證明留作習題.) 下述區(qū)域套圖 16 7 則存在唯一的點 證 任取點列 從而有 ( 參見圖16 7 ) 由柯西準則知道存在圖 16 7 則存在唯一的點 證 任取點列 從而有任意取定 n, 對任何正整數 p, 有 再令由于 Dn 是閉域, 故必定是閉集, 因此 作為 Dn 的聚點必定屬于 Dn , 即最后證明 的唯一性. 若還有 則由 任意取定 n, 對任何正整數 p, 有 再令由于 Dn 推論 注 把上面的 Dn 改為一列閉集, 命題同樣成立. 下面討論中的聚點定理和有限覆

15、蓋定理. 定理16.3(聚點定理) 若為有界無限點集, 則 E 在 R2 中至少有一個聚點. 證 現用閉域套定理來證明. 由于 E 有界, 因此存 在一個閉正方形. 如圖 16 8 所示, 把 D1分成四個相同的小正方形, 則在其中至少有一小閉 正方形含有 E 中無限多個點, 把它記為 D2. 再對 推論 注 把上面的 Dn 改為一列閉集, 命題同樣圖 16 8 D2 如上法分成四個更小 的正方形, 其中又至少有 一個小閉正方形含有 E 的無限多個點. 如此下去, 得到一個閉正方形序列：很顯然, Dn 的邊長隨著 而趨于零. 于是由閉域套定理, 存在一點 圖 16 8 D2 如上法分成四個更小

16、 的最后, 由區(qū)域套定理的推論, 又由 Dn 的取法, 知道含有 E 的無限多個點, 這就證得了M0 是 E 的聚點. 推論 有界無限點列 必存在收斂子列 ( 證明可仿照 R 中的相應命題去進行. ) 定理16.4(有限覆蓋定理) 設為一有界閉域 , 為一族開域 , 它覆蓋了 D 中必存在有限個開域 它們 同樣覆蓋了D, 即 最后, 由區(qū)域套定理的推論, 又由 Dn 的取法, 知道含本定理的證明與 R 中的有限覆蓋定理 ( 定理 7.3 ) 相仿, 在此從略. 注 將本定理中的 D 改設為有界閉集, 而將 改設為一族開集, 此時定理結論依然成立 . 例7 設試證 E 為有界閉集的充要條件 是:

17、 E 的任一無窮子集 Eq 必有聚點, 且聚點屬于 本定理的證明與 R 中的有限覆蓋定理 ( 定理 7.3 ) 證(必要性) E 有界 有界, 由聚點定理 ,必有聚點. 又因的聚點亦為 E 的聚點, 而 E 為 閉集, 所以該聚點必屬于 E (充分性) 先證 E 為有界集. 倘若 E 為無界集, 則 存在各項互異的點列易見這個子集無聚點, 這與已知條件相矛盾. 再證 E 為閉集. 為此設 P0 為 E 的任一聚點, 由聚 點的等價定義, 存在各項互異的點列 使 證(必要性) E 有界 有界, 由聚點定理 ,必有聚點.現把 看作 , 由條件 的聚點 ( 即 ) 必屬于 E, 所以 E 為閉集.

18、三、二元函數 函數(或映射)是兩個集合之間的一種確定的對 應關系. R 到 R 的映射是一元函數, R2 到 R 的映 射則是二元函數. 現把 看作 , 由條件 定義2 設平面點集 , 若按照某對應法則 f , D 中每一點 P ( x, y ) 都有唯一確定的實數 z 與之 對應, 則稱 f 為定義在 D 上的二元函數 ( 或稱 f 為 D 到 R 的一個映射 ), 記作 也記作 或點函數形式 定義2 設平面點集 , 若按照某對與一元函數相類似, 稱 D 為 f 的定義域; 而稱 為 f 在點 P 的函數值; 全體函數值的集合為 f 的 值域, 記作 . 通常把 P 的坐標 x 與 y 稱為

19、 f 的自變量, 而把 z 稱為因變量. 當把 和它所對應的 一起組成 三維數組 ( x, y, z ) 時, 三維點集 便是二元函數 f 的圖象. 通常該圖象是一空間曲 與一元函數相類似, 稱 D 為 f 的定義域; 而稱 面, f 的定義域 D 是該曲面在 xOy 平面上的投影. 例8 函數的圖象是 R3 中的一個平面, 其定義域是 R2, 值域是 R . 例9 的定義域是 xOy 平面上的 單位圓域 , 值域為區(qū)間 0, 1 , 它的圖象是以原點為中心的單位球面的上半部分 ( 圖16 9 ). 例10 是定義在 R2 上的函數, 它的圖象是過 原點的雙曲拋物面 ( 圖 16 10 ).

20、面, f 的定義域 D 是該曲面在 xOy 平面上的投影圖16 9 圖16 10 圖16 11 圖16 9 圖16 10 圖16 11 例11 是定義在 R2 上的函數, 值域 是全體非負整數, 它的圖象示于圖 16 11. 若二元函數的值域 是有界數集, 則稱函數 在 D上為一有界函數 ( 如例9 中的函數 ) . 否則, 若 是無界數集, 則稱函數在 D上為一無界 函數 ( 如例8、10、11 中的函數 ). 與一元函數類似地, 設 則有 例11 是例12 設函數 ( 此函數在以后還有特殊用處 ) 試用等高線法討論曲面 的形狀. 解 用 為一系列常數 ) 去截曲面 得等高線方程 例12 設函數 ( 此函數在以后還有特殊用處 ) 試用當 時, 得 平面上的四條直線 當 時, 由等高線的直角坐標方程難以看出它 的形狀. 若把它化為極坐標方程, 即令得到如圖16 12 所示, 為所對應的一 族等高線. 當 時, 得 平面上的四條直線 圖 16 12 圖 16 12 圖 16 13由此便可想象