數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念課件

1、概率與統(tǒng)計(jì)第十八講 樣本及抽樣分布安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院徐林Email：xulinahnu概率與統(tǒng)計(jì)第十八講 樣本及抽樣分布安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科第四章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念引言總體與樣本統(tǒng)計(jì)中常用的三種分布抽樣分布第四章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念引言引 言數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，它研究怎樣有效地收集、整理和分析帶有隨機(jī)性的數(shù)據(jù)，以對所考察的問題作出推斷或預(yù)測，并為采取一定的決策和行動(dòng)提供依據(jù)和建議。幾個(gè)實(shí)際問題：1. 估計(jì)產(chǎn)品壽命問題: 根據(jù)用戶調(diào)查獲得某品牌洗衣機(jī)50臺的使用壽命為，5，5.5，3.5，6.2，.。根據(jù)這些數(shù)據(jù)希望得到如下推斷：A可否認(rèn)為產(chǎn)品的平均壽命不低于4年？B保

2、質(zhì)期設(shè)為多少年，才能保證有95%以上的產(chǎn)品過關(guān)？引 言數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，它研究怎樣有效地收集、2商品日投放量問題：如草莓的日投放量多少合理？如何安排銀行各營業(yè)網(wǎng)點(diǎn)的現(xiàn)金投放量？快餐食品以什么樣的速度生產(chǎn)最為合理等等。例 制衣廠為了合理的確定服裝各種尺碼的生產(chǎn)比例，需要調(diào)查人們身長的分布。現(xiàn)從男性成人人群中隨機(jī)選取100人,得到他們的身長數(shù)據(jù)為:(1) 試推斷男性成人身長X的概率密度(2)若已知X服從正態(tài)分布N(,2),試估計(jì)參數(shù)的,2值已知“總體”的分布類型,對分布中的未知參數(shù)所進(jìn)行的統(tǒng)計(jì)推斷屬于“參數(shù)統(tǒng)計(jì)”.2商品日投放量問題：如草莓的日投放量多少合理？如何安排銀行數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法

3、的特點(diǎn)1.數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法的歸納性質(zhì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，但是他們在推理方法上有區(qū)別的。數(shù)學(xué)的方法主要是演繹，而統(tǒng)計(jì)的方法主要是歸納。例子1 抽煙有害健康問題的證明例子2 證明等腰三角形兩底角相等在幾何學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)上方法是不一樣的。數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法的特點(diǎn)1.數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法的歸納性質(zhì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法的特點(diǎn).2.數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法得到的結(jié)果具有不確定性 數(shù)理統(tǒng)計(jì)所依據(jù)的數(shù)據(jù)在采集的時(shí)候具有隨機(jī)性，雖然它也可以反映總體的特征，但是有不確定性，這是邏輯的必然。統(tǒng)計(jì)學(xué)的作用就是提供歸納推理的方法以及計(jì)算這種不確定性程度的方法。這種帶有不確定性的推斷稱為統(tǒng)計(jì)推斷，而不確定的程度可以用概率表示數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法的特點(diǎn).2.數(shù)理統(tǒng)計(jì)

4、方法得到的結(jié)果具有不確定性4.1 隨機(jī)樣本一、總體與樣本 1. 總體：研究對象的全體。通常指研究對象的某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)。組成總體的元素稱為個(gè)體。從本質(zhì)上講，總體就是所研究的隨機(jī)變量或隨機(jī)變量的分布。4.1 隨機(jī)樣本一、總體與樣本 1. 總體：研究對象的全2. 樣本:來自總體的部分個(gè)體X1， ，Xn 如果滿足：（1）同分布性： Xi，i=1,n與總體同分布.（2）獨(dú)立性： X1， ，Xn 相互獨(dú)立； 則稱為容量為n 的簡單隨機(jī)樣本，簡稱樣本。而稱X1， ，Xn 的一次實(shí)現(xiàn)為樣本觀察值，記為x1， ，xn 2. 樣本:來自總體的部分個(gè)體X1， ，Xn （1）同分樣本的雙重性質(zhì)1.在具體的試驗(yàn)實(shí)施之前，

5、其結(jié)果是未知的，只能預(yù)料其取值范圍，因此是隨機(jī)變量，因此才有樣本的統(tǒng)計(jì)分布，這樣才可以談到統(tǒng)計(jì)推斷。但是在樣本觀察之后，樣本就是具體的數(shù)字。2.對于理論工作者而言，更應(yīng)重視樣本是隨機(jī)變量這一事實(shí)。樣本的雙重性質(zhì)1.在具體的試驗(yàn)實(shí)施之前，其結(jié)果是未知的，只能來自總體X的隨機(jī)樣本X1， ，Xn可記為顯然，樣本聯(lián)合分布函數(shù)或密度函數(shù)為或來自總體X的隨機(jī)樣本X1， ，Xn可記為顯然，樣本聯(lián)合分3.總體、樣本、樣本觀察值的關(guān)系總體 樣本 樣本觀察值 ？理論分布 統(tǒng)計(jì)是從手中已有的資料樣本觀察值，去推斷總體的情況總體分布。樣本是聯(lián)系兩者的橋梁?？傮w分布決定了樣本取值的概率規(guī)律，也就是樣本取到樣本觀察值的規(guī)

6、律，因而可以用樣本觀察值去推斷總體3.總體、樣本、樣本觀察值的關(guān)系總體 樣本 樣本觀察值 ？理統(tǒng)計(jì)推斷1.統(tǒng)計(jì)推斷中的兩個(gè)問題非參數(shù)統(tǒng)計(jì)推斷：不知道總體的分布類型參數(shù)統(tǒng)計(jì)推斷：總體分布類型已知，但是參數(shù)位置參數(shù)統(tǒng)計(jì)中的兩個(gè)主要問題：參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)推斷1.統(tǒng)計(jì)推斷中的兩個(gè)問題二、統(tǒng)計(jì)量定義： 稱樣本X1， ，Xn 的函數(shù)g(X1， ，Xn )是總體X的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量,如果g(X1， ，Xn )不含未知參數(shù)幾個(gè)常用的統(tǒng)計(jì)量 ： 二、統(tǒng)計(jì)量定義： 稱樣本X1， ，Xn 的函數(shù)幾個(gè)常用的3.樣本k階矩4.經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù) 用S(x)表示樣本X1， ，Xn中不大于x得隨機(jī)變量個(gè)數(shù)。定義經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)Fn(

7、x)為3.樣本k階矩4.經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù) 用S(x)表示樣本X1， 4.2 統(tǒng)計(jì)中常用的三種分布一、 2分布 統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布。數(shù)理統(tǒng)計(jì)中常用到如下三個(gè)分布： 2分布、 t 分布和F分布。 4.2 統(tǒng)計(jì)中常用的三種分布一、 2分布 2.2分布的密度函數(shù)f(y)曲線 2.2分布的密度函數(shù)f(y)曲線 例1：設(shè)X1， ，X10是取自N（0，0.32)的樣本,求例1：設(shè)X1， ，X10是取自N（0，0.32)的樣本,3. 分位點(diǎn) 設(shè)X 2(n)，若對于：01， 存在滿足則稱為分布的上分位點(diǎn)。P220附表33. 分位點(diǎn) 設(shè)X 2(n)，若對于：01，4.性質(zhì)：a.分布可加性 若X 2(n1)，Y

8、2(n2 )， X， Y獨(dú)立，則 X + Y 2(n1+n2 )b.期望與方差 若X 2(n)，則E(X)= n，D(X)=2n1.構(gòu)造 若XN(0, 1), Y2(n), X與Y獨(dú)立，則t(n)稱為自由度為n的t分布。二、t分布4.性質(zhì)：1.構(gòu)造 若XN(0, 1), Y2(n),t(n) 的概率密度為t(n) 的概率密度為2.基本性質(zhì): (1) f(t)關(guān)于t=0(縱軸)對稱。 (2) f(t)的極限為N(0，1)的密度函數(shù)，即 3.分位點(diǎn) 設(shè)Tt(n)，若對:00， 滿足PTt(n)=，則稱t(n)為t(n)的上側(cè)分位點(diǎn)2.基本性質(zhì): 3.分位點(diǎn) 注:注:例2 設(shè) 是來自 總體的樣本，求

9、隨機(jī)變量的分布例2 設(shè) 是來自 三、F分布 1.構(gòu)造 若U 2(n1)， V2(n2)，U， V獨(dú)立，則 稱為第一自由度為n1 ，第二自由度為n2的F分布,其概率密度為三、F分布 1.構(gòu)造 若U 2(n1)， V22. F分布的分位點(diǎn)對于：00，滿足PFF(n1, n2)=， 則稱F(n1, n2)為F(n1, n2)的上側(cè)分位點(diǎn)；2. F分布的分位點(diǎn)證明:設(shè)FF(n1,n2),則注：得證!證明:設(shè)FF(n1,n2),則注：得證!4.3 抽樣分布證明:是n 個(gè)獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合,故服從正態(tài)分布4.3 抽樣分布證明:是n 個(gè)獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合,數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念課件(3)證明:且U與V獨(dú)立,根據(jù)t分布的構(gòu)造得證!(3)證明:且U與V獨(dú)