輪換對稱不等式的證明技巧

1、輪換對稱不等式的證明技巧(3)輪換對稱不等式的證明技巧(3)7/7輪換對稱不等式的證明技巧(3)輪換對稱不等式的證明技巧第1頁共7頁輪換對稱不等式的證明技巧關(guān)注微信公眾號“高中數(shù)學(xué)商議會(huì)”，獲取更多數(shù)學(xué)資料輪換對稱不等式形式優(yōu)美，證明技巧很多，但規(guī)律難尋。本文介紹利用基本不等式等號成立的條件湊項(xiàng)證明，只要領(lǐng)悟添項(xiàng)的技巧，這類不等式完好可以程式化證明，供參照。一、湊項(xiàng)升冪法例1已知x,y,zR，且xyz1，求證：4x14y14z121解析：由于當(dāng)xyz1時(shí)，上述不等式的“=”成立，于是4x14y14z17。33證明：由于274x174x1，所以4x13(2x5)，同理4y13(2y5)，3377

2、3(2z5)，上述三式相加，并將xyz1代入化簡即得證。4z17二、湊項(xiàng)降冪法例2證明Cauchy不等式a2a2a2(aa2a)21n12nn證明：設(shè)a1a2an2a)22aai，所以n2a)22ana，則ai(nain(ai，ni1nni1即a2a2a2(aa2a)2。1n12nn三、湊項(xiàng)去分母法例3設(shè)x1,x2,xn是正數(shù)，且x1x2xn1，求證：x12x22xn21xn21（1990年第24屆全蘇數(shù)學(xué)奧林匹克十年級題）x1x2x2x3xn1xnxnx12解析：由于當(dāng)xxxn1時(shí)等號成立，于是xi21(xixi1)。12nxixi14x21證明：設(shè)xx，由于i(xxi1)xxixi14所以

3、nxi21(nxnx1)nx，即nxi2i1xx4i1iiii1xixi1i1i1i1i例4設(shè)a,b,cR，且abc1，求證：11a3(bc)b3(ca)。23（1995年第36屆IMOc3(ab)2題2）輪換對稱不等式的證明技巧第2頁共7頁證明：原不等式等價(jià)于b2c2c2a2a2b23a(bc)b(ca)c(ab)2當(dāng)a=b=c=1時(shí)等號成立，此時(shí)b2c21a(bc)，所以，b2c21abc)bc，同理，a(bc)4a(bc)4c2a21a)ca，a2b21cab)ab，上述三式相加并化簡得b(ca)c(ab)44b2c2c2a2a2b21(abbcca)33abbcca3a(bc)b(ca

4、)c(ab)222例5設(shè)角A、B、C滿足cos2Acos2Bcos2C1求證：1119sin2Asin2Bsin2C2解析：原條件等價(jià)于sin2Asin2Bsin2C2，當(dāng)sin2Asin2Bsin2C2時(shí)等號成立，于是319sin2A3，19sin2B3，19sin2C3上述三式相加并化簡得證，證明略。sin2Asin2C4sin2B44四、湊項(xiàng)平衡系數(shù)法例6設(shè)z0，zxy，則x2y2z26(yzzxxy)。5解析：當(dāng)x=y=z時(shí)等號成立。2證明：由于x2(z)2xz，y2(z)2yz，3(x2y2)3xy，將上述三式相加并化簡得，222x2y2122(xzyz)6xyz555所以，x2y2

5、z24z22xzyz6xy426(z(xy)(xzyz)xy555555即x2y2z26(yzzxxy)。5注：只有式的系數(shù)湊成3，式中xy的系數(shù)才能是6。25上述各種湊項(xiàng)方法不是相對獨(dú)立的，可以交替使用，但湊項(xiàng)的要點(diǎn)是在求和時(shí)能利用已知條件，并能取到等號。注：本文公布于上海中學(xué)數(shù)學(xué)2003年第6期輪換對稱不等式的證明技巧第3頁共7頁關(guān)注微信公眾號的方法：點(diǎn)擊微信右上角“+”號，選擇“增加朋友”進(jìn)入后選擇“公眾號”輪換對稱不等式的證明技巧第4頁共7頁輸入“高中數(shù)學(xué)商議會(huì)”，并點(diǎn)擊找尋找到后點(diǎn)擊“高中數(shù)學(xué)商議會(huì)”，并關(guān)注輪換對稱不等式的證明技巧第5頁共7頁關(guān)注微信直播間的方法：（不如期會(huì)有數(shù)學(xué)學(xué)霸給大家直播講課）方法一：（有微信的同學(xué)）關(guān)注我們微信公眾號“高中數(shù)學(xué)商議會(huì)”后，點(diǎn)擊下面菜單欄中的“課程直播”即可輪換對稱不等式的證明技巧