機(jī)構(gòu)學(xué)與機(jī)器人學(xué)chap6

1、第六章 機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)分析機(jī)器器人操作作的動(dòng)態(tài)態(tài)數(shù)學(xué)模模型，主主要采用用下列兩兩種理論論：（1）動(dòng)力學(xué)學(xué)基本理理論，包包括牛頓頓-歐拉方程程。（2）拉格朗朗日力學(xué)學(xué)，特別別是二階階拉格朗朗日方程程。拉格朗日日函數(shù)L被定義為為系統(tǒng)的的動(dòng)能K和位能P之差，即即:（4.1）其中，K和P可以用任任何方便便的坐標(biāo)標(biāo)來表示示。系統(tǒng)動(dòng)力力學(xué)方程程式，即即拉格朗朗日方程程如下：（4.2）式中，為表示動(dòng)動(dòng)能和位位能的坐坐標(biāo)，速度，而而為相應(yīng)的的Fi是力或是是力矩，由qi為直線坐坐標(biāo)或角角坐標(biāo)所所決定。這些力力、力矩矩和坐標(biāo)標(biāo)稱為廣廣義力、廣義力力矩和廣廣義坐標(biāo)標(biāo)，n為連桿數(shù)數(shù)目。Fi為作用在在第i個(gè)坐標(biāo)上上的力

2、或或是力矩矩。4.1.1剛剛體體的動(dòng)能能與位能能在理論力力學(xué)或物物理力學(xué)學(xué)部分，曾對(duì)如如圖4.1所示示的一般般物體平平動(dòng)時(shí)所所具有的的動(dòng)能和和位能進(jìn)進(jìn)行過計(jì)計(jì)算，其其求法是是大家所所熟悉的的，如下下：式中，表表示物體體所具有有的動(dòng)能能K、位位能P，所消耗耗的能量量D和外外力所做做的功W ；M0和M1為支架和和運(yùn)動(dòng)物物體的質(zhì)質(zhì)量；x0和x1為運(yùn)動(dòng)坐坐標(biāo)；g為重力力加速度度；k為為彈簧虎虎克系數(shù)數(shù)；c為為摩擦系系數(shù)；F為外施施作用力力。對(duì)于這一一問題，存在兩兩種情況況。1、為廣義坐坐標(biāo)其中，左左式第一一項(xiàng)為動(dòng)動(dòng)能隨速速度（或或角速度度）和時(shí)時(shí)間的變變化；第第二項(xiàng)為為動(dòng)能隨隨位置（或角度度）的變變化

3、；第第三項(xiàng)為為能耗隨隨速度的的變化；第四項(xiàng)項(xiàng)為位能能隨位置置的變化化。右式式為實(shí)際際外加力力或力矩矩。代入入相應(yīng)各各項(xiàng)的表表達(dá)式，并化簡簡可得:表示為一一般形式式為:即為所求求x0=0時(shí)的的動(dòng)力學(xué)學(xué)方程式式。其中中，左式式三項(xiàng)分分別表示示物體的的加速度度、阻力力和彈力力，而右右式兩項(xiàng)項(xiàng)分別表表示外加加作用力力和重力力。2、 均為廣義義坐標(biāo)這時(shí)有下下式:或用矩陣陣形式表表示為:下面來考考慮二連連桿機(jī)械械手（見見圖4.2）的的動(dòng)能和和位能。這種運(yùn)運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)構(gòu)具有開開式運(yùn)動(dòng)動(dòng)鏈，與與復(fù)擺運(yùn)運(yùn)動(dòng)有許許多相似似之處。圖中，T1和T2為轉(zhuǎn)矩，m1和m2為連桿1和連桿桿2的質(zhì)質(zhì)量，且且以連桿桿末端的的點(diǎn)質(zhì)量量

4、表示；d1和d2分別為兩兩連桿的的長度，1和2為廣義坐坐標(biāo)；g為重力力加速度度。先計(jì)算連連桿1的的動(dòng)能K1和位能P1。因?yàn)?，所以有有:再求連桿桿2的動(dòng)動(dòng)能K2和位能P2:式中:于是可求求得:以及:這樣，二二連桿機(jī)機(jī)械手系系統(tǒng)的總總動(dòng)能和和總位能能分別為為:（4.3）（4.4）將相應(yīng)各各導(dǎo)數(shù)和和偏導(dǎo)數(shù)數(shù)代入(4.2)，即即可求得得力矩T1和T2的動(dòng)力學(xué)學(xué)方程式式：重力項(xiàng)：在分析簡簡單的二二連桿機(jī)機(jī)械手系系統(tǒng)的基基礎(chǔ)上上，我們分析析由一組組A變換換描述的的任何機(jī)機(jī)械手，求求出出動(dòng)力學(xué)學(xué)方程。推導(dǎo)過過程分五五步進(jìn)行行。（1）計(jì)計(jì)算任一一連桿上上任一點(diǎn)點(diǎn)的速度度；（2）計(jì)計(jì)算各連連桿的動(dòng)動(dòng)能和機(jī)機(jī)械

5、手的的總動(dòng)能能；（3）計(jì)計(jì)算各連連桿的位位能和機(jī)機(jī)械手的的總位能能；（4）建建立機(jī)械械手系統(tǒng)統(tǒng)的拉格格朗日函函數(shù)；（5）對(duì)對(duì)拉格朗朗日函數(shù)數(shù)求導(dǎo)，以得到到動(dòng)力學(xué)學(xué)方程式式。圖4.4表示一一個(gè)四連連桿機(jī)械械手的結(jié)結(jié)構(gòu)。我我們先從從這個(gè)例例子出發(fā)發(fā)，求得得此機(jī)械械手某個(gè)個(gè)連桿（例如連連桿3）上某一一點(diǎn)（如如點(diǎn)P）的速度度、質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)和機(jī)械械手的動(dòng)動(dòng)能與位位能、拉拉格朗日日算子，再求系系統(tǒng)的動(dòng)動(dòng)力學(xué)方方程式。然后，由特殊殊到一般般，導(dǎo)出出任何機(jī)機(jī)械手的的速度、動(dòng)能、位能和和動(dòng)力學(xué)學(xué)方程的的一般表表達(dá)式。4.2.1速速度度的計(jì)算算圖4.4中連桿桿3上點(diǎn)點(diǎn)P的位位置為：式中，為總（基基）坐標(biāo)標(biāo)系中的的位置矢

6、矢量；為局部（相對(duì)關(guān)關(guān)節(jié)O3）坐標(biāo)系系中的位位置矢量量；T3為變換矩矩陣，包包括旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)變換和和平移變變換。對(duì)于任一一連桿i上的一一點(diǎn)，其其位置為為:（4.14）點(diǎn)P的速速度為:式中，所以有有對(duì)于連桿桿i上任任一點(diǎn)的的速度為為P點(diǎn)的加速速度P點(diǎn)速度度的平方方對(duì)于任一一機(jī)械手手上一點(diǎn)點(diǎn)的速度度平方為為式中，Trace表示示矩陣的的跡。對(duì)對(duì)于n階階方程來來說，其其跡即為為它的主主對(duì)角線線上各元元素之和和。4.2.2動(dòng)動(dòng)能和位位能的計(jì)計(jì)算令連桿3上任一一質(zhì)點(diǎn)p的質(zhì)量量為dm，則其其動(dòng)能為為任一機(jī)械械手連桿桿i上位位置矢量量其動(dòng)能如如下式表表示：的質(zhì)點(diǎn)，對(duì)連桿3積分dK3，得連桿桿3的動(dòng)動(dòng)能為式中，積積

7、分稱為連桿桿的偽慣慣量矩陣陣，并記記為這樣，任何機(jī)械械手上任任一連桿桿i動(dòng)能能為（4.17）式中，Ii為偽慣量量矩陣，其一般般表達(dá)式式為根據(jù)理論論力學(xué)或或物理學(xué)學(xué)可知，物體的的轉(zhuǎn)動(dòng)慣慣量、矢矢量積以以及一階階矩量為為如果令于是可把把Ii表示為（4.18）具有n個(gè)個(gè)連桿的的機(jī)械手手總的動(dòng)動(dòng)能為（4.19）此外，連連桿i的的傳動(dòng)裝裝置動(dòng)能能為式中，Iai為傳動(dòng)裝裝置的等等效轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)慣量，對(duì)于平平動(dòng)關(guān)節(jié)，Iai為等效質(zhì)質(zhì)量；為關(guān)節(jié)i的速度度。所有關(guān)節(jié)節(jié)的傳動(dòng)動(dòng)裝置總總動(dòng)能為為于是得到到機(jī)械手手系統(tǒng)（包括傳傳動(dòng)裝置置）的總總動(dòng)能為為（4.20）下面再來來計(jì)算機(jī)機(jī)械手的的位能，一個(gè)在在高度h處質(zhì)量量為m的

8、的物體，其位能能為連桿i上上位置處的質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)dm，其位能能為式中，其中，mi為連桿i的質(zhì)量量：關(guān)節(jié)坐標(biāo)標(biāo)系的重重心位置置。為連桿i相對(duì)于于其由于傳動(dòng)動(dòng)裝置的的重力作作用Pai一般是很很小的，可以略略之不計(jì)計(jì)，所以以，機(jī)械械手系統(tǒng)統(tǒng)的總位位能為（4.21）4.2.3動(dòng)動(dòng)力力學(xué)方程程的推導(dǎo)導(dǎo)據(jù)式（4.1）求拉格格朗日函函數(shù)（4.22）再據(jù)式（4.2）求動(dòng)動(dòng)力學(xué)方方程。先先求導(dǎo)數(shù)數(shù)據(jù)式（4.18）知，Ii為對(duì)稱矩矩陣，即即，所以下下式成立立當(dāng)pi時(shí)，后后面連桿桿變量qp對(duì)前面各各連桿不不產(chǎn)生影影響，即。這樣可可得因?yàn)樗栽偾?項(xiàng)在上列兩兩式運(yùn)算算中，交交換第二二項(xiàng)和式式的啞元元j和k，然后后與第一一項(xiàng)

9、和式式合并，獲得化化簡式。把上述述兩式代代入（4.2）的右式式得交換上列列各和式式中的啞啞元，以以i代替替p，以以j代替替i，以以m代替替j，即即可得具具有n個(gè)個(gè)連桿的的機(jī)械手手系統(tǒng)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方方程如下下這些方程程式是與與求和次次序無關(guān)關(guān)的。我我們把式式（4.23）寫成下下列形式式：（4.24）（4.25）(4.26)（4.27）式中取n=6，而且慣量項(xiàng)加速度系系數(shù)項(xiàng)重力項(xiàng)上述各方方程與4.1.2節(jié)的的慣量項(xiàng)項(xiàng)及重力力項(xiàng)一樣樣。這些些項(xiàng)在機(jī)機(jī)械手控控制中特特別重要要，因?yàn)闉樗鼈冎敝苯佑绊戫憴C(jī)械手手系統(tǒng)的的穩(wěn)定性性和定位位精度。只有當(dāng)當(dāng)機(jī)械手手高速運(yùn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，向心力力和哥氏氏力才是是重要的的。這時(shí)時(shí)

10、，它們們所產(chǎn)生生的誤差差不大。傳動(dòng)裝裝置的慣慣量Iai往往具有有相當(dāng)大大的值，而且對(duì)對(duì)減少有有效慣量量的結(jié)構(gòu)構(gòu)相關(guān)性性和耦合合慣量項(xiàng)項(xiàng)的相對(duì)對(duì)重要性性有顯著著影響。4.3.1二二連桿桿機(jī)械手手動(dòng)力學(xué)學(xué)方程在前面討討論過二二連桿機(jī)機(jī)械手的的動(dòng)力學(xué)學(xué)方程，下面討討論二連連桿機(jī)械械手慣量量項(xiàng)及重重力項(xiàng)的的計(jì)算。首先，規(guī)規(guī)定機(jī)械械手的坐坐標(biāo)系，如圖，并計(jì)算算A矩陣陣和T矩矩陣。表表4.2表示各各連桿參參數(shù)。表4.2 二連連桿機(jī)械械手連桿桿參數(shù)連桿變量ad110d10220d20A矩陣和和T矩陣陣如下：對(duì)于旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，可得微微分平移移矢量和和微分旋旋轉(zhuǎn)矢量量如下：對(duì)于平移移關(guān)節(jié)，可得各各矢量如如下：以 為基礎(chǔ)，有下式式(p=1，i=1)以 為基礎(chǔ)，可得下下式(p=2，i=2)以 為基礎(chǔ)，可得下下式(