現(xiàn)代控制理論-第四章-能控性能觀性-課件

1、第四章 線性系統(tǒng)的能控性與能觀性4.1 線性定常系統(tǒng)的能控性及其判據(jù)4.2 線性定常系統(tǒng)的能觀性及其判據(jù)4.3 能控性及能觀性的對偶關(guān)系4.4 線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解4.5 能控標準形和能觀標準形4.6 系統(tǒng)的實現(xiàn)第四章 線性系統(tǒng)的能控性與能觀性4.1 線性定常系統(tǒng)的能控性兩個基礎(chǔ)性概念：能控性與能觀性 在有限時間內(nèi)，控制作用能否使系統(tǒng)從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到要求的狀態(tài)？ 指控制作用對狀態(tài)變量的支配能力，稱之為狀態(tài)的能控性問題。 在有限時間內(nèi)，能否通過對系統(tǒng)輸出的測定來估計系統(tǒng)的初始狀態(tài)？ 系統(tǒng)的輸出量（或觀測量）能否反映狀態(tài)變量，稱之為狀態(tài)的能觀性問題。兩個基礎(chǔ)性概念：能控性與能觀性 在有限時間內(nèi)，

2、控例4.0.1 且 。選各自的電壓為狀態(tài)變量 。 根據(jù)電路理論，則兩個狀態(tài)分量恒相等。相平面圖(b)中相軌跡為一條直線。 不論電源電壓如何變動，都不能使系統(tǒng)的狀態(tài)變量離開這條直線,顯然，是不完全能控的。例4.0.1 且 若電路中電阻、電容分別為則電路的系統(tǒng)方程為：如果初始狀態(tài)為系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為系統(tǒng)狀態(tài)方程的解為可見，不論加入什么樣的輸入信號，總是有若電路中電阻、電容分別為如果初始狀態(tài)為系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為系統(tǒng)例4.0.2 選擇電感中的電流以及電容上的電壓作為狀態(tài)變量。當電橋平衡時，電感中的電流作為電路的一個狀態(tài)是不能由輸出變量來確定的，所以該電路是不能觀測的。例4.0.2 選擇電感中的電流以及

3、電容上的電壓4.1 線性定常系統(tǒng)的能控性及其判據(jù) 4.1.1 連續(xù)系統(tǒng)的能控性定義4.1.1 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 給定系統(tǒng)一個初始狀態(tài) ，如果在 的有限時間區(qū)間 內(nèi)，存在容許控制 ，使 ，則稱系統(tǒng)狀態(tài)在 時刻是能控的；如果系統(tǒng)對任意一個初始狀態(tài)都能控，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。4.1 線性定常系統(tǒng)的能控性及其判據(jù) 4.1.1 連說明：1）能控：初態(tài) 為任意非零點，終態(tài) 為原點。 能達：初態(tài) 為原點，終態(tài) 為任意非零點。 由于線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣是非奇異的，因此系統(tǒng)的能控性和能達性是等價的。3）當系統(tǒng)中存在不依賴于 的確定性干擾 時， 不會改變系統(tǒng)的能控性。2）只有整個狀態(tài)空

4、間中所有的有限點都是能控的，系統(tǒng)才是能控的。說明：1）能控：初態(tài) 為任意非零點，終態(tài) 定理4.1.1 線性定常連續(xù)系統(tǒng)為狀態(tài)能控的充分必要條件是下面的nn維格拉姆矩陣滿秩（該定理為能控性的一般判據(jù)。但是，由于要計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，比較繁瑣。實際上，常用下面介紹的判據(jù)。）定理4.1.2 線性定常連續(xù)系統(tǒng)為狀態(tài)能控的充分必要條件是下面的nnr 維能控性矩陣滿秩。（本判據(jù)本身很簡單，因此是最為常用的方法。）定理4.1.1 線性定常連續(xù)系統(tǒng)為狀態(tài)能控的充分必要條件證明：不失一般性,假設(shè)則有應用凱-哈定理，有狀態(tài)方程的解為整理得證明：不失一般性,假設(shè)則有應用凱-哈定理，有狀態(tài)方程的解為整于是令如果系統(tǒng)能控

5、，必能夠解得 。這樣就要求于是令如果系統(tǒng)能控，必能夠解得 易知例4.1.1 考察如下系統(tǒng)的能控性易知例4.1.1 考察如下系統(tǒng)的能控性其秩為3，該系統(tǒng)能控 從而其秩為3，該系統(tǒng)能控 從而其秩為2，所以系統(tǒng)不能控 例4.1.2 判斷線性定常連續(xù)系統(tǒng)其秩為2，所以系統(tǒng)不能控 例4.1.2 判斷線性定常連續(xù)定理4.1.3 （PBH判別法） 線性定常連續(xù)系統(tǒng)為狀態(tài)能控的充分必要條件是，對A 的所有特征值 ，都有則系統(tǒng)能控的充分必要條件是矩陣 中不包含元素全為零的行。定理4.1.4 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的矩陣 A 的特征值 互異，將系統(tǒng)經(jīng)過非奇異線性變換變換成對角陣。定理4.1.3 （PBH判別法） 線性定

6、常連續(xù)系統(tǒng)為狀態(tài)能狀態(tài)變量 x3 不受控制 例4.1.3 此系統(tǒng)是不能控的狀態(tài)變量 x3 不受控制 例4.1.3 此系統(tǒng)是不能控的 定理4.1.4的優(yōu)點在于很容易判斷出能控性，并且將不能控的部分確定下來，但它的缺點是要進行等價變換。 例4.1.4 下列系統(tǒng)是能控的 定理4.1.4的優(yōu)點在于很容易判斷出能控性，并且將不4.1.2 輸出能控性定義4.1.2 設(shè)連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為 如果在一個有限的區(qū)間t0,t1內(nèi)，存在適當?shù)目刂葡蛄縰(t),使系統(tǒng)能從任意的初始輸出y(t0)轉(zhuǎn)移到任意指定最終輸出y(t1)，則稱系統(tǒng)是輸出完全能控的。4.1.2 輸出能控性定義4.1.2 設(shè)連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空輸

7、出能控性判據(jù)： 系統(tǒng)輸出完全能控的充分必要條件是矩陣的秩為q。即輸出能控性判據(jù)：的秩為q。即例4.1.5 判斷系統(tǒng)是否具有狀態(tài)能控性和輸出能控性。 例4.1.5 判斷系統(tǒng)是否具有狀態(tài)能控性和輸出能控性。 秩為1，等于輸出變量的個數(shù)，因此系統(tǒng)是輸出能控的。秩為1，所以系統(tǒng)是狀態(tài)不能控的。 秩為1，等于輸出變量的個數(shù)，因此系統(tǒng)是輸出能控的。秩為1，所4.1.3 離散系統(tǒng)的能控性定義4.1.3線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程 如果存在控制向量序列u(k),u(N-1)，使系統(tǒng)從第k 步的狀態(tài)向量開始，在第N 步到達零狀態(tài)，其中N 是大于k 的有限數(shù)，那么就稱此系統(tǒng)在第k 步上是能控的。 如果對每一個k，系

8、統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，簡稱能控。4.1.3 離散系統(tǒng)的能控性定義4.1.3線性定常離散系定理4.1.5 線性定常離散系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是矩陣 H,GH,Gn-1H 的秩為n。 該矩陣稱為系統(tǒng)的能控性矩陣，以Qc表示，于是此能控性判據(jù)可以寫成rankc=rankH, GH, Gn-1H=n 對于一個線性系統(tǒng)來說，經(jīng)過線性非奇異狀態(tài)變換后，其狀態(tài)能控性不變。 定理4.1.5 線性定常離散系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是矩陣例4.1.6 滿足能控性的充分必要條件，故該系統(tǒng)能控。例4.1.6 滿足能控性的充分必要條件，故該系統(tǒng)能控。, 多輸入系統(tǒng)的能控性矩陣是一個n x

9、 np矩陣。根據(jù)判據(jù)，只要求它的秩等于n，所以在計算時不一定需要將能控性矩陣算完，算到哪一步發(fā)現(xiàn)充要條件已滿足就可以停下來，不必再計算下去。例4.1.7 只要計算出矩陣H,GH 的秩，即可, 多輸入系統(tǒng)的能控性矩陣是一個n x np4.2 線性定常系統(tǒng)的能觀性及其判據(jù) 4.2.1 連續(xù)系統(tǒng)的能觀性定義4.2.1 線性定常連續(xù)系統(tǒng)方程為 如果在有限時間區(qū)間 （ ）內(nèi)，通過觀測 ，能夠惟一地確定系統(tǒng)的初始狀態(tài) ，稱系統(tǒng)狀態(tài)在 是能觀測的。如果對任意的初始狀態(tài)都能觀測，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的。4.2 線性定常系統(tǒng)的能觀性及其判據(jù) 4.2.1 連續(xù)說明：1） 已知系統(tǒng)在有限時間區(qū)間 內(nèi)的輸出 ，觀

10、測的目標是為了確定 。3）狀態(tài)空間中所有有限點都是能觀測的，則系統(tǒng)才是能觀測的。4）系統(tǒng)的輸入 以及確定性的干擾信號 均不改變系統(tǒng)的能觀測性。2）如果根據(jù) 內(nèi)的輸出 能夠惟一地確定任意指定狀態(tài) ，則稱系統(tǒng)是可檢測的。連續(xù)系統(tǒng)的能觀測性和能檢測性等價。說明：1） 已知系統(tǒng)在有限時間區(qū)間 定理4.2.1 線性定常連續(xù)系統(tǒng)為能觀測的充分必要條件是以下格拉姆能觀性矩陣滿秩，即其中（這個定理為能觀測性的一般判據(jù)。由于要計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，比較繁瑣。實際上，常用下面介紹的判據(jù)。）定理4.2.2 線性定常連續(xù)系統(tǒng)為能觀測的充分必要條件是以下能觀性矩陣滿秩，即其中（由于此判據(jù)很簡單，因而最為常用）定理4.2.1

11、 線性定常連續(xù)系統(tǒng)為能觀測的充分必要條件是以下證明 設(shè) ，系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程的解為應用凱-哈定理，有則由于 是已知函數(shù)，因此，根據(jù)有限時間 內(nèi)的 能夠唯一地確定初始狀態(tài) 的充分必要條件為 滿秩。或者寫成證明 設(shè) ，系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程的定理4.2.3（PBH判別法） 線性定常連續(xù)系統(tǒng)為能觀測的充分必要的條件是：對于A 的每一個特征值 ，以下矩陣的秩均為n例4.2.1 系統(tǒng)方程如下，試判斷系統(tǒng)的能觀性解：不滿秩，故系統(tǒng)不能觀測。定理4.2.3（PBH判別法） 線性定常連續(xù)系統(tǒng)為能觀測的充定理4.2.4 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的A 陣特征值 互異，經(jīng)過非奇異線性變換成為對角陣，則系統(tǒng)為能觀測的充分必要條件

12、是 矩陣中不包含元素全為零的列。例4.2.2 有兩個線性定常系統(tǒng)，判斷其能觀測性。（1）（2）解： 根據(jù)定理4.2.4可以判斷，系統(tǒng)（1）是不能觀測的。系統(tǒng)（2）是能觀測的。定理4.2.4 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的A 陣特征值 互4.2.2 離散系統(tǒng)的能觀性 在已知輸入u(t)的情況下，若能依據(jù)第k 步及以后n-1步的輸出觀測值y(k),y(k+n-1)，唯一地確定出第k 步上的狀態(tài)x(k)，則稱系統(tǒng)在第k步是能觀測的。如果系統(tǒng)在任何k 步上都是能觀測的，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的，簡稱能觀測。 定義4.2.2 考慮離散系統(tǒng) 4.2.2 離散系統(tǒng)的能觀性 在已知輸入u(t)的情定理4.2.5 對于線

13、性定常離散系統(tǒng)，狀態(tài)完全能觀測的充分必要條件是矩陣 的秩為n。矩陣稱為能觀測性矩陣，記為O。定理4.2.5 對于線性定常離散系統(tǒng)，狀態(tài)完全能觀測的充分例4.2.3 判斷下列系統(tǒng)的能觀測性于是系統(tǒng)的能觀測性矩陣為秩為3，所以系統(tǒng)能觀。例4.2.3 判斷下列系統(tǒng)的能觀測性于是系統(tǒng)的能觀測性矩陣例4.2.4 系統(tǒng)狀態(tài)方程仍如上例，而觀測方程為秩小于3，所以系統(tǒng)不能觀。 例4.2.4 系統(tǒng)狀態(tài)方程仍如上例，而觀測方程為秩小于3，4.3 能控性與能觀性的對偶關(guān)系BACux&xy+ TBVz&zw+ TCTA4.3 能控性與能觀性的對偶關(guān)系BACux&xy+ TB對偶系統(tǒng)具有兩個基本特征1. 對偶的兩個系

14、統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣互為轉(zhuǎn)置2. 對偶的兩個系統(tǒng)特征值相同對偶原理：系統(tǒng) 的能控性等價于系統(tǒng) 的能觀測性；系統(tǒng) 的能觀測性等價于系統(tǒng) 的能控性。)()()(1112ssssTTTTTGBAICCAIBG=-=-=-對偶系統(tǒng)具有兩個基本特征1. 對偶的兩個系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣互例4.3.1 線性定常系統(tǒng)如下，判斷其能觀測性。解以上系統(tǒng)的對偶系統(tǒng)為該對偶系統(tǒng)的能控性矩陣對偶系統(tǒng)能控，根據(jù)對偶原理，原系統(tǒng)能觀測。例4.3.1 線性定常系統(tǒng)如下，判斷其能觀測性。解以上系統(tǒng)4.4 線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解 一個不能控、不能觀測的系統(tǒng)，從結(jié)構(gòu)上來說，必定包括能控、不能控以及能觀測、不能觀測的子系統(tǒng)。如何按照能控性或能

15、觀測性進行分解呢？ 已經(jīng)知道，線性變換不改變系統(tǒng)的能控性和能觀測性。因此，可采用線性變換方法將其分解。結(jié)構(gòu)分解必須解決3個問題： 1、如何分解？ 2、分解后系統(tǒng)方程的形式為何？ 3、變換矩陣如何確定？4.4 線性定常系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解 一個不能控、 把系統(tǒng)能控或能觀測部分同不能控或不能觀測的部分區(qū)分開來，將有利于更深入了解系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。標準分解 采用系統(tǒng)坐標變換的方法對狀態(tài)空間進行分解，將其劃分成能控（能觀）部分與不能控（不能觀）部分。 把系統(tǒng)能控或能觀測部分同不能控或不能觀測的部4.4.1 系統(tǒng)能控性分解其中定理4.4.1 若線性定常系統(tǒng)不完全能控，狀態(tài) 只有 個狀態(tài)分量能控，則存在非奇異矩陣

16、Tc，對系統(tǒng)進行狀態(tài)變換 ，可使系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式發(fā)生變換4.4.1 系統(tǒng)能控性分解其中定理4.4.1 若線性定常變換后的系統(tǒng)分為兩部分： 前n1維部分構(gòu)成n1維能控子系統(tǒng)，得到下式 后n-n1維子系統(tǒng)為不能控子系統(tǒng)。關(guān)鍵：變換矩陣Tc的構(gòu)造方法在能控性矩陣 中選擇n1個線性無關(guān)的列向量；將所得列向量作為矩陣Tc的前n1個列，其余的列可以在保證Tc為非奇異矩陣的條件下任意選擇。變換后的系統(tǒng)分為兩部分： 后n-n1維子系統(tǒng)為不能控子定理4.4.2 能控子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣與原系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣相同，即.因為定理4.4.2 能控子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣與原系統(tǒng)的傳遞函數(shù)例4.4.1 對下列系統(tǒng)進行能

17、控性分解。 能控性矩陣的秩 可知系統(tǒng)不完全能控。 例4.4.1 對下列系統(tǒng)進行能控性分解。 在能控性矩陣中任選兩列線性無關(guān)的列向量。為計算簡單，選取其中的第1列和第2列。易知它們是線性無關(guān)的。 再選任一列向量，與前兩個列向量線性無關(guān)。變換矩陣 在能控性矩陣中任選兩列線性無關(guān)的列向量。為計算狀態(tài)變換后的系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式 二維能控子系統(tǒng) 狀態(tài)變換后的系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式 二維能控子系統(tǒng) 系統(tǒng)能控性分解結(jié)構(gòu)圖 系統(tǒng)能控性分解結(jié)構(gòu)圖 4.4.2 系統(tǒng)能觀性分解其中定理4.4.3 若線性定常系統(tǒng)不完全能觀，狀態(tài) 只有 個狀態(tài)分量能觀，則存在非奇異矩陣To，對系統(tǒng)進行狀態(tài)變換 ，可使系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式發(fā)

18、生變換4.4.2 系統(tǒng)能觀性分解其中定理4.4.3 若線性定常變換后的系統(tǒng)分為兩部分： 前n2維部分構(gòu)成n2維能觀子系統(tǒng)，得到下式 后n-n2維子系統(tǒng)為不能觀子系統(tǒng)。關(guān)鍵：變換矩陣To的構(gòu)造方法對于能觀性分解，變換矩陣的求法有其特殊性。應由構(gòu)造其逆To-1做起。在能觀性矩陣 中選擇n2個線性無關(guān)的行向量；將所得行向量作為矩陣To-1的前n2個行，其余的行可以在保證To-1為非奇異矩陣的條件下任意選擇。變換后的系統(tǒng)分為兩部分： 后n-n2維子系統(tǒng)為不能觀子定理4.4.4 能觀子系統(tǒng)與原系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣相同。即 因為定理4.4.4 能觀子系統(tǒng)與原系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣相同。即 例4.4.2 系統(tǒng)同例

19、4.4.1，進行能觀性分解。計算能觀性矩陣的秩 任選其中兩行線性無關(guān)的行向量，再選任一個與之線性無關(guān)的行向量，得 例4.4.2 系統(tǒng)同例4.4.1，進行能觀性分解。計算能觀狀態(tài)變換后的系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式 二維能觀子系統(tǒng) 狀態(tài)變換后的系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式 二維能觀子系統(tǒng) 系統(tǒng)能觀性分解結(jié)構(gòu)圖 系統(tǒng)能觀性分解結(jié)構(gòu)圖 4.4.3 系統(tǒng)按能控性與能觀性進行標準分解定理4.4.5 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式為經(jīng)過線性狀態(tài)變換,可以化為下列形式4.4.3 系統(tǒng)按能控性與能觀性進行標準分解定理4.4.5現(xiàn)代控制理論-第四章-能控性能觀性-課件4.5 能控標準形和能觀標準形能觀標準形是指在一組基底下，將能觀性矩陣中的

20、A 和 C 表現(xiàn)為能觀的標準形式適當選擇狀態(tài)空間的基底，對系統(tǒng)進行狀態(tài)線性變換，把狀態(tài)空間表達式的一般形式化為標準形式能控標準形是指在一組基底下，將能控性矩陣中的A 和 B 表現(xiàn)為能控的標準形式4.5 能控標準形和能觀標準形能觀標準形是指在一組基底4.5.1 系統(tǒng)的能控標準形線性定常系統(tǒng)A的特征多項式能控性矩陣能控標準形4.5.1 系統(tǒng)的能控標準形線性定常系統(tǒng)A的特征多項式能控定理4.5.1 如果系統(tǒng) 是完全能控的，那么必存在一非奇異變換 ，使其變換成能控標準形 。線性變換矩陣 定理4.5.1 如果系統(tǒng) 是完全能控的，那例4.5.1 線性定常系統(tǒng)能控性矩陣 逆矩陣 例4.5.1 線性定常系統(tǒng)能

21、控性矩陣 逆矩陣 現(xiàn)代控制理論-第四章-能控性能觀性-課件4.5.2 系統(tǒng)的能觀標準形能觀測性矩陣線性定常系統(tǒng)，則系統(tǒng)完全能觀測若能觀標準形4.5.2 系統(tǒng)的能觀標準形能觀測性矩陣線性定常系統(tǒng)，則系定理4.5.2 如果系統(tǒng)是能觀測的，那么必存在一非奇異變換將系統(tǒng)變換為能觀標準形定理4.5.2 如果系統(tǒng)是能觀測的，那么必存在一非奇異變換例4.5.2 能觀性矩陣 例4.5.2 能觀性矩陣 現(xiàn)代控制理論-第四章-能控性能觀性-課件4.6 系統(tǒng)的實現(xiàn)由傳遞函數(shù)矩陣或相應的脈沖響應來建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式的工作，稱為實現(xiàn)問題。換言之，若狀態(tài)空間描述是傳遞函數(shù)矩陣的實現(xiàn)，則必有在所有可能的實現(xiàn)中，維數(shù)最小的實現(xiàn)稱為最小實現(xiàn)。 4.6 系統(tǒng)的實現(xiàn)由傳遞函數(shù)矩陣或相應的脈沖響應來建立系統(tǒng)4.6.1 單輸入單輸出系統(tǒng)的實現(xiàn)問題單輸入單輸出系統(tǒng)