例談參考資料特殊化思想的解題功能

1、例談特殊化思想的解題功能江蘇省海門師范學(xué)校（226100）何軍事物的共性寓于個(gè)性之中， 特殊化思想就是從特殊的、 具體的情況出發(fā)， 去探求問(wèn)題的一般性結(jié)論和規(guī)律，其特點(diǎn)是以退為進(jìn)，先退后進(jìn)，退中求進(jìn)，其作用是暗示解題方向，尋找解題途徑，以至直接解答問(wèn)題。在教學(xué)中，可以從以下幾個(gè)方面開發(fā)特殊化思想的解題功能。1考察特殊情形直接求出解答運(yùn)用某些條件去求特殊元素， 或運(yùn)用某些元素的特殊情形，可迅速、直接地求解。例1證明： cn0c1ncn2cnn2n分析與解：在二項(xiàng)式定理(ab)ncn0 anc1n a n 1bcn2 a n 2b 2cnn bn中， a、b 取特殊值 1，即有： cn0c1ncn

2、2cnn2n例 2已知存在整數(shù) a,b, c 使等式 ( xa)( x2003)1( xb)( xc) 對(duì)任意實(shí)數(shù) x 都成立，求 2abc 的值。分析與解：若按常規(guī)方法來(lái)解此題，有無(wú)從下手之感，如果用特殊化方法，考察特殊情形，分別令 x a,2003, b, c 來(lái)嘗試，則問(wèn)題可以直接求出解答。令 x a ，則 (aa)(a 2003) 1(a b)( a c) 所以(ab)(ac)1因?yàn)?a, b, c 為整數(shù)，所以 ab, ac 也為整數(shù)，故ab1或 ab1ac1ac1所以 2a b c2 或 2a bc2 ，從而可得 2abc 22挖掘特殊因素否定虛假命題有些命題的條件和結(jié)論看似美觀，

3、似乎是真命題， 但形式上美好的命題未必都是真的，可以挖掘特殊命題中的特殊因素，否定虛假命題。1例 3已知： a,b,c 是三角形的邊，若abc ，則 a 2b2c 2 。評(píng)析：眾所周知，abc 這個(gè)不等式對(duì)于任意三角形都成立。但是在以a為斜邊的直角三角形中，只有a 2b2c2 成立，而 a2b 2c2 不成立，可見(jiàn)該命題是個(gè)假命題。3優(yōu)選特殊元素篩選正確答案解答選擇題和填空題時(shí)， 如果注意優(yōu)選特殊元素， 篩選正確答案， 往往可以達(dá)到事半功倍的效果。例 4已知實(shí)數(shù) a,b,c 滿足a 2bc8a70）bc bc6a6那么 a 的取值范圍是（0（A） 0,7（B）1,9（C）,1 9,（D）,分析

4、與解：取與選擇支有關(guān)的特殊值a0 代入已知條件，得bc7,b2c2bc6 b 2c213 ，這就表明 a0 不屬于取值范圍。 這樣，就可以排除選擇支（ A），（C），（ D）。所以選擇支（ B）必為正確答案。4 考慮特殊對(duì)象探求問(wèn)題定值對(duì)于結(jié)論未知的探索性證明題，可以先考慮特殊對(duì)象，探求問(wèn)題定值。例 5若從正方形 ABCD 的外接圓的 AD 上任意一點(diǎn) P 向四個(gè)頂點(diǎn)引連線（如圖），則（ PA+PC） PB 為一定值。P分析與解：這里（ PA+PC） PB 為定值，AD是多少呢？這時(shí)對(duì)于點(diǎn)P 考慮特殊位置若點(diǎn) P 在點(diǎn) A 的位置上，則有（PA+PC） PB=2 ，（下面略）。BC例 6化簡(jiǎn)

5、cos2 (A15 )cos2 (A -15 ) - cos30 cos2A 后得 ()（A）1（B）-1（ C）12（D）-12分析與解：由選擇支知道原式化簡(jiǎn)后是一個(gè)與A 無(wú)關(guān)的定值 ,所以令 A= 152232則原式31，A 正確.。1225解決特殊問(wèn)題暗示解題思路當(dāng)問(wèn)題較復(fù)雜或較模糊時(shí)， 可以從特殊的情形入手先提出一個(gè)更簡(jiǎn)單、 更具體的新問(wèn)題，通過(guò)新問(wèn)題的解決來(lái)促進(jìn)原問(wèn)題的解決。例 7已知 xi0(i1,2, , n) ，且 x1x2 xn 1，求證： 1x1x2xnn分析與解：先解決特殊問(wèn)題，n1時(shí)結(jié)論成立。n2 時(shí)，因?yàn)?x10 ， x20 ， x1x21 ，則 2 x1 x2x1

6、x2121x1x2x1x22 x1 x22于是可得下面的證法：由 0 2 xi x jxix j，有0 2xi x j(n 1)( x1x2xn )1 ij nnn2xkxi x jn 即 1 12xknk11 ij nk1 1x1x2xnn6探索特殊規(guī)律猜想一般結(jié)論當(dāng)命題中的規(guī)律不明顯時(shí)， 可以從特例入手， 探索特殊規(guī)律，猜想一般結(jié)論。例 8數(shù)列 an 中，已知 a11， an 1ann1 ，求數(shù)列的通項(xiàng) an 。a22分析與解：這是一個(gè)結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜的求數(shù)列的通項(xiàng)公式的問(wèn)題， 不妨先考察數(shù)列的前幾項(xiàng)，探索特殊規(guī)律，有a1 1 ， a21 ， a31 ， a41 ， a51 。371531不難

7、發(fā)觀，數(shù)列的前五項(xiàng)都可以用分?jǐn)?shù)表示，它們的分子都是1，分母分別是2 1，221， 231， 241， 251，由此猜想一般結(jié)論，數(shù)列的通項(xiàng)公式可能是 an1（下面略）。2n17運(yùn)用特殊關(guān)系簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程有些問(wèn)題，通過(guò)挖掘題目中的特殊關(guān)系，則可避免分類討論，或回避繁瑣運(yùn)3算，簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程。例 9設(shè)0 x 1，a 0，a，比較 log a 1x 與 log a 1x 的大小。1分析與解：這道題若作差或作商比較都有較強(qiáng)的變換技巧，要么可以分類討論，但如果注意到加法運(yùn)算的符號(hào)法則這一特殊關(guān)系在比較絕對(duì)值大小的特殊作用，可得非常簡(jiǎn)捷的解法,因?yàn)?log a 1 x log a (1 x) log a (1

8、 x 2 ) ，又 log a 1 x 與 log a (1 x) 異號(hào)，與 log a (1 x 2 ) 同號(hào)，所以 log a 1 x log a 1 x8關(guān)注特殊視角轉(zhuǎn)化等價(jià)問(wèn)題一些看似繁雜的問(wèn)題，可以根據(jù)題目特點(diǎn)，挖掘特殊功能，轉(zhuǎn)換問(wèn)題視角，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單、易行的等價(jià)問(wèn)題。例 10解方程x32 3x23x3 1 0分析與解：乍一看，似乎無(wú)從下手，可以轉(zhuǎn)變觀察問(wèn)題的角度，關(guān)注特殊視角，反客為主，將常數(shù) 3視為變數(shù)，令 3a ， 原 方 程 成 為x32ax 2a 2 xa10即xa2(2x 21)a x31 0因 x0 ，解關(guān)于 a 的二次方程得a 1x 或 ax 2x1x由 a1 x 得x11a由 ax2x 1 得 x2(a 1) x 1