九年級(jí)寒假班第7講：平面向量-學(xué)生版

1、平面向量平面向量知識(shí)結(jié)構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)模塊一：模塊一：向量的概念及計(jì)算知識(shí)精講知識(shí)精講一、平面向量的相關(guān)概念1、向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；2、向量的長度：向量的大小也叫做向量的長度（或向量的模）；3、零向量：長度為零的向量叫做零向量，記作；4、相等的向量：方向相同且長度相等的兩個(gè)向量叫做相等的向量；5、互為相反向量：方向相反且長度相等的兩個(gè)向量叫做互為相反向量；平行向量：方向相同或相反的兩個(gè)向量叫做平行向量二、實(shí)數(shù)與向量相乘的運(yùn)算設(shè)k是一個(gè)實(shí)數(shù)，是向量，那么k與相乘所得的積是一個(gè)向量，記作如果，且，那么的長度；的方向：當(dāng)k 0時(shí)與同方向；當(dāng)k 0時(shí)與反方向如果k = 0或，那么三、實(shí)數(shù)與

2、向量相乘的運(yùn)算律設(shè)m、n為實(shí)數(shù)，則（1）；（2）；（3）四、平行向量定理如果向量與非零向量平行，那么存在唯一的實(shí)數(shù)m，使單位向量單位向量：長度為1的向量叫做單位向量設(shè)為單位向量，則單位向量有無數(shù)個(gè)；不同的單位向量，是指它們的方向不同對(duì)于任意非零向量，與它同方向的單位向量記作由實(shí)數(shù)與向量的乘積可知：，例題解析例題解析向量是既有_又有_的量，它的_也叫向量的長度有下列說法：eq oac(,1)互相平行且長度相等的兩個(gè)向量是相等的向量；eq oac(,2)方向相同且長度相等的兩個(gè)向量是相等的向量；eq oac(,3)方向相反且長度相等的兩個(gè)向量是相反的向量其中正確的說法的個(gè)數(shù)有( )A0個(gè)B1個(gè)C2

3、個(gè)D3個(gè)計(jì)算：_如果非零向量、滿足，那么與的方向_，、滿足的關(guān)系式是_下列命題中的假命題是( )A向量與的長度相等B只有零向量的長度等于0C平行的單位向量方向都相同D兩個(gè)相等向量若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)必相同如果向量是單位向量，設(shè)，那么_（2015學(xué)年松江區(qū)二模第9題）計(jì)算：_（2015學(xué)年浦東新區(qū)二模第10題）計(jì)算：_下列說法中，正確的是( )A一個(gè)向量與零相乘，乘積為零B向量不能與無理數(shù)相乘C非零向量乘以一個(gè)負(fù)數(shù)所得向量比原向量短D非零向量乘以一個(gè)負(fù)數(shù)所得向量與原向量方向相反已知非零向量，求作，（2014學(xué)年長寧區(qū)二模第13題）已知，如果，那么實(shí)數(shù)k =_，那么與是平行向量嗎？模塊模塊二：向量的

4、線性運(yùn)算知識(shí)精講知識(shí)精講平面向量的加減法則1、幾個(gè)向量相加的多邊形法則；2、向量減法的三角形法則；3、向量加法的平行四邊形法則向量的線性運(yùn)算向量加法、減法、實(shí)數(shù)與向量相乘以及它們的混合運(yùn)算叫做向量的線性運(yùn)算如、等，都是向量的線性運(yùn)算一般來說，如果、是兩個(gè)不平行的向量，是平面內(nèi)的一個(gè)向量，那么可以用、表示，并且通常將其表達(dá)式整理成的形式，其中x、y是實(shí)數(shù)向量的合成與分解如果、是兩個(gè)不平行的向量，（m、n是實(shí)數(shù)），那么向量就是向量與的合成；也可以說向量分解為、兩個(gè)向量，這時(shí)，向量與是向量分別在、方向上的分向量，是向量關(guān)于、的分解式平面上任意一個(gè)向量都可以在給定的兩個(gè)不平行向量的方向上分解例題解析例

5、題解析如圖，已知、，求作向量：，如圖，已知向量、和、，求作：（1）向量分別在、方向上的分向量；（2）向量分別在、方向上的分向量AABO已知向量、不平行，x、y是實(shí)數(shù)，且，求x、y的值如圖，已知等腰梯形ABCD中，AB = 2CD，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)在以點(diǎn)A、B、C、D、M中的兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，（1）寫出所有與向量平行的向量；（2）設(shè)，寫出向量的長度以及所有與向量互為相反向量的向量；ABCDM（3）設(shè)，分別將向量、用向量、表示出來ABCDM（2015學(xué)年寶山區(qū)、嘉定區(qū)二模第14題）已知在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)M、N分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，如果，那么向量_（結(jié)果用、表示）ABCD（201

6、5學(xué)年崇明縣二模第16題）如圖，在中，AD是邊ABCD向量，如果用向量、表示向量，那么ABCD（2015學(xué)年閘北區(qū)二模第16題）如圖，在中，點(diǎn)D在ABCD且AD : DC = 1 : 2，若，那么_（用向量、表示）（2015學(xué)年金山區(qū)二模第16題）在中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，AD = BD，AE = 2EC，那么_ABCDEOF（2015學(xué)年靜安區(qū)二模第16題）如圖，在ABCD中，ABCDEOF點(diǎn)E、F分別是OA、OD的中點(diǎn)，如果，那么_ABCDPNM（2015學(xué)年普陀區(qū)二模第14題）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)ABCDPNM是AD、BC、BD的中點(diǎn)，如果，那么_（用、表示）（2015

7、學(xué)年黃浦區(qū)二模第16題）已知中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，DE / BC，且，若，則_ABCDEF（2015學(xué)年虹口區(qū)二模第15題）如圖，在梯形ABCD中，EABCDEFBC的中點(diǎn)，若，則向量（結(jié)果用表示）ABCDEFMABCDEFMABCDFABCEGH如圖，在中，G、E為AC的三等分點(diǎn)，F(xiàn)、HFABCEGH，寫出、關(guān)于、的線性組合，并通過向量證明EF、GH、AB之間的位置關(guān)系隨堂檢測(cè)隨堂檢測(cè)在中，可知_化簡(jiǎn)：_已知非零向量，用表示，其結(jié)果是下列命題中個(gè)，錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是( )eq oac(,1)若、都是單位向量，則；eq oac(,2)若m = 0或，則；eq oac(,3)設(shè)m、n為實(shí)數(shù)

8、，則；eq oac(,4)任意非零向量，與同方向的單位向量是，則A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)已知，在四邊形ABCD中，且，那么四邊形ABCD是（2015學(xué)年金山區(qū)二模第14題）在ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，設(shè)，如果用向量、表示向量，那么_ABDCE（2015學(xué)年閔行區(qū)二模第14題）如圖，已知在梯形ABCD中，ABDCEBC = 3AD，點(diǎn)E是邊DC的中點(diǎn)設(shè)，那么_（用、的式子表示）（2014學(xué)年崇明縣二模第14題）如圖，在中，AD是邊BC上的中線，設(shè)向量，如果用向量，表示向量，那么_AABCD（2014學(xué)年奉賢區(qū)二模第15題）已知中，點(diǎn)D在邊BC上，且BD=2DC設(shè)，那么等于_（結(jié)果用、

9、表示）（2014學(xué)年閔行區(qū)二模第13題）如圖，已知在梯形ABCD中，AB / CD，且ABCDOAB = 3CD設(shè)，那么_ABCDO已知向量、不平行，點(diǎn)A、B、C共線，且，求實(shí)數(shù)k的值在四邊形ABCD中，求證：四邊形ABCD為梯形課后作業(yè)課后作業(yè)已知，向量的方向是東南方向，且，那么向量的方向是；下列說法正確的有( )個(gè)（1）零向量是沒有方向的向量；（2）零向量的方向是任意的；（3）零向量與任意向量共線；（4）零向量只能與零向量共線A1B2C3D以上都不對(duì)化簡(jiǎn)：_已知向量是單位向量，那么與方向_，的長度為_設(shè)、是向量，m、n是實(shí)數(shù)，化簡(jiǎn)：（1）；（2）（2015學(xué)年徐匯區(qū)二模第11題）點(diǎn)E是的重心，那么_（用、表示）（2015學(xué)年楊浦區(qū)二模第13題）在中，點(diǎn)M、N分別在邊AB、AC上，且，如果，那么_（用、表示）ABDCE（2015學(xué)年奉賢區(qū)二模第15題）如圖，在中，點(diǎn)DABDCE且DC=2BD，點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，設(shè)，那么_（用、的線性組合表示）ABCDEO（2014學(xué)年靜安區(qū)、青浦區(qū)二模第15題）如圖，在ABCDABCDEO交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是OD的中點(diǎn)，如果，那么_ABCD（2014學(xué)年閘北區(qū)二模第15題）如圖，在