利用夾逼準(zhǔn)則求極限(推薦文檔)

1、利用夾逼準(zhǔn)則求極限夾逼準(zhǔn)則的使用方法：定理 1用夾逼準(zhǔn)則求極限，就是將數(shù)列放大和縮小。要求放大和縮小后的極限容易求出，此時(shí)常將其放大到最大項(xiàng)的整數(shù)倍，縮小到最小項(xiàng)的整數(shù)倍，并且此時(shí)兩者極限相等，即兩者是等價(jià)無窮小，此時(shí)就可以得到原數(shù)列極限的值。題型 1夾逼準(zhǔn)則常用于求若干項(xiàng)和的極限推論 1極限變化過程中最小項(xiàng)與最大項(xiàng)之比為1 時(shí)可以使用夾逼準(zhǔn)則求其極限。證明：不妨設(shè)最小項(xiàng)為(x) ，最大項(xiàng)為(x) ，數(shù)列有 n 項(xiàng)，則整數(shù)倍為n 倍，由定理1 可知 limn( x)1lim(x) .n( x)(x)例 1.求 lim (11.1) .222nn2n4n2n1解： limn22nlimn22li

2、mn22lim 11.1n22nn22nnnnnn22由推論1， 1n11.1n1.n22nn22n24n22nn22由夾逼準(zhǔn)則可得所求極限為1.例 2.求 lim (11.1).222nnn 1 nn2nnn解： lim n212nnlimn2n11.n1nnnnn2n1由推論1， 0n11.1n0.n2n n n2n 1 n2n 2n n n2n 1n2由夾逼準(zhǔn)則可得所求極限為0.例 3.求 lim (12.n).222nnn 1 nn2nnn解：n( n 1)1nknknkn(n1)12n2n nk 1 n2n nk 1 n2n kk 1 n2n 12n2n 1n( n1)n21n2nn

3、lim2n1lim1.n( n1)1n2n1nn2n2nn由推論1，1n(n 1)112.nn(n 1)1122n2n n n2n 1 n2n 2n n2n2n 1 2n21由夾逼準(zhǔn)則可得所求極限為.2由以上例題可以看出用夾逼準(zhǔn)則求極限的關(guān)鍵在于對(duì)數(shù)列進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆趴s接下來的例題稍有難度，難處仍難在放縮的技巧例 4.求 lim 2n . n n!解： 02n222.24 .(放到第二項(xiàng)最大 )n!123nn！且402n.lim0.nn!故由夾逼準(zhǔn)則可知nn!例 5.求 lim nn(1).n解：設(shè)1h( h0), 則n(1h) n1nhn(n1) h2.hnn(n 1) h2 ,2!2從而 0n

4、2, 因?yàn)?lim20,n22(n1) hn(n1)h由夾逼準(zhǔn)則可知limn0.nn例 6.求 lim 3 n2 sin(n!) .n 13n2 sin( n! )3n23 n23 n231, (三角函數(shù)有界性 )解：由于 0n 1n1nn3n即313 n2sin(n!)31,而 lim31lim310,nn 1nnnnn由夾逼準(zhǔn)則可知3n2sin(n!)0.limnn 11例 7.求 lim (1 2n3n ) n .n12112) n1解：原式 lim 3()() n1n nlim 3()n(1 n .n33n331n2)n1n2n1 3 ,因?yàn)? ()(1,1 ()( )3333兩邊同時(shí)乘以3n 得到 3n12n3n3n1,11再兩邊同時(shí)開 n 次方根得到 312n3n n33n .11當(dāng) n時(shí), 右邊lim (3 3n )3lim 3n31 3 lim 3 左邊 .nnn1故由夾逼準(zhǔn)則可得lim (12n3n ) n3.nx例 8.求 lim.x解：由取整函數(shù)的性質(zhì)可知x1xx.當(dāng) x0時(shí),x 1 x x即1 x1；xxxxx當(dāng) x0時(shí),x 1 x x即1 x1；xxxxx因?yàn)閘im (11)由夾逼準(zhǔn)則可得x1.xxxx例 9.求 limx b(0,b0).x 0 x解由取整函數(shù)的性質(zhì)可知b