高等工程數(shù)學(xué)試題數(shù)學(xué)題解

1、 34i 一設(shè)A2 ,X 1,其中i2 求 A A , , A max7,7,6111 2511611 25116 4116AF 2525AX 34i, 2525 1 設(shè)A132i,X 0,其中i2 A A , 22A max3,8,7max2,7,91 i1 25AX 12i, 25二設(shè)A31111AJordanJ 及最小多項式m( dX 1 X(0)1 E 01 2 300(1)200Ad(1,d (1,d (1)2初等因子組為1,(1)2AJordan 標準形J （2）f (z) ezt,T() abf ztezt,T T(1) fab a(1令 T (1) ，即 b ，得： b 6t

2、eAt f(A) T(A) aEbA(1t)ettet3 et13t 1 et X X(t) eAtX(0) et2 2et et 4 設(shè)A 122AJordanJ 及最小多項式m(求(； dX 1 X(0)1 1 2( 2 400(1)200Ad1(1,d2(1,d3(1)2初等因子組為1,(1)2，A的Jordan標準形為J 11（2）f (z) ezt,T() abf ztezt,TT(1) fab a(1令 ，即，得： T (1) b b (At)m 1t eAt f(A) T(A) aEbA (1t)ettet 1 et 1t 12 1t14t1X X(teAtX(0)et 211R

3、 中線性變換T 在基：1 ,2 4， 2 （1）求從基1,2 到1, 2 的過渡矩陣求線性變換T1 2 B3求T 在基1,2下的坐標解：（1）1122 1 21所以從基1,2到1,2的過渡矩陣為P求線性變換T1 2 31 1B P AP (T1,T2) (1,24T1132,T2 214TT(12)T1T2 317所以T 在基1, 2 下的坐標 e2t et e2t e2t 2et A3e2t e2t 3et 2e2t 4e2t 2e2t et 2e2t 解：(eAt) AeAt, 又eAt) 2e2t 6e2t 4e2t 2e2t 2et 4e2t 3et 4e2t A AE AeA0 (e

4、Att31312eAt 12e2t 12et 4et 4e2t 3e2t 解：(eAt) AeAt又11e2t 12et 26te4et 8e2t (eAt) 06e2t 0A AE AeA0 (eAtt0013013 BA) AA B是Hermitef (X) X HBXX Cn f(X)XHBX XH(AHA)X (AX)H(AX)(AX,AX)B是HermiteB AHA2 (2證明： ACmn是正規(guī)矩陣，存在酉陣Q QH AQQ1AQ ,An個特征值n A H AH (H)H QHQH H 2 A AQ B AHA1 22 2,n 2 max( 2,max( 2, 2,n22)（8分）

5、3f(xf(1)2, f(2)f(312,f2)3f1,1,2,32f(12f(24f(312求得插N (x3x2 7x22可設(shè)f(xN (xk(x1x2x3再由f23求得：k 2f(x) N2(x)2(x1)(x2)(x3)2x3 9x2 15x k解：改進的 Euler 法（預(yù)報校正公式）為： nnnn yn 2f,yn) f(xn1, 1 ynsinxnn y2n sin x y2n1sin y(1 y0 1,， x3 2x2 10 x200的所有實數(shù)根（要求判斷根的個數(shù)及范圍， 解：原方程組同解于 x 8x 2x 3x 15x 因為新方程組的系數(shù)矩陣A1 是嚴格對角矩陣，所2152對新方程組的GaussSeidel迭代法收斂（Jacobi 迭代法也收斂 x(k1) 1 (52x(k) 3x(k)x(k1) (12 x (k1) x(k) (k 1x(k1) (152x(k1) 3x(k1) 已知sin0.32 0.314567,sin0.34 0.333487,sin0.36 用二次插值（拋物線插值）計算1解：（1）T12f(0f(11（2） 1T 1 f(1)0.93979322, 4T2 94614581,22 4T 1T 1 94768975,2 f( f( ) S 4T4 4950321935,C1 16S2 1695