《向量在幾何中的應(yīng)用》參考教案

1、PAGE9向量在幾何中的應(yīng)用一、教學(xué)目標(biāo)1知識(shí)與技能：運(yùn)用向量的有關(guān)知識(shí)（向量加減法與向量數(shù)量積的運(yùn)算法則等）解決平面幾何和解析幾何中直線或線段的平行、垂直、相等、夾角和距離等問(wèn)題2過(guò)程與方法：通過(guò)應(yīng)用舉例，讓學(xué)生會(huì)用平面向量知識(shí)解決幾何問(wèn)題的兩種方法向量法和坐標(biāo)法3情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體驗(yàn)向量在解決幾何問(wèn)題中的工具作用，增強(qiáng)學(xué)生的積極主動(dòng)的探究意識(shí)，培養(yǎng)創(chuàng)新精神。二、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：理解并能靈活運(yùn)用向量加減法與向量數(shù)量積的法則解決幾何問(wèn)題難點(diǎn)：選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，將幾何?wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題加以解決三、教學(xué)方法本小節(jié)主要是例題教學(xué)，要讓學(xué)生體會(huì)思路的形成過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法

2、的應(yīng)用。教學(xué)中，教師創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)解題方法，展示思路的形成過(guò)程，總結(jié)解題規(guī)律。指導(dǎo)學(xué)生搞好解題后的反思，從而提高學(xué)生綜合應(yīng)用知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力。四、教學(xué)內(nèi)容安排：教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖復(fù)習(xí)準(zhǔn)備課前復(fù)習(xí)任務(wù)（由學(xué)生總結(jié)成書(shū)面材料）（1）向量的線性運(yùn)算是怎樣的（2）平面向量共線的含義及條件是什么（3）平面向量的基本定理及向量的坐標(biāo)運(yùn)算有哪些（4）平面向量的數(shù)量積中有哪些主要內(nèi)容討論：（1）若O為重心,則=（2）水渠橫斷面是四邊形,=,且|=|,則這個(gè)四邊形為等腰梯形類比幾何元素之間的關(guān)系,你會(huì)想到向量運(yùn)算之間都有什么關(guān)系讓學(xué)生回顧學(xué)過(guò)的知識(shí)有力于本節(jié)課的進(jìn)行新課引入平移

3、、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角等幾何性質(zhì)可以由向量線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來(lái)：例如，向量數(shù)量積對(duì)應(yīng)著幾何中的長(zhǎng)度如圖：平行四邊行中，設(shè),，則（平移），（長(zhǎng)度）向量，的夾角為討論（讓學(xué)生回顧學(xué)過(guò)的知識(shí)，有利于本課的順利進(jìn)行）：（）向量運(yùn)算與幾何中的結(jié)論若，則，且所在直線平行或重合相類比，你有什么體會(huì)（）由學(xué)生舉出幾個(gè)具有線性運(yùn)算的幾何實(shí)例（3）向量平行、垂直的判定方法讓學(xué)生掌握用向量方法解平面幾何問(wèn)題的步驟：建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量通過(guò)向量運(yùn)算研究幾何運(yùn)算之間的關(guān)系，如距離、夾角等把運(yùn)算結(jié)果翻譯成幾何關(guān)系應(yīng)用舉例例1：如圖2-55，已知平行四邊形

4、ABCD中，E、F在對(duì)角線BD上，并且BE=FD，求證AECF是平行四邊形。小結(jié)：本題的關(guān)鍵選擇適當(dāng)?shù)幕?，把四邊形AECF的一組對(duì)邊表示出來(lái)問(wèn)題1證明AECF是平行四邊形的方法有什么學(xué)生思考，回答問(wèn)題2選擇合適的方法，問(wèn)如何轉(zhuǎn)化為向量條件表示學(xué)生思考，回答，完成證明（選一名學(xué)生板書(shū)）問(wèn)題3由學(xué)生總結(jié)解題方法通過(guò)分步設(shè)問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)思維過(guò)程，讓學(xué)生體會(huì)分析、解決問(wèn)題的方法例2：求證平行四邊形對(duì)角線互相平分小結(jié)：法一注重向量的坐標(biāo)運(yùn)算和解析法的運(yùn)用：法二選取基底和，設(shè)未知數(shù)，列向量方程，解方程組的待定系數(shù)得結(jié)論，體現(xiàn)了方程思想的運(yùn)用。問(wèn)題4如何證明學(xué)生思考，回答老師點(diǎn)評(píng)學(xué)生思路：要證明兩條對(duì)角

5、線互相平分，可以證明，或。前一種方法可以建立平面直角坐標(biāo)系，將向量用坐標(biāo)表示后即可；后一種方法就是課本提供的方法。師生共同討論交流，由教師給出證明過(guò)程本題所用方法比較特殊，學(xué)生不易想到，教師在分析學(xué)生提供的思路的基礎(chǔ)上，點(diǎn)出方法，又不直接說(shuō)怎么做，引導(dǎo)學(xué)生再去探索，讓學(xué)生體驗(yàn)思路的形成過(guò)程，學(xué)會(huì)分析問(wèn)題的方法。例3：已知正方形ABCD（圖2-57），P為對(duì)角線AC上任意一點(diǎn)，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，連接DP，EF。求證DPEF。小結(jié)：結(jié)合圖形特點(diǎn)，選定正交基底，用坐標(biāo)表示向量進(jìn)行運(yùn)算解決幾何問(wèn)題，體現(xiàn)幾何問(wèn)題代數(shù)化的特點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想體現(xiàn)的淋漓盡致。向量作為橋梁工具使得運(yùn)算簡(jiǎn)練標(biāo)致，又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)

6、的美。有關(guān)長(zhǎng)方形、正方形、直角三角形等平行、垂直等問(wèn)題常用此法。問(wèn)題5如何證明能否用坐標(biāo)法完成學(xué)生思考，回答老師點(diǎn)評(píng)學(xué)生思路：要證明兩條直線（段）互相垂直，可以證明=，也可以證明兩向量數(shù)量積為0。前一種方法可以建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)用坐標(biāo)表示用斜率公式即可；后一種方法就是課本提供的方法，將向量用坐標(biāo)表示后進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算即可。師生共同討論交流，由教師指導(dǎo)學(xué)生給出證明過(guò)程本題用坐標(biāo)法。尤其是第二種方法用向量坐標(biāo)法證明比較簡(jiǎn)單，可見(jiàn)選定方法是關(guān)鍵，學(xué)生可從中體會(huì)，形成思維習(xí)慣。課堂練習(xí)練習(xí)1求證：平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和練習(xí)2如圖，在平行四邊形中，求證四邊形為矩形由向量的數(shù)量積的性質(zhì)，線段的長(zhǎng)的平方可看做相應(yīng)向量自身的內(nèi)積要證四邊形為矩形，只需證一角為直角進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識(shí)，歸納方法歸納小結(jié)