第二章-單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)課件

1、第二章單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 振動(dòng)理論與測試技術(shù)88學(xué)時(shí)講課教師 殷祥超中國礦業(yè)大學(xué)力學(xué)與建筑工程學(xué)院力學(xué)與工程科學(xué)系二一四年八月第二章單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 振動(dòng)理論與測試技術(shù)88學(xué)時(shí)第二章 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)2.1 單自由度力學(xué)模型和基本概念（2）基本系統(tǒng)和力學(xué)模型 質(zhì)量彈簧系統(tǒng)是單自由度系統(tǒng)的基本力學(xué)模型。（1）振動(dòng)系統(tǒng)的自由度數(shù): 能完全確定系統(tǒng)在空間的幾何位置所需要的獨(dú)立座標(biāo)的數(shù)目。 只需一個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)就可完全確定的其幾何位置系統(tǒng)，稱為單自由度系統(tǒng)。 第二章 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)2.1 單自由度力學(xué)模型和基 單自由度系統(tǒng)的力學(xué)模型慣性元件，慣性力彈性元件，彈性力阻尼元件，阻尼力靜

2、平衡時(shí) 單自由度系統(tǒng)的力學(xué)模型慣性元件實(shí)際振動(dòng)系統(tǒng)的簡化實(shí)際振動(dòng)系統(tǒng)的簡化拖拉機(jī)駕駛員的胃的垂直振動(dòng)質(zhì)量彈簧系統(tǒng)拖拉機(jī)駕駛員的胃的垂直振動(dòng)質(zhì)量彈簧系統(tǒng) 根據(jù)振動(dòng)形式的不同，獨(dú)立座標(biāo)可以選取線位移 或者角位移 來表示。 其它形式的振動(dòng)系統(tǒng) 根據(jù)振動(dòng)形式的不同，獨(dú)立座標(biāo)可以選取線位移 描述系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo)的廣義激振力對(duì)于不同的廣義坐標(biāo)，采用：等效質(zhì)量等效阻尼系數(shù)等效剛度描述系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)對(duì)應(yīng)于廣義坐標(biāo)的廣義激振力對(duì)于不同的廣義坐本章研究：1、振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率2、系統(tǒng)在初始條件下的響應(yīng)3、有阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)本章研究：1、振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率2.2 單自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)令：標(biāo)準(zhǔn)形

3、式通解為：或者：式中 為任意常數(shù)，由初始條件確定。簡諧振動(dòng)振幅：A相位：初相位：圓頻率：弧度秒（rad/s）質(zhì)量彈簧系統(tǒng)2.2 單自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)令：標(biāo)準(zhǔn)形式通解為：或無阻尼自由振動(dòng)（固有振動(dòng)）的特性：1、簡諧振動(dòng)。2、振動(dòng)頻率僅與系統(tǒng)本身的固有參數(shù)有關(guān)，稱為系統(tǒng)的固有頻率。3、振幅A，相位由初始條件確定。初始條件：帶入求得：通解為：無阻尼自由振動(dòng)（固有振動(dòng)）的特性：1、簡諧振動(dòng)。2、振動(dòng)頻率例2-1提升系統(tǒng)勻速下降試求：繩的上端突然被卡住時(shí)重物的振動(dòng)頻率、振動(dòng)規(guī)律及鋼絲繩中的最大張力。解：系統(tǒng)的振動(dòng)頻率為： 系統(tǒng)的振動(dòng)規(guī)律為：其中振幅為：例2-1提升系統(tǒng)勻速下降試求：繩的上端突然被

4、卡住時(shí)重物的振動(dòng) 鋼絲繩中最大張力等于靜平衡時(shí)的張力和振動(dòng)引起的動(dòng)張力之和：其中動(dòng)張力 鋼絲繩中最大張力等于靜平衡時(shí)的張力和振動(dòng)引起的例2-2 復(fù)擺已知：質(zhì)量為m，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Io ，求：復(fù)擺的運(yùn)動(dòng)微分方程及微幅擺動(dòng)的周期T 。解：由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程得非線性方程微幅擺動(dòng)時(shí)化為標(biāo)準(zhǔn)形式：線性方程系統(tǒng)的固有頻率微幅擺動(dòng)的周期 復(fù)擺的振動(dòng)例2-2 復(fù)擺已知：質(zhì)量為m，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Io ，求：復(fù)擺的微幅擺動(dòng)的周期復(fù)擺法測量物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的原理：由平行軸定理 復(fù)擺的振動(dòng)微幅擺動(dòng)的周期復(fù)擺法測量物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的原理：由平行軸定理 復(fù)扭振系統(tǒng)例2-3 扭振系統(tǒng)已知：桿件的直徑為d，長度為l，材料的剪切模量為G，

5、圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I 。試求：系統(tǒng)的固有頻率。解：由材料力學(xué)理論可知為扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)由達(dá)朗伯原理扭振系統(tǒng)的固有頻率為：扭振系統(tǒng)例2-3 扭振系統(tǒng)已知：桿件的直徑為d，長度為l例2-4 測振儀，已知 試建立該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，并求系統(tǒng)的固有頻率。解：單自由度系統(tǒng)取 為廣義坐標(biāo)系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為：微幅振動(dòng)時(shí)：例2-4 測振儀，已知 試建立該系統(tǒng)帶入拉格朗日方程得到：化為標(biāo)準(zhǔn)形式：系統(tǒng)的固有頻率為：帶入拉格朗日方程得到：化為標(biāo)準(zhǔn)形式：系統(tǒng)的固有頻率為：質(zhì)量彈簧系統(tǒng)2.3 固有頻率的計(jì)算一、靜變形法靜變形由靜平衡條件：系統(tǒng)的固有頻率為：彈簧的剛度系數(shù)：靜平衡位置彈簧原長位置質(zhì)量彈簧系統(tǒng)2.3 固有頻率

6、的計(jì)算一、靜變形法靜變形由靜平例2-5 質(zhì)量為 m 的物體從高處h 自由落下，與一根抗彎剛度為 EI 、長 l 的簡支梁作完全非彈性碰撞。如不計(jì)梁的質(zhì)量，求梁的自由振動(dòng)的頻率和最大撓度。解：靜變形梁的自由振動(dòng)頻率為：設(shè)撞擊時(shí)刻為零時(shí)刻則：自由振動(dòng)的振幅為：梁的最大撓度則為：例2-5 質(zhì)量為 m 的物體從高處h 自由落下，二、能量法保守系統(tǒng)系統(tǒng)的動(dòng)能系統(tǒng)的勢能將T、U 帶入得到：即：勢能是一個(gè)相對(duì)量。取系統(tǒng)靜平衡位置處的勢能為零點(diǎn)，即U=0平衡位置 T=Tmax U=0最大位移處 U=Umax T=0機(jī)械能守恒二、能量法保守系統(tǒng)系統(tǒng)的動(dòng)能系統(tǒng)的勢能將T、U 帶入得到：即例2-6 無定向擺系統(tǒng)已知

7、：試用能量法確定其固有頻率。解：以搖桿偏離平衡位置的角位移 為廣義坐標(biāo)設(shè)：則：最大動(dòng)能為：最大勢能為：總勢能為：1-搖桿 2-擺輪例2-6 無定向擺系統(tǒng)已知：試用能量法確定其固有頻率。解微幅擺動(dòng)時(shí)：系統(tǒng)的固有頻率為：帶入數(shù)據(jù)得到微幅擺動(dòng)時(shí)：系統(tǒng)的固有頻率為：帶入數(shù)據(jù)得到例2-7 一個(gè)重量為 W、半徑為 r 的均質(zhì)圓柱體在一個(gè)半徑為 R 的圓柱面內(nèi)作無滑動(dòng)滾動(dòng)。求:圓柱體在平衡位置附近作微幅振動(dòng)的微分方程和固有頻率。 解：帶入得到即：系統(tǒng)的固有頻率為：例2-7 一個(gè)重量為 W、半徑為 r 的均質(zhì)圓柱體在一個(gè)三、瑞利（Rayleigh）法 考慮彈性元件的分布質(zhì)量對(duì)系統(tǒng)固有頻率的影響 首先對(duì)彈性元件

8、在振動(dòng)過程中的形態(tài)作出假設(shè)，一般稱為振型函數(shù)。 如果假設(shè)的振型與實(shí)際振型比較接近，將得到相當(dāng)準(zhǔn)確的固有頻率值。三、瑞利（Rayleigh）法 考慮彈性元件的分布質(zhì)量例2-8 振動(dòng)物體的質(zhì)量為m，彈簧的原長為l，單位長度質(zhì)量為 ，剛度系數(shù)為k，試求系統(tǒng)的固有頻率。解：微段微段 的動(dòng)能彈簧質(zhì)量的動(dòng)能：整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)能為：系統(tǒng)的最大動(dòng)能為：例2-8 振動(dòng)物體的質(zhì)量為m，彈簧的原長為l，單位長度質(zhì)系統(tǒng)的最大動(dòng)能為： 系統(tǒng)的最大勢能為：得到：近似解與精確解的相對(duì)誤差為 0.5%；近似解與精確解的相對(duì)誤差為 0.75%；近似解與精確解的相對(duì)誤差為 3% 。系統(tǒng)的最大動(dòng)能為： 系統(tǒng)的最大勢能為：得到：近似解與

9、精確解的例2-9已知：均質(zhì)簡支梁求：系統(tǒng)的固有頻率。解：假設(shè)梁的動(dòng)撓度曲線振型曲線與靜撓度曲線一致。梁中點(diǎn)的靜撓度梁的動(dòng)撓度曲線可假設(shè)為：梁中點(diǎn)的動(dòng)撓度彈性梁的動(dòng)能為各微段 dx 的動(dòng)能之和例2-9已知：均質(zhì)簡支梁求：系統(tǒng)的固有頻率。解：假設(shè)梁的動(dòng)撓系統(tǒng)的總動(dòng)能：動(dòng)能的最大值：彈性梁的勢能最大值為：彈性梁的等效剛度系數(shù)： 對(duì)簡支梁計(jì)入質(zhì)量的影響，只要將梁質(zhì)量的17/35集中在梁的中點(diǎn)，梁就可以簡化為質(zhì)量彈簧系統(tǒng)。 等截面懸臂梁在自由端的等效質(zhì)量為系統(tǒng)的總動(dòng)能：動(dòng)能的最大值：彈性梁的勢能最大值為：彈性梁的等 瑞利法計(jì)算系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，必須先假定系統(tǒng)彈性元件的振型。 假定的振型通常與真實(shí)振型存在

10、著差異，這相當(dāng)于對(duì)系統(tǒng)附加了某些約束，因而增加了系統(tǒng)的剛度，使得求出的固有頻率略高出精確值。 假定的振型越接近于真實(shí)振型，瑞利法算出的固有頻率就越精確。 實(shí)踐證明，以系統(tǒng)的靜變形曲線作為假設(shè)振型，所得結(jié)果精度較高。 瑞利法計(jì)算系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，必須先假定系統(tǒng)彈性元2.4 等效質(zhì)量與等效彈簧剛度系統(tǒng)的動(dòng)能和勢能當(dāng) 、 分別取得最大值時(shí)，動(dòng)能T、勢能U也分別取得最大值： 其中 Me 及 Ke 稱為簡化系統(tǒng)的等效質(zhì)量和等效剛度。2.4 等效質(zhì)量與等效彈簧剛度系統(tǒng)的動(dòng)能和勢能當(dāng) 這里所說的位移和力是指廣義位移和廣義力，即包括角位移和力矩。 等效剛度還可以定義為：使系統(tǒng)在選定的廣義坐標(biāo)方向上產(chǎn)生單位位移

11、時(shí)，在此廣義坐標(biāo)方向所需要施加的力，稱為系統(tǒng)在此廣義坐標(biāo)方向上的等效剛度。 等效質(zhì)量也可以定義為：使系統(tǒng)在選定的廣義坐標(biāo)方向上產(chǎn)生單位加速度時(shí)，在此廣義坐標(biāo)方向所需要施加的力，稱為系統(tǒng)在此廣義坐標(biāo)方向上的等效質(zhì)量。 這里所說的位移和力是指廣義位移和廣義力，即包括角位移和例2-10 一端固定的等直圓桿 設(shè)桿長為l，截面積為A，截面慣性矩為I，截面極慣性矩為Ip，材料彈性模量為E，剪切彈性模量為G。取坐標(biāo)如圖所示。試確定自由端且處在x方向、y方向和繞x軸轉(zhuǎn)動(dòng)方向的剛度。解：拉壓剛度確定沿 x 方向的剛度確定沿 y 方向的剛度確定繞 x 軸轉(zhuǎn)動(dòng)方向的剛度彎曲剛度扭轉(zhuǎn)剛度例2-10 一端固定的等直圓桿

12、 設(shè)桿長為l串聯(lián)和并聯(lián)彈簧系統(tǒng)等效剛度的計(jì)算方法1、并聯(lián)彈簧的等效剛度等效剛度為：2、串聯(lián)彈簧的等效剛度等效剛度為：即：串聯(lián)和并聯(lián)彈簧系統(tǒng)等效剛度的計(jì)算方法1、并聯(lián)彈簧的等效剛度等串聯(lián)彈簧和并聯(lián)彈簧串聯(lián)彈簧和并聯(lián)彈簧例2-11 剛性桿AB上固結(jié)兩個(gè)集中質(zhì)量m1 、m2 ，如不計(jì)剛性桿的質(zhì)量，求系統(tǒng)對(duì)于坐標(biāo) x 的等效質(zhì)量和等效剛度。解：（1）用能量法求解例2-11 剛性桿AB上固（2）用定義方法求解 設(shè)使系統(tǒng)在x方向上產(chǎn)生單位加速度需要施加力P，則在質(zhì)量m1 、m2 上將有慣性力對(duì)支承點(diǎn)取矩:得到 同樣，設(shè)使系統(tǒng)在x方向上產(chǎn)生單位位移需要施加力P，則在彈簧k1 、k2 上將有彈性恢復(fù)力對(duì)支承點(diǎn)

13、取矩:得到（2）用定義方法求解 設(shè)使系統(tǒng)在x方向上產(chǎn)生單位加速例2-12 電動(dòng)式激振器測試件固有頻率 被測試件簡化為彈簧質(zhì)量系統(tǒng)k1、m1，試驗(yàn)時(shí)激振器的頂桿與試件剛性聯(lián)接，激振器的可動(dòng)部件質(zhì)量為m2，支承彈簧的剛度為k2。1-試件2-激振器可動(dòng)部件例2-12 電動(dòng)式激振器測試件固有頻率 例2-12 電動(dòng)式激振器測試件固有頻率 被測試件簡化為彈簧質(zhì)量系統(tǒng)k1、m1，試驗(yàn)時(shí)激振器的頂桿與試件剛性聯(lián)接，激振器的可動(dòng)部件質(zhì)量為m2，支承彈簧的剛度為k2。（1）試計(jì)算系統(tǒng)的等效剛度； （2）設(shè)測得系統(tǒng)的固有頻率為 f，已知激振器的可動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率 f2=7Hz，可動(dòng)部件質(zhì)量m2 與試件質(zhì)量m1 之比

14、為0.01，求試件的固有頻率 f1。1-試件2-激振器可動(dòng)部件解：剛性聯(lián)接（1）求系統(tǒng)的等效剛度：等效剛度為：相當(dāng)于兩個(gè)并聯(lián)彈簧（2）求試件的固有頻率 f1 ：系統(tǒng)的固有頻率為：例2-12 電動(dòng)式激振器測試件固有頻率 （2）求試件的固有頻率 f1 ：系統(tǒng)的固有頻率 f 為：激振器可動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率 f2 為：試件的固有頻率 f1 為：可動(dòng)部件m2 與試件m1 的質(zhì)量比為帶入 f 求出：測量誤差：如果測得 f=50Hz（2）求試件的固有頻率 f1 ：系統(tǒng)的固有頻率 f 為：激2.5 有阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)線性粘滯阻尼R 粘滯阻尼力;v 相對(duì)速度;c 粘滯阻尼系數(shù), 簡稱阻尼系數(shù)，單位為Ns /m;

15、令：n 稱為衰減系數(shù)，單位為1/s 。系統(tǒng)的固有頻率再令：有阻尼自由振動(dòng)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式2.5 有阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)線性粘滯阻尼R 粘滯阻尼力;設(shè)：特征方程：特征根：方程的解：一、大阻尼情況s1 、s2 為兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根得到：設(shè)：特征方程：特征根：方程的解：一、大阻尼情況s1 、s2 時(shí)的振動(dòng)曲線 時(shí)的振動(dòng)曲線二、小阻尼情形s1 、s2 為兩個(gè)共軛的復(fù)根令：方程的通解：將 ， ， 帶入可以改寫為：稱為有阻尼系統(tǒng)的固有頻率。二、小阻尼情形s1 、s2 為兩個(gè)共軛的復(fù)根令：方程的通解：振動(dòng)衰減曲線稱為瞬時(shí)振幅稱為衰減振動(dòng)的頻率阻尼對(duì)自由振動(dòng)的影響：振動(dòng)的頻率降低；周期增大；振動(dòng)幅值衰減。定義衰減振

16、動(dòng)的周期：振動(dòng)衰減曲線稱為瞬時(shí)振幅稱為衰減振動(dòng)的頻率阻尼對(duì)自由振動(dòng)的影阻尼使衰減振動(dòng)的周期增大，頻率降低。當(dāng) 時(shí)當(dāng) 時(shí) 在小阻尼情況下，計(jì)算系統(tǒng)的固有頻率時(shí)可以不考慮阻尼的影響，近似認(rèn)為：阻尼使衰減振動(dòng)的周期增大，頻率降低。當(dāng) 減幅系數(shù)：定義： 有阻尼自由振動(dòng)的振幅按幾何級(jí)數(shù)衰減，衰減的快慢程度取決于衰減系數(shù)振動(dòng)10次后，振幅減少為原來的對(duì)數(shù)衰減率：減幅系數(shù)：定義： 有阻尼自由振動(dòng)的振幅按幾何級(jí)數(shù)對(duì)數(shù)衰減率：測定阻尼系數(shù)對(duì)數(shù)衰減率：測定阻尼系數(shù) 相對(duì)阻尼系數(shù)較小時(shí)：即：小阻尼時(shí)： 相對(duì)阻尼系數(shù)較小時(shí)：即：小阻尼時(shí)：通過實(shí)驗(yàn)確定阻尼系數(shù)的方法通過實(shí)驗(yàn)確定阻尼系數(shù)的方法三、臨界阻尼情形兩個(gè)相等的重根通解為： 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)也不再具有往復(fù)振動(dòng)的特性，而是隨時(shí)間迅速衰減并趨于零。稱為臨界阻尼系數(shù)，僅僅取決于系統(tǒng)本身的特性。相對(duì)阻尼系數(shù)，相對(duì)阻尼比三、臨界