中考數(shù)學(xué)平行四邊形綜合經(jīng)典題含答案

1、一、平行四邊形真題與模擬題分類匯編（難題易錯(cuò)題）1.四邊形ABCD是正方形，AC與BD,相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E、F是直線AD上兩動(dòng)點(diǎn)，且AE=DF,CF所在直線與對(duì)角線BD所在直線交于點(diǎn)G,連接AG,直線AG交BE于點(diǎn)H.（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)E、F在線段AD上時(shí)，求證：ZDAG=ZDCG；猜想AG與BE的位置關(guān)系，并加以證明；（2）如圖2,在（1）條件下，連接HO,試說明HO平分ZBHG；（3）當(dāng)點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)到如圖3所示的位置時(shí)，其它條件不變，請(qǐng)將圖形補(bǔ)充完整，并直接寫出ZBHO的度數(shù).圖卸圖；【答案】（1）證明見解析；AG丄BE.理由見解析；（2）證明見解析；（3）ZBHO=45.【解析】試題分析：

2、（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得DA=DC,ZADB=ZCDB=45,則可根據(jù)SAS證明ADGCDG，所以ZDAG=ZDCG；根據(jù)正方形的性質(zhì)得AB=DC,ZBAD=ZCDA=90,根據(jù)SAS證明ABE竺DCF，則ZABE=ZDCF，由于ZDAG=ZDCG,所以ZDAG=ZABE，然后利用ZDAG+ZBAG=90得到ZABE+ZBAG=90，于是可判斷AG丄BE；（2）如答圖1所示，過點(diǎn)O作OM丄BE于點(diǎn)M,ON丄AG于點(diǎn)N,證明AONBOM,可得四邊形OMHN為正方形，因此HO平分ZBHG結(jié)論成立；（3）如答圖2所示，與（1）同理，可以證明AG丄BE；過點(diǎn)O作OM丄BE于點(diǎn)M,ON丄AG于點(diǎn)N,構(gòu)造

3、全等三角形厶AONBOM,從而證明OMHN為正方形，所以HO平分ZBHG，即ZBHO=45.試題解析：（1）T四邊形ABCD為正方形，DA=DC,ZADB=ZCDB=45,在厶ADG和厶CDG中AD-CDADG-iLCDGDG-DG,ADG竺CDG（SAS）,ZDAG=ZDCG；AG丄BE.理由如下：T四邊形ABCD為正方形，AB=DC,ZBAD=ZCDA=90,在厶ABE和厶DCF中ABDCBAF-.CDFIAE-DF,.ABE竺DCF(SAS),ZABE=ZDCF,ZDAG=ZDCG,ZDAG=ZABE,TZDAG+ZBAG=90,ZABE+ZBAG=90,ZAHB=90,AG丄BE；(2

4、)由(1)可知AG丄BE.如答圖1所示，過點(diǎn)O作OM丄BE于點(diǎn)M,ON丄AG于點(diǎn)N,則四邊形OMHN為矩形.ZMON=90,又:OA丄OB,.ZAON=ZBOM.TZAON+ZOAN=90,ZBOM+ZOBM=90,ZOAN=ZOBM.在厶AON與厶BOM中，loan-LQBMOA-OB也40/V-.BOM.AON竺BOM(AAS).OM=ON,.矩形OMHN為正方形，.HO平分ZBHG.(3)將圖形補(bǔ)充完整，如答圖2示，ZBHO=45.與(1)同理，可以證明AG丄BE.過點(diǎn)0作0M丄BE于點(diǎn)M,ON丄AG于點(diǎn)N,與(2)同理，可以證明AON竺BOM,可得OMHN為正方形，所以HO平分/BHG

5、,ZBHO=45.考點(diǎn)：1、四邊形綜合題；2、全等三角形的判定與性質(zhì)；3、正方形的性質(zhì)問題發(fā)現(xiàn)：如圖，點(diǎn)P為平行四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，請(qǐng)過點(diǎn)P畫一條直線l，使其同時(shí)平分平行四邊形ABCD的面積和周長(zhǎng).問題探究：(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸正半軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為(8,6).已知點(diǎn)p(6,7)為矩形外一點(diǎn)，請(qǐng)過點(diǎn)P畫一條同時(shí)平分矩形OABC面積和周長(zhǎng)的直線l，說明理由并求出直線l，說明理由并求出直線l被矩形ABCD截得線段的長(zhǎng)度.問題解決：(3)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xy中，矩形OABCD的邊OA、OD分別在x軸、y軸正半軸上，DCIIx軸，ABy

6、軸，且OA=OD=8，AB=CD=2，點(diǎn)P(10-5：210-5邁)為五邊形內(nèi)一點(diǎn).請(qǐng)問：是否存在過點(diǎn)P的直線l，分別與邊OA與BC交于點(diǎn)E、F,且同時(shí)平分五邊形OABCD的面積和周長(zhǎng)?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E和點(diǎn)F的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）作圖見解析；（2）y二2x-5,3弱；（3）E（0,0）,F（5,5）.【解析】試題分析：（1）連接AC、BD交于點(diǎn)0,作直線PO,直線PO將平行四邊形ABCD的面積和周長(zhǎng)分別相等的兩部分.（2）連接AC,BD交于點(diǎn)O，過O、P點(diǎn)的直線將矩形ABCD的面積和周長(zhǎng)分為分別相等的兩部分.（3）存在，直線y=x平分五邊形OABCD面積、周長(zhǎng).試題解析

7、：（1）作圖如下：(2)P(6,7),O(4,3),設(shè)PO:y=kx+6,6k+b=7k=24k+b=3,b=-5,y=2x-5,(5)交x軸于N亍0,V2(11)交BC于M,6,V2丿MN=62+MN=62+JJO4*22丿=3鶯5.(3)存在，直線y=x平分五邊形OABCD面積、周長(zhǎng).P(10-.2,10-在直線y=x上,連OP交OA、BC于點(diǎn)E、F,設(shè)BC:y=kx+b,B(&2)C(2,8),8k+b=2k=-12k+=8,b=10,直線BC:y=x+io,y二一x+10(x=5聯(lián)立，得15y二xy二5E(0,0),F(5,5)./OAx已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，0為對(duì)角線B

8、D的中點(diǎn)，過點(diǎn)0的直線EF分別交AD,BC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連結(jié)BE，DF.（1）求證：D0EB0F.（2）當(dāng)/D0E等于多少度時(shí)，四邊形BFDE為菱形？請(qǐng)說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）當(dāng)/D0E=90。時(shí)，四邊形BFED為菱形，理由見解析.【解析】試題分析：（1）利用平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定方法得出DOE竺BOF（ASA）；（2）首先利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形EBFD是平行四邊形，進(jìn)而利用垂直平分線的性質(zhì)得出BE=ED，即可得出答案.試題解析：（1）T在ABCD中，O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，BO=DO，ZEDB=ZFBO，在厶EOD和厶FOB中EDO

9、=-OBFDO二00“FODFOBDOE竺BOF（ASA）；（2）當(dāng)ZDOE=90時(shí)，四邊形BFDE為菱形，理由：TDOEBOF，OE=OF，又TOB=OD,四邊形EBFD是平行四邊形，TZEOD=9O,EF丄BD，四邊形BFDE為菱形.考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定.已知矩形紙片OBCD的邊OB在x軸上，OD在y軸上，點(diǎn)C在第一象限，且OB=8OD=6現(xiàn)將紙片折疊，折痕為EF（點(diǎn)E，F(xiàn)是折痕與矩形的邊的交點(diǎn)），點(diǎn)P為點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再將紙片還原。（I）若點(diǎn)P落在矩形OBCD的邊OB上,如圖，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)O重合時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；如圖，當(dāng)點(diǎn)E在OB上，點(diǎn)F在DC上時(shí)，EF

10、與DP交于點(diǎn)G,若OP=7，求點(diǎn)F的坐標(biāo)：（口）若點(diǎn)P落在矩形OBCD的內(nèi)部，且點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊OD,邊DC上，當(dāng)OP取最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）。【答案】點(diǎn)F的坐標(biāo)為（6,6）【答案】點(diǎn)F的坐標(biāo)為（6,6）；點(diǎn)F的坐標(biāo)為1|,61V14丿(II)【解析】【分析】（I）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得/DOF=ZPOF=45，再由矩形的性質(zhì)，即可求出F的坐標(biāo)；由折疊的性質(zhì)及矩形的特點(diǎn)，易得ADGF=APGE，得到DF=PE，再加上平行，可以得到四邊形DEPF是平行四邊形，在由對(duì)角線垂直，得出口DEPF是菱形，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為x,在RtAODE中，由勾股定理建立方程即可求解;（口）當(dāng)OFF點(diǎn)共線

11、時(shí)OP的長(zhǎng)度最短.【詳解】解：（I）折痕為EF點(diǎn)P為點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn).ADOF仝APOF/.ZDOF=ZPOF=45四邊形OBCD是矩形，/.ZODF=90。/.ZDFO=ZDOF=45。.DF=DO=6點(diǎn)F的坐標(biāo)為(6,6)T折痕為EF,點(diǎn)P為點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)./.DG=PG,EF丄PDT四邊形OBCD是矩形,/DC/OB,./ZFDG=ZEPG；ZDGF=ZPGE/.ADGF=APGE/.DF=PEDF/PE四邊形DEPF是平行四邊形.EF丄PD,DEPF是菱形.設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為x,則DE=EP=xOP=7,/.OE=7x,在RtAODE中，由勾股定理得OD2+QB2二DE2/.62+(7-x)2=

12、x285解得x二14/DF/DF=8514.點(diǎn)F的坐標(biāo)為（口）86（口）86【點(diǎn)睛】此題考查了幾何折疊問題、等腰三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)折疊的性質(zhì)進(jìn)行解答，屬于中考?jí)狠S題5閱讀下列材料：我們定義：若一個(gè)四邊形的一條對(duì)角線把四邊形分成兩個(gè)等腰三角形，則這條對(duì)角線叫這個(gè)四邊形的和諧線，這個(gè)四邊形叫做和諧四邊形如正方形就是和諧四邊形結(jié)合閱讀材料，完成下列問題：命題：“和諧四邊形一定是軸對(duì)稱圖形是命題(填真或假”).如圖，等腰RtAABD中，ZBAD=90.若點(diǎn)C為平面上一點(diǎn)，AC為凸四邊形ABCD的和諧線，且AB=BC,請(qǐng)求出ZABC的度數(shù).【答案】(1)C;

13、(2)ZABC的度數(shù)為60或90或150.【解析】試題分析：(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)和和諧四邊形定義，直接得出結(jié)論.(2)根據(jù)和諧四邊形定義，分AD=CD,AD=AC，AC=DC討論即可.根據(jù)和諧四邊形定義，平行四邊形，矩形，等腰梯形的對(duì)角線不能把四邊形分成兩個(gè)等腰三角形，菱形的一條對(duì)角線能把四邊形分成兩個(gè)等腰三角形夠.故選C.T等腰RtAABD中，ZBAD=90，二AB=AD.TAC為凸四邊形ABCD的和諧線，且AB=BC，分三種情況討論：若AD=CD，如圖1,則凸四邊形ABCD是正方形，ZABC=90；若AD=AC，如圖2,則AB=AC=BC，ABC是等邊三角形，ZABC=60；若AC=DC，

14、如圖3，則可求ZABC=150.質(zhì)；5分類思想的應(yīng)用.6.在厶ABC中，AD丄BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AC邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF/BC，交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF.(1)如圖1,求證：四邊形ADCF是矩形；(2)如圖2，當(dāng)AB=AC時(shí)，取AB的中點(diǎn)G,連接DG、EG，在不添加任何輔助線和字母的條件下，請(qǐng)直接寫出圖中所有的平行四邊形(不包括矩形ADCF).【答案】證明見解析；(2)四邊形ABDF、四邊形AGEF、四邊形GBDE、四邊形AGDE、四邊形GDCE都是平行四邊形.【解析】【分析】由厶AEFCED,推出EF二DE,又AE二EC,推出四邊形ADCF是平行四邊形，只要證明ZADC=90，即可推

15、出四邊形ADCF是矩形.四邊形ABDF、四邊形AGEF、四邊形GBDE、四邊形AGDE、四邊形GDCE都是平行四邊形.【詳解】證明：AF/BC,ZAFE=ZEDC,E是AC中點(diǎn)，AE=EC,在AEF和CED中，2AFE=ZCDEZAEF=ZCED，AE=ECV.厶AEF=ACED，EF=DE，AE=EC，.四邊形ADCF是平行四邊形，AD丄BC，.ZADC=90，.四邊形ADCF是矩形.線段DG、線段GE、線段DE都是aABC的中位線，又AF/BC，.AB/DE，DG/AC，EG/BC，四邊形ABDF、四邊形AGEF、四邊形GBDE、四邊形AGDE、四邊形GDCE都是平行四邊形.【點(diǎn)睛】考查平

16、行四邊形的判定、矩形的判定、三角形的中位線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，正確尋找全等三角形解決問題是解題的關(guān)鍵.7.ABC為等邊三角形，AF=AB.ZBCD=ZBDC=ZAEC.求證：四邊形ABDF是菱形.若BD是ABC的角平分線，連接AD，找出圖中所有的等腰三角形.【答案】（1）證明見解析；圖中等腰三角形有ABC，BDC,ABD,ADF，ADC，ADE.【解析】【分析】（1）先求證BDIIAF,證明四邊形ABDF是平行四邊形，再利用有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明；（2）先利用BD平分/ABC，得到BD垂直平分線段AC,進(jìn)而證明DAC是等腰三角形，根據(jù)BD丄ACAF丄AC,找到

17、角度之間的關(guān)系證明DAE是等腰三角形，進(jìn)而得到BC=BD=BA=AF=DF,即可解題，見詳解.【詳解】如圖1中，VZBCD=ZBDC,BC=BD,ABC是等邊三角形，.AB=BC,AB=AF,BD=AF,ZBDC=ZAEC,BDIIAF,.四邊形ABDF是平行四邊形，AB=AF,.四邊形ABDF是菱形.解：如圖2中，VBA=BC,BD平分ZABC,.BD垂直平分線段AC,.DA=DC,.DAC是等腰三角形，AFIIBD,BD丄AC.AFAC,ZEAC=90,ZDAC=ZDCA,ZDAC+ZDAE=90,ZDCA+ZAEC=90,ZDAE=ZDEA,.DA=DE,DAE是等腰三角形，bc=bd=

18、ba=af=df,:.BCD,ABD,ADF都是等腰三角形，綜上所述，圖中等腰三角形有ABC,BDC,ABD,ADF,ADC,ADE.圖1圏2【點(diǎn)睛】本題考查菱形的判定，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識(shí)，屬于中考?？碱}型，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.8如圖，現(xiàn)將平行四邊形ABCD沿其對(duì)角線AC折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)B處.AB與CD交于點(diǎn)E.求證：AEDCEB；過點(diǎn)E作EF丄AC交AB于點(diǎn)F,連接CF,判斷四邊形AECF的形狀并給予證明.【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】【分析】由題意可得AD=BC=BC,ZB=ZD=ZB,且/AED=ZCEB，利用AAS證明全等，則結(jié)論可得

19、；由厶AEDCEB可得AE=CE，且EF丄AC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得EF垂直平分AC,ZAEF=ZCEF.即AF=CF,ZCEF=ZAFE=ZAEF，可得AE=AF，則可證四邊形AECF是菱形.【詳解】證明：(1)四邊形ABCD是平行四邊形AD=BC,CDIIAB,ZB=ZD平行四邊形ABCD沿其對(duì)角線AC折疊BC=BC,ZB=ZBZD=ZB,AD=BC且ZDEA=ZBECADE竺BEC(2)四邊形AECF是菱形TADE竺BECAE=CETAE=CE,EF丄AC.EF垂直平分AC,ZAEF=ZCEFAF=CFTCDIIABZCEF=ZEFA且ZAEF=ZCEFZAEF=ZEFAAF=AEA

20、F=AE=CE=CF.四邊形AECF是菱形【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問題，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定，熟練掌握這些性質(zhì)和判定是解決問題的關(guān)鍵.如圖，P是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)(P與B、D不重合)，ZAPE=90，且點(diǎn)E在BC邊上，AE交BD于點(diǎn)F.求證：PABPCB；PE=PC；AP在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，；的值是否改變？若不變，求出它的值；若改變，請(qǐng)說明理由；設(shè)DP=x，當(dāng)x為何值時(shí)，AEIIPC，并判斷此時(shí)四邊形PAFC的形狀.【答案】(1)見解析；庶-啟；(3)x=i-1；四邊形PAFC是菱形.【解析】試題分析：(1)根據(jù)四邊形ABCD是正方形，得出

21、AB=BC，ZABP=ZCBP，再根據(jù)PB=PB，即可證出厶PABPCB，根據(jù)ZPAB+ZPEB=180,ZPEC+ZPEB=180，得出ZPEC=ZPCB，從而證出PE=PC；根據(jù)PA=PC，PE=PC，得出PA=PE，再根據(jù)ZAPE=90，得出ZPAE=ZPEA=45，即可求AP出曲；先求出ZCPE=ZPEA=45，從而得出ZPCE，再求出ZBPC即可得出ZBPC=ZPCE，從而證出BP=BC=1，x=-1,再根據(jù)AEIIPC，得出ZAFP=ZBPC=67.5，由PABPCB得出/BPA=ZBPC=67.5,PA=PC,從而證出AF=AP=PC,得出答案.試題解析：(1)T四邊形ABCD是

22、正方形，二AB=BC,乙ABP=ZCBP=ZABC=45.TPB=PB,PA膽PCB(SAS).由PABPCB可知，ZPAB=ZPCB.TZABE=ZAPE=90,.ZPAB+ZPEB=180,又:ZPEC+ZPEB=180,ZPEC=ZPAB=ZPCB,.PE=PC.AP在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，山的值不改變.由厶PABPCB可知，PA=PC.TPE=PC,PA=PE,又TZAPE=90,竺.PAE是等腰直角三角形，ZPAE=ZPEA=45,.=.1TAEIIPC,ZCPE=ZPEA=45,.在厶PEC中，ZPCE=ZPEC=(180-45)=67.5.在厶PBC中，ZBPC=(180-ZCBP-

23、ZPCE)=(180-45-67.5)=67.5.ZBPC=ZPCE=67.5,.BP=BC=1,.x=BD-BP-1.TAEIIPC,ZAFP=ZBPC=67.5，由PABPCB可知，ZBPA=ZBPC=67.5,PA=PC,ZAFP=ZBPA,AF=AP=PC,.四邊形PAFC是菱形.考點(diǎn)：四邊形綜合題.（本題14分）小明在學(xué)習(xí)平行線相關(guān)知識(shí)時(shí)總結(jié)了如下結(jié)論：端點(diǎn)分別在兩條平行線上的所有線段中，垂直于平行線的線段最短.小明應(yīng)用這個(gè)結(jié)論進(jìn)行了下列探索活動(dòng)和問題解決.問題1：如圖1,在RtAABC中，ZC=90,AC=4,BC=3,P為AC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，以PB,PA為邊構(gòu)造APAPBQ,求對(duì)角

24、線PQ的最小值及PQ最小時(shí)心的值.在解決這個(gè)問題時(shí)，小明構(gòu)造出了如圖2的輔助線，則PQ的最小值為，當(dāng)PQ最小時(shí)AP=一；小明對(duì)問題1做了簡(jiǎn)單的變式思考.如圖3,P為AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)PA到點(diǎn)E,使AE=nPA(n為大于0的常數(shù)).以PE，PC為邊作dPCQE,試求對(duì)角線PQ長(zhǎng)的最小值，并求PQ最小AP時(shí)的值；問題2：在四邊形ABCD中,ADIIBC,AB丄BC,AD=1,AB=2,BC=3.(1)如圖4,若為沐上任意一點(diǎn)，以為邊作口皿1：；試求對(duì)角線小長(zhǎng)的最小值A(chǔ)P和PQ最小時(shí)-二的值.囹4囹4(2)若為X上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)到，使二久，再以為邊作請(qǐng)AP直接寫出對(duì)角線宀長(zhǎng)的最小值和PQ最小時(shí)上三的值.112AP比【答案】問題1：(1)3,4(2)PQ=己，二=-：一-問題2：(1)八；=4,空AP_1上三-.(2)PQ的最小值為一；一一.上三【解析】試題分析：?jiǎn)栴}1：(1)首先根據(jù)條件可證