復(fù)變函數(shù)論課件：4-3 解析函數(shù)的泰勒展式

1、4.3 解析函數(shù)的泰勒展式4.3.1.泰勒(Taylor)定理4,3,2.冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓周上的狀況4.3.3.一些初等函數(shù)的泰勒展式(4.9)D 定理4.14 (泰勒定理) 設(shè)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,aD,只要K:|z-a|R含于D,則f(z)在K內(nèi)能展成如下冪級(jí)數(shù) (4.8)其中系數(shù)展式是唯一的.4.3.1.泰勒(Taylor)定理KaK 證:證明的關(guān)鍵是利用柯西積分公式及如下熟知的公式:(|u|1).(4.10)總有一個(gè)圓周:使點(diǎn)z含在中虛線表).由柯西積分公式得azD圖4.1的內(nèi)部(圖4.1表示為一個(gè)含有z-a的正冪次級(jí)數(shù).為此該寫：(4.11) 我們?cè)O(shè)法將被積式:由時(shí),由于應(yīng)

2、用公式(4.10),我們有右端的級(jí)數(shù)在 上(關(guān)于 )是一致收斂的.以 上的有界函數(shù) 相乘,仍然得到 上的一致收斂級(jí)數(shù).于是(4.11)表示為 上一致收斂級(jí)數(shù)由定理3.13知最后得出其中的系數(shù)cn由公式(4.9)給出.上面證明對(duì)于任意z均成立,故定理的前半部分得證.下面證明展式是唯一的.設(shè)另有展式由定理4.13(3)即知(n=0,1,2,),故展式是唯一的. 定義4.8 (4.8)稱為f(z)在點(diǎn)a的泰勒展式,(4.9)稱為其泰勒系數(shù),而(4.8)右邊的級(jí)數(shù),則稱為泰勒級(jí)數(shù). 定理4.15 f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件為:f(z)在D內(nèi)任一點(diǎn)a的鄰域內(nèi)可展成z-a的冪級(jí)數(shù),即泰勒級(jí)數(shù). 由第

3、三章的柯西不等式知若f(z)在|z-a|0,且則f(z)在收斂圓周C:|z-a|=R上至少有一奇點(diǎn),即不可能有這樣的函數(shù)F(z)存在,它在|z-a|R內(nèi)與f(z)恒等,而在C上處處解析. 證 假若這樣的F(z)存在,這時(shí)C上的每一點(diǎn)就都是某圓O的中心,而在圓O內(nèi)F(z)是解析的.z1aK/:|z-a|R+內(nèi)是解析的.于是F(z)在K/可開為泰勒級(jí)數(shù).但因在|z-a|0表示C到G的邊界的距離(參看第三章定理3.3注).于是F(z)在較圓K大的同心圓z1z2z3z2z5z2z6z8z9z10a注 (1)縱使冪級(jí)數(shù)在其收斂圓周上處處收斂,其和函數(shù)在收斂圓周上仍然至少有一個(gè)奇點(diǎn). (2)這個(gè)定理,一方面建立了冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與此冪級(jí)數(shù)所代表的函數(shù)的性質(zhì)之間的