典型例題：橢圓方程18練

1、PAGE21典型例題一例1已知橢圓的一個焦點為（0，2）求的值分析：把橢圓的方程化為標準方程，由，根據關系可求出的值解：方程變形為因為焦點在軸上，所以，解得又，所以，適合故典型例題二例2已知橢圓的中心在原點，且經過點，求橢圓的標準方程分析：因橢圓的中心在原點，故其標準方程有兩種情況根據題設條件，運用待定系數法，求出參數和（或和）的值，即可求得橢圓的標準方程解：當焦點在軸上時，設其方程為由橢圓過點，知又，代入得，故橢圓的方程為當焦點在軸上時，設其方程為由橢圓過點，知又，聯(lián)立解得，故橢圓的方程為典型例題三例3的底邊，和兩邊上中線長之和為30，求此三角形重心的軌跡和頂點的軌跡分析：（1）由已知可得，

2、再利用橢圓定義求解（2）由的軌跡方程、坐標的關系，利用代入法求的軌跡方程解：（1）以所在的直線為軸，中點為原點建立直角坐標系設點坐標為，由，知點的軌跡是以、為焦點的橢圓，且除去軸上兩點因，有，故其方程為（2）設，則由題意有代入，得的軌跡方程為，其軌跡是橢圓（除去軸上兩點）典型例題四例4已知點在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，點到兩焦點的距離分別為和，過點作焦點所在軸的垂線，它恰好過橢圓的一個焦點，求橢圓方程分析：討論橢圓方程的類型，根據題設求出和（或和）的值從而求得橢圓方程解：設兩焦點為、，且，從橢圓定義知即從知垂直焦點所在的對稱軸，所以在中，可求出，從而所求橢圓方程為或典型例題五例5已知橢圓方程，

3、長軸端點為，焦點為，是橢圓上一點，求：的面積（用、表示）分析：求面積要結合余弦定理及定義求角的兩鄰邊，從而利用求面積解：如圖，設，由橢圓的對稱性，不妨設，由橢圓的對稱性，不妨設在第一象限由余弦定理知：由橢圓定義知：則得故典型例題六例6已知橢圓，（1）求過點且被平分的弦所在直線的方程；（2）求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程；（3）過引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程；（4）橢圓上有兩點、，為原點，且有直線、斜率滿足，求線段中點的軌跡方程分析：此題中四問都跟弦中點有關，因此可考慮設弦端坐標的方法解：設弦兩端點分別為，線段的中點，則得由題意知，則上式兩端同除以，有，將代入得（1）將，代入，得，

4、故所求直線方程為將代入橢圓方程得，符合題意，故即為所求（2）將代入得所求軌跡方程為：（橢圓內部分）（3）將代入得所求軌跡方程為（橢圓內部分）（4）由得，將平方并整理得，將代入得，再將代入式得，即此即為所求軌跡方程當然，此題除了設弦端坐標的方法，還可用其它方法解決典型例題七例7已知動圓過定點，并且在定圓的內部與其相內切，求動圓圓心的軌跡方程分析：關鍵是根據題意，列出點P滿足的關系式解：如圖所示，設動圓和定圓內切于點動點到兩定點，即定點和定圓圓心距離之和恰好等于定圓半徑，即點的軌跡是以，為兩焦點，半長軸為4，半短軸長為的橢圓的方程：說明：本題是先根據橢圓的定義，判定軌跡是橢圓，然后根據橢圓的標準方

5、程，求軌跡的方程這是求軌跡方程的一種重要思想方法典型例題八例8已知橢圓及直線（1）當為何值時，直線與橢圓有公共點（2）若直線被橢圓截得的弦長為，求直線的方程分析：直線與橢圓有公共點，等價于它們的方程組成的方程組有解因此，只須考慮方程組消元后所得的一元二次方程的根的判別式已知弦長，由弦長公式就可求出解：（1）把直線方程代入橢圓方程得，即，解得（2）設直線與橢圓的兩個交點的橫坐標為，由（1）得，根據弦長公式得解得因此，所求直線的方程為說明：處理有關直線與橢圓的位置關系問題及有關弦長問題，采用的方法與處理直線和圓的有所區(qū)別這里解決直線與橢圓的交點問題，一般考慮判別式；解決弦長問題，一般應用弦長公式用

6、弦長公式，若能合理運用韋達定理（即根與系數的關系），可大大簡化運算過程典型例題九例9以橢圓的焦點為焦點，過直線上一點作橢圓，要使所作橢圓的長軸最短，點應在何處并求出此時的橢圓方程分析：橢圓的焦點容易求出，按照橢圓的定義，本題實際上就是要在已知直線上找一點，使該點到直線同側的兩已知點（即兩焦點）的距離之和最小，而這種類型的問題在初中就已經介紹過，只須利用對稱的知識就可解決解：如圖所示，橢圓的焦點為，點關于直線的對稱點的坐標為（9，6），直線的方程為解方程組得交點的坐標為（5，4）此時最小所求橢圓的長軸，又，因此，所求橢圓的方程為說明：解決本題的關鍵是利用橢圓的定義，將問題轉化為在已知直線上求一點

7、，使該點到直線同側兩已知點的距離之和最小典型例題十例10已知方程表示橢圓，求的取值范圍分析：根據橢圓方程的特征求解解：由得，且滿足條件的的取值范圍是，且說明：本題易出現(xiàn)如下錯解：由得，故的取值范圍是出錯的原因是沒有注意橢圓的標準方程中這個條件，當時，并不表示橢圓典型例題十一例11已知表示焦點在軸上的橢圓，求的取值范圍分析：依據已知條件確定的三角函數的大小關系再根據三角函數的單調性，求出的取值范圍解：方程可化為因為焦點在軸上，所以因此且從而說明：1由橢圓的標準方程知，這是容易忽視的地方2由焦點在軸上，知，3求的取值范圍時，應注意題目中的條件典型例題十二例2求中心在原點，對稱軸為坐標軸，且經過和兩

8、點的橢圓方程分析：由題設條件焦點在哪個軸上不明確，橢圓標準方程有兩種情形，為了計算簡便起見，可設其方程為，且不必去考慮焦點在哪個坐標軸上，直接可求出方程解：設所求橢圓方程為，由和兩點在橢圓上可得即所以，故所求的橢圓方程為說明：此類題目中已存在直角坐標系，所以就不用建立直角坐標系了，但是這種題目一定要注意已知點和已知軌跡在坐標系中的位置關系求橢圓的標準方程，一般是先定位（焦點位置），再定量（，的值），若橢圓的焦點位置確定，橢圓方程唯一；若橢圓的焦點位置不確定，既可能在軸，又可能在軸上，那么就分兩種情況進行討論方法是待定系數法求橢圓的標準方程，求解時是分為根據橢圓的焦點在軸上或軸上確定方程的形式、

9、根據題設條件列出關于待定系數，的方程組、解方程組求出，的值三個步驟，從而得到橢圓的標準方程對此題而言，根據題目的要求不能判斷出所求的橢圓焦點所在的坐標軸，那么就分情況討論，這種方法解此題較繁另一種方法直接設出橢圓的方程，而不強調焦點在哪一個坐標軸上，即不強調和的系數哪一個大，通過解題，解得幾種情況就是幾種情況在求橢圓方程確定焦點在哪一坐標軸上的時候，可以根據焦點坐標，也可以根據準線方程若不能確定焦點在哪一個坐標軸上，就用上述兩種方法典型例題十三例13已知長軸為12，短軸長為6，焦點在軸上的橢圓，過它對的左焦點作傾斜解為的直線交橢圓于，兩點，求弦的長分析：此類題目是求弦長問題，這種題目方法很多，

10、可以利用弦長公式求得，也可以利用橢圓定義及余弦定理，還可以利用焦點半徑來求解：法1利用直線與橢圓相交的弦長公式求解因為，所以又因為焦點在軸上，所以橢圓方程為，左焦點，從而直線方程為由直線方程與橢圓方程聯(lián)立得設，為方程兩根，所以，從而法2利用橢圓的定義及余弦定理求解由題意可知橢圓方程為，設，則，在中，即；所以同理在中，用余弦定理得，所以法3利用焦半徑求解先根據直線與橢圓聯(lián)立的方程求出方程的兩根，它們分別是，的橫坐標再根據焦半徑，從而求出說明：對于直線與橢圓的位置關系有相交、相切、相離，判斷直線與橢圓的位置關系，可以利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立，看聯(lián)立后方程解的個數：，無解則相離；，一解則相切；，兩

11、解則相交直線與橢圓相交就有直線與橢圓相交弦問題，直線與橢圓的兩交點之間的線段叫做直線與橢圓相交弦典型例題十四例14已知圓，從這個圓上任意一點向軸作垂線段，求線段中點的軌跡分析：本題是已知一些軌跡，求動點軌跡問題這種題目一般利用中間變量相關點求軌跡方程或軌跡解：設點的坐標為，點的坐標為，則，因為在圓上，所以將，代入方程得所以點的軌跡是一個橢圓說明：此題是利用相關點法求軌跡方程的方法，這種方法具體做法如下：首先設動點的坐標為，設已知軌跡上的點的坐標為，然后根據題目要求，使，與，建立等式關系，從而由這些等式關系求出和代入已知的軌跡方程，就可以求出關于，的方程，化簡后即我們所求的方程這種方法是求軌跡方

12、程的最基本的方法，必須掌握這種題目還要注意題目的問法，是求“軌跡”還是求“軌跡方程”若求軌跡方程，只要求出關于，的關系化簡即可；若求軌跡，當求出軌跡方程后，還要說明由這種方程所確定的軌跡是什么這在審題時要注意典型例題十五例15橢圓上的點到焦點的距離為2，為的中點，則（為坐標原點）的值為A4B2C8D解：如圖所示，設橢圓的另一個焦點為，由橢圓第一定義得，所以，又因為為的中位線，所以，故答案為A說明：1橢圓定義：平面內與兩定點的距離之和等于常數（大于）的點的軌跡叫做橢圓2橢圓上的點必定適合橢圓的這一定義，即，利用這個等式可以解決橢圓上的點與焦點的有關距離典型例題十六例16已知橢圓，試確定的取值范圍

13、，使得對于直線，橢圓上有不同的兩點關于該直線對稱分析：若設橢圓上，兩點關于直線對稱，則已知條件等價于：1直線；2弦的中點在上利用上述條件建立的不等式即可求得的取值范圍解：法1設橢圓上，兩點關于直線對稱，直線與交于點的斜率，設直線的方程為由方程組消去得于是，即點的坐標為點在直線上，解得將式代入式得，是橢圓上的兩點，解得法2同解法1得出，即點坐標為，為橢圓上的兩點，點在橢圓的內部，解得法3設，是橢圓上關于對稱的兩點，直線與的交點的坐標為，在橢圓上，兩式相減得，即又直線，即又點在直線上，由，得點的坐標為以下同解法2說明：涉及橢圓上兩點，關于直線恒對稱，求有關參數的取值范圍問題，可以采用以下方法列參數

14、滿足的不等式：1利用直線與橢圓恒有兩個交點，通過直線方程與橢圓方程組成的方程組，消元后得到的一元二次方程的判別式，建立參數方程2利用弦的中點在橢圓內部，滿足不等式，將，利用參數表示，建立參數不等式典型例題十七例17在面積為1的中，建立適當的坐標系，求出以、為焦點且過點的橢圓方程分析：本題考查用待定系數法求橢圓方程及適當坐標系的建立通過適當坐標系的建立，選擇相應橢圓方程，再待定系數適當坐標系的建立能達到簡化問題的目的解：以的中點為原點，所在直線為軸建立直角坐標系，設則即，得所求橢圓方程為說明：適當坐標系的建立是處理好橢圓應用問題的關鍵建立適當坐標系，需對題設所給圖形進行觀察、分析，做好數與形的結合，本題也可以以的中點為原點，所在直線為軸建立直角坐標系，再求橢圓方程典型例題十八例18已知是直線被橢圓所截得的線段的中點，求直線的方程分析：本題考查直線與橢圓的位置關系問題通常將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去或，得到關于或的一元二次方程，再由根與系數的關系，直接求出，或，的值代入計算即得并不需要求出直線與橢圓的交點坐標，這種“設而不求”的方法，在解析幾何中是經常采用的本題涉及到直線被橢圓截得弦的中點問題，也可采用點差法或中點坐標公式，運算會更為簡便解：