抽樣技術(shù)-第三章

1、2022/10/171第三章 分層隨機(jī)抽樣 3.1 概述3.2 簡(jiǎn)單估計(jì)量及其性質(zhì)3.3 比率估計(jì)量及其性質(zhì)3.4 回歸估計(jì)量及其性質(zhì)3.5 各層樣本量的分配3.6 總樣本量的確定3.7 分層抽樣的其他方面2020-02-082第一節(jié)概概述述2020-02-083定義3.3分層隨機(jī)抽抽樣（stratified randomsampling）：如果每層中中的抽樣樣都是獨(dú)獨(dú)立地按按照簡(jiǎn)單單隨機(jī)抽抽樣進(jìn)行行的，那那么這樣樣的分層層抽樣稱稱為分層層隨機(jī)抽抽樣，所所得的樣樣本稱為為分層隨隨機(jī)樣本本（stratified randomsample）。2020-02-0842020-02-085二、作用由于

2、每層層都進(jìn)行行抽樣，這就可可使樣本本在總體體中分布布更加均均勻，從從而具有有更好的的代表性性。由于抽樣樣在每一一層中獨(dú)獨(dú)立進(jìn)行行，所以以一者允允許各層層選擇不不同的適適合本層層的抽樣樣方法，二則可可同時(shí)對(duì)對(duì)各子總總體（層層）進(jìn)行行參數(shù)估估計(jì)，而而不單是是對(duì)整個(gè)個(gè)總體的的參數(shù)進(jìn)進(jìn)行估計(jì)計(jì)。由于各層層的總體體方差因因單元之之間差異異小而肯肯定小于于整個(gè)總總體的方方差，而而抽樣精精度與此此成正比比，所以以分層抽抽樣可以以提高參參數(shù)估計(jì)計(jì)的精度度。三、符號(hào)號(hào)2020-02-086所有總體體參數(shù)的的估計(jì)量量都采用用下標(biāo)“st”以示區(qū)區(qū)別：2020-02-0872020-02-088第二節(jié)簡(jiǎn)單估計(jì)計(jì)量及其

3、其性質(zhì)一、對(duì)總總體均值值的估計(jì)計(jì)分層樣本本，總體均值值的估計(jì)分層隨機(jī)機(jī)樣本，總體均值值的簡(jiǎn)單估估計(jì)2020-02-089估計(jì)量的的性質(zhì)性質(zhì)1&2：對(duì)于一般般的分層層抽樣，如果是是的的無(wú)偏估估計(jì)（），則則是是的的無(wú)偏偏估計(jì)。的方差為：只要對(duì)各各層估計(jì)計(jì)無(wú)偏，則總體體估計(jì)也也無(wú)偏。各層可以以采用不不同的抽抽樣方法法，只要要相應(yīng)的的估計(jì)量量是無(wú)偏偏的，則則對(duì)總體體的推算算也是無(wú)無(wú)偏的。2020-02-0810證明性質(zhì)質(zhì)1由于對(duì)每每一層有有因此，估計(jì)量的方方差由于各層層是獨(dú)立立抽取的的，因此此上式第第二項(xiàng)中中的協(xié)方方差全為0，從而有有2020-02-0811性質(zhì)3：對(duì)于分層層隨機(jī)抽抽樣，是是的無(wú)偏估估

4、計(jì)，的的方差為為：2020-02-0812證明性質(zhì)3：對(duì)于分層層隨機(jī)抽抽樣，各各層獨(dú)立立進(jìn)行簡(jiǎn)簡(jiǎn)單隨機(jī)機(jī)抽樣，對(duì)每一一層有因此，由由性質(zhì)1，有由第二章章性質(zhì)2，得因此2020-02-0813性質(zhì)4：對(duì)于分層層隨機(jī)抽抽樣，的的一個(gè)個(gè)無(wú)偏估估計(jì)為：2020-02-0814證明性質(zhì)4：對(duì)于分層層隨機(jī)抽抽樣，各各層獨(dú)立立進(jìn)行簡(jiǎn)簡(jiǎn)單隨機(jī)機(jī)抽樣，由第二二章性質(zhì)質(zhì)3,得的的無(wú)偏估計(jì)計(jì)為：因此，的的一個(gè)無(wú)無(wú)偏估計(jì)計(jì)為：2020-02-0815二、對(duì)總總體總量量的估計(jì)計(jì)總體總量量的估計(jì)為為：如果得到到的是分分層隨機(jī)機(jī)樣本，則總體體總量的的簡(jiǎn)單估估計(jì)為：2020-02-08162.估計(jì)量的的性質(zhì)性質(zhì)1：對(duì)于一般般

5、的分層層抽樣，如果是的的無(wú)無(wú)偏估計(jì)計(jì)，則是是的的無(wú)偏偏估計(jì)。的的方差為為：2020-02-0817性質(zhì)2：對(duì)于分層層隨機(jī)抽抽樣，的的方差為為：2020-02-0818性質(zhì)3：對(duì)于分層層隨機(jī)抽抽樣，的的一個(gè)個(gè)無(wú)偏估估計(jì)為：2020-02-0819例3.1調(diào)查某地地區(qū)的居居民奶制制品年消消費(fèi)支出出，以居居民戶為為抽樣單單元，根根據(jù)經(jīng)濟(jì)濟(jì)及收入入水平將將居民戶戶劃分為為4層，每層層按簡(jiǎn)單單隨機(jī)抽抽樣抽取取10戶，調(diào)查查獲得如如下數(shù)據(jù)據(jù)（單位位：元），要估估計(jì)該地地區(qū)居民民奶制品品年消費(fèi)費(fèi)總支出及其95%的置信區(qū)區(qū)間。層居民戶總數(shù)樣本戶奶制品年消費(fèi)支出1234567891012001040011015

6、1040809002400501306080100551608516017037501802601100140602001803002204150050351502030251030252020-02-0820同理，求求得：2020-02-08212020-02-0822三、對(duì)總總體比例例的估計(jì)計(jì)總體比例例P的估計(jì)為為：估計(jì)量的的性質(zhì)性質(zhì)1：對(duì)于一般般的分層層抽樣，如果是是的的無(wú)無(wú)偏估計(jì)計(jì)（），則則是是的的無(wú)偏偏估計(jì)。的的方方差為：2020-02-0823性質(zhì)2：對(duì)于分層層隨機(jī)抽抽樣，是是的的無(wú)偏估估計(jì)，因而的的方差為為：2020-02-0824性質(zhì)3：對(duì)于分層層隨機(jī)抽抽樣，的的一個(gè)個(gè)無(wú)偏估估

7、計(jì)為：第三節(jié)比比率估估計(jì)量及及其性質(zhì)質(zhì)先“比”后“加加權(quán)”，此時(shí)所所得的估估計(jì)量稱稱為分別別比估計(jì)計(jì)（separateratioestimator）先 “加加權(quán)”后后“比”，這樣樣所得的的估計(jì)量量稱為聯(lián)聯(lián)合比估估計(jì)（combinedratioestimator）2020-02-0825分別比估估計(jì)定義3.4總體均值值和總體總總量的分別比比估計(jì)為為：2020-02-0826定理3.5對(duì)于分層層隨機(jī)抽抽樣的分分別比估估計(jì)，若若各層的的樣本量量都比較大大，則有有2020-02-0827證明根據(jù)比估估計(jì)量的的性質(zhì)，當(dāng)比較大時(shí)時(shí)，有2020-02-0828聯(lián)合比估估計(jì)2020-02-08292020-0

8、2-0830分別比估估計(jì)與聯(lián)聯(lián)合比估估計(jì)的比比較2020-02-08311）當(dāng)，即或或分別比估估計(jì)的精精度與聯(lián)聯(lián)合比估估計(jì)的精精度是一一樣的。2)當(dāng)，即，分別比估估計(jì)的精精度不低低于聯(lián)合合比估計(jì)計(jì)的精度度。3）當(dāng)且且，這意味味著分別別比估計(jì)計(jì)的精度度要高于于聯(lián)合比比估計(jì)的的精度。2020-02-08324）當(dāng)且且，或且且，聯(lián)合比估估計(jì)的精精度要高高于分別別比估計(jì)計(jì)的精度度。5）當(dāng)，即比比估計(jì)量量的方差差小于簡(jiǎn)簡(jiǎn)單估計(jì)計(jì)量的方方差時(shí)，需視具具體情況況而定。 2020-02-0833第四節(jié)回歸估計(jì)計(jì)量及其其性質(zhì)與比估計(jì)計(jì)相似，將回歸估估計(jì)的思思想與技技術(shù)用于于分層隨隨機(jī)樣本本時(shí)，同樣有兩兩種可行行

9、的辦法法:先“回歸歸”后“加權(quán)”,此時(shí)所得得的估計(jì)計(jì)量稱為為分別回歸歸估計(jì)；先“加權(quán)權(quán)”后“回歸”,這時(shí)所得得的估計(jì)計(jì)量稱為為聯(lián)合回歸歸估計(jì)3.4.1分別回歸歸估計(jì)定義3.6分別回歸歸估計(jì)是指在分分層隨機(jī)機(jī)抽樣中中,先在每層層中對(duì)層層均值或或?qū)涌偤秃妥龌貧w歸估計(jì),然后再對(duì)對(duì)各層的的回歸估估計(jì)按總總體層權(quán)權(quán)進(jìn)行加加權(quán)平均均。1.各層的回回歸系數(shù)數(shù)h事先給定定2.不能事先先設(shè)定各各層的回回歸系數(shù)數(shù)h3.4.2聯(lián)合回歸歸估計(jì)1.當(dāng)為事事先設(shè)定定的常數(shù)數(shù)時(shí)2.當(dāng)回歸系系數(shù)不不能事先先設(shè)定時(shí)時(shí)3.4.3分別回歸歸估計(jì)與與聯(lián)合回回歸估計(jì)計(jì)的比較較經(jīng)化簡(jiǎn)得得：例3.3已知某公公司一般般職員(包括辦事事員和保

10、保管人員員)及高級(jí)管管理(經(jīng)理)人員剛進(jìn)進(jìn)入公司司時(shí)的工工資總額額,欲通過(guò)抽抽樣調(diào)查查估計(jì)當(dāng)當(dāng)前該公公司職員員的工資資總額Y。抽樣按按照一般般職員層層與高管管層進(jìn)行行分層隨隨機(jī)抽取取。一般般職員層層抽取n1=15名職員,高管層抽抽取n2=10名職員。同時(shí)還還知道一一般職員員層人員員總數(shù)N1=390名,該類職員員進(jìn)入公公司時(shí)工工資總額額為X1=5523965元;高管層人人員總數(shù)數(shù)N2=84名,該類職員員進(jìn)入公公司時(shí)工工資總額額為X2=2541660元。經(jīng)過(guò)過(guò)分層隨隨機(jī)抽樣樣調(diào)查所所得的數(shù)數(shù)據(jù)如表表35所示。請(qǐng)請(qǐng)對(duì)上述述數(shù)據(jù)分分別按照照分別比比估計(jì)、聯(lián)合比比估計(jì)、分別回回歸估計(jì)計(jì)、聯(lián)合合回歸估估計(jì)

11、以及及差估計(jì)計(jì)方法對(duì)對(duì)該公司司當(dāng)前職職員工資資總額Y做出估計(jì)計(jì),同時(shí)計(jì)算算出各個(gè)個(gè)估計(jì)量量的精度度。五種估計(jì)計(jì)方法結(jié)果比較較注意：此時(shí)的比比估計(jì)和和回歸估估計(jì)(回歸系數(shù)數(shù)采用樣樣本回歸歸系數(shù)進(jìn)進(jìn)行估計(jì)計(jì))均為有偏估計(jì)，并且考慮慮到各層層的樣本本量都不不大，回歸估計(jì)計(jì)的偏倚倚有可能能更大，所以此時(shí)時(shí)采用比比估計(jì)，特別是聯(lián)聯(lián)合比估估計(jì)會(huì)更更保險(xiǎn)。而差估計(jì)計(jì)雖然標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差相相對(duì)較大大，但它卻是是無(wú)偏的，均方誤差差并不一一定大，所以仍然然有采用用的價(jià)值值。3.4.4比率估計(jì)計(jì)與回歸歸估計(jì)小小結(jié)在分層隨隨機(jī)抽樣樣中，當(dāng)輔助變量量可加以以利用時(shí)時(shí)，為了提高估計(jì)計(jì)量的精精度，可以采用用分別比估估計(jì)、聯(lián)聯(lián)合比估

12、估計(jì)、分分別回歸歸估計(jì)以以及聯(lián)合合回歸估估計(jì)等估計(jì)方方法。在比估計(jì)中，當(dāng)各層樣樣本量都都較大時(shí)時(shí)，分別比估估計(jì)與聯(lián)聯(lián)合比估估計(jì)近似似無(wú)偏；當(dāng)某些層層的樣本本量不夠夠大，而總樣本本量較大大時(shí),聯(lián)合比估估計(jì)近似似無(wú)偏。在回歸估計(jì)計(jì)中，少數(shù)情況況下，回歸系數(shù)數(shù)可以是是事先設(shè)設(shè)定的常常數(shù),其估計(jì)量量無(wú)偏；多數(shù)情況況下，回歸系數(shù)數(shù)需利用用樣本回回歸系數(shù)數(shù)進(jìn)行估估計(jì)，其估計(jì)有有偏，但在大樣樣本的情情況下近近似無(wú)偏偏。當(dāng)Y與X高度相關(guān)關(guān)時(shí),分別比估估計(jì)、聯(lián)聯(lián)合比估估計(jì)、分分別回歸歸估計(jì)以以及聯(lián)合合回歸估估計(jì)等估估計(jì)等產(chǎn)產(chǎn)生的估估計(jì)量都是有效效的。選擇估計(jì)計(jì)方法，大致需遵遵循的原原則在選擇估估計(jì)方法法時(shí),大致

13、需遵遵循下面面的原則則:(1)由于分別別估計(jì)(無(wú)論是分分別比估估計(jì)還是是分別回回歸估計(jì)計(jì))要求各層層的樣本本量都比比較大,所以當(dāng)某某些層的的樣本量量不夠大大時(shí),建議采用用聯(lián)合估估計(jì)(2)當(dāng)回歸系系數(shù)需要要由樣本本進(jìn)行估估計(jì)時(shí)，回歸估計(jì)計(jì)量是有有偏的。在這種情情況下，采取比估估計(jì)尤其其是聯(lián)合合比估計(jì)計(jì)也許更更保險(xiǎn)(3)如果各層層的樣本本量都比比較大,同時(shí)每層層的比估估計(jì)或回回歸估計(jì)計(jì)也比較較有效（即h均比較大大）,而且各層層的Rh之間（或h之間）差異較大大,則此時(shí)分分別估計(jì)計(jì)優(yōu)于聯(lián)聯(lián)合估計(jì)計(jì),估計(jì)量的的方差更更小(4)如果各層層的樣本本量不大大,而且各層層的Rh之間(或h之間)差異較小小,則采用

14、聯(lián)聯(lián)合估計(jì)計(jì)較為適適宜(5)如果各層層的Rh之間(或h之間)差別不是是太大,而且并不不是每層層的樣本本量都相相當(dāng)大,則聯(lián)合估估計(jì)可能能更保險(xiǎn)險(xiǎn)一些如果各層層的回歸歸系數(shù)都都接近于于1,則可以采采用差估估計(jì)。雖雖然有時(shí)時(shí)差估計(jì)計(jì)量的方方差偏大大,但由于它它為無(wú)偏偏估計(jì)量量,所以總的的均方誤誤差不一一定大2020-02-0861第五節(jié)各各層層樣本量量的分配確定樣本本量：總總的樣本本量，各各層樣本本量估計(jì)量的的方差不不僅與各各層的方方差有關(guān)關(guān)，還和和各層所所分配的的樣本量量有關(guān)。實(shí)際工作作中有不不同的分分配方法法，可以以按各層層單元數(shù)數(shù)占總體體單元數(shù)數(shù)的比例例分配，也可以以采用使使估計(jì)量量總方差差達(dá)

15、到最最小、費(fèi)費(fèi)用最小小。2020-02-08622020-02-0863一、比例例分配按各層單單元數(shù)占占總體單單元數(shù)的的比例，也就是是按各層層的層權(quán)權(quán)進(jìn)行分分配.對(duì)于分層層隨機(jī)抽抽樣，這這時(shí)總體體均值的的估計(jì)是是自加權(quán)2020-02-0864總體中的的任一個(gè)個(gè)單元，不管它它在哪一一個(gè)層，都以同同樣的概概率入樣樣，因此此按比例例分配的的分層隨隨機(jī)樣本本，估計(jì)計(jì)量的形形式特別別簡(jiǎn)單。這種樣樣本也稱稱為自加加權(quán)的樣樣本?？傮w比例例的估計(jì)計(jì)是2020-02-0865二、最優(yōu)優(yōu)分配（一）最最優(yōu)分配配在分層隨隨機(jī)抽樣樣中，如如何將樣樣本量分分配到各各層，使使得總費(fèi)費(fèi)用給定定的條件件下，估估計(jì)量的的方差達(dá)達(dá)

16、到最小小，或給給定估計(jì)計(jì)量方差差的條件件下，使使總費(fèi)用用最小，能滿足足這個(gè)條條件的樣樣本量分分配就是是最優(yōu)分分配。2020-02-08662020-02-08672020-02-0868定理3.7的證明對(duì)所有層層成立時(shí)時(shí)，達(dá)達(dá)到到極小常數(shù)2020-02-0869簡(jiǎn)單線性性費(fèi)用函函數(shù)，總總費(fèi)用由此得出出下面的的行為準(zhǔn)準(zhǔn)則，如如果某一一層單元數(shù)較較多內(nèi)部差異異較大費(fèi)用比較較省則對(duì)這一一層的樣樣本量要要多分配配一些。2020-02-0870三Neyman（內(nèi)曼）最優(yōu)分分配如果每層層抽樣的的費(fèi)用相相同，最最優(yōu)分配配可簡(jiǎn)化化為這種分配配稱為Neyman分配。這這時(shí)，達(dá)到最小小。2020-02-0871例

17、3.4某市有甲甲、乙兩兩個(gè)地區(qū)區(qū),現(xiàn)要進(jìn)行行家庭收收入的調(diào)調(diào)查。令令n=500,已知甲地地區(qū)共有有20000戶居民,乙地區(qū)共共有50000戶居民;甲地居民民和乙地地居民年年收入標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差估估計(jì)分別別為S1=2500,S2=2000;同時(shí)對(duì)甲甲地和乙乙地每戶戶的平均均抽樣費(fèi)費(fèi)用之比比為23,請(qǐng)分別計(jì)計(jì)算出在在甲地和和乙地進(jìn)進(jìn)行比例例分配、一般最最優(yōu)分配配(考慮費(fèi)用用因素)以及內(nèi)曼曼分配(不考慮費(fèi)費(fèi)用因素素)的樣本量量。2020-02-08722020-02-08732020-02-0874四、某些些層要求大大于100%抽樣時(shí)的的修正按最優(yōu)分分配時(shí)，有時(shí)抽樣比f(wàn)較大，某某個(gè)層的的又又比較較大，則可能

18、出出現(xiàn)按最最優(yōu)分配配計(jì)算的的這個(gè)層層的樣本本量超超過(guò)的的情情況。實(shí)際工作作中，如如果第k層出現(xiàn)這這種情況況，最優(yōu)優(yōu)分配是是對(duì)這個(gè)個(gè)層進(jìn)行行100%的抽樣，即取，然后后，將剩剩下的樣樣本量按按最最優(yōu)分配配分到各各層。五、偏離最優(yōu)優(yōu)分配時(shí)時(shí)對(duì)精度度的影響響2020-02-0875例3.62020-02-08762020-02-08772020-02-0878第六節(jié)總總樣樣本量的確定令當(dāng)方差給給定時(shí)時(shí)2020-02-0879當(dāng)按比例例分配時(shí)時(shí)，實(shí)際工作作中，n的計(jì)算可可以分為為兩步，先計(jì)算算：然后進(jìn)行行修正：2020-02-0880當(dāng)按Neyman分配時(shí)，2020-02-08812、精度要求求是以的

19、絕對(duì)誤誤差限d(在給定的的置信水水平1-下)的形式給給出的2020-02-08822020-02-08833.精度要求求以的相對(duì)誤誤差限r(nóng)(在給定的的置信水水平1-下)的形式給給出2020-02-08842020-02-0885例3.72020-02-08862020-02-08872020-02-08882020-02-0889二、總費(fèi)用給給定時(shí)總總樣本量量的確定定給定V時(shí)2020-02-0890給定C時(shí)2020-02-0891第七節(jié)分層抽樣樣的其他他方面一、多重分層層定義當(dāng)調(diào)查指指標(biāo)與與兩個(gè)或或多個(gè)輔輔助變量量x1,x2,都存在在相關(guān)關(guān)關(guān)系時(shí),為了提高高分層的的效益,需要按每每一個(gè)輔輔助變

20、量量進(jìn)行分分層,通常的做做法是先先按最主主要的變變量分成成大層,在大層中中再按第第二主要要變量分分成子層層,從而形成成交叉分分層。當(dāng)當(dāng)存在多多個(gè)分層層變量時(shí)時(shí),這種分層層方式即即稱為多多重分層層(multiplestratification)。對(duì)于多重重分層,當(dāng)“子層層”劃分分好以后后,就要考慮慮樣本量在在各子層層的分配配問(wèn)題。最簡(jiǎn)簡(jiǎn)單常用用的樣本本量分配配方法是是按照與與每一子子層大小小成比例例的原則則進(jìn)行分分配。在多重分分層中,有時(shí)會(huì)出出現(xiàn)這樣樣一個(gè)問(wèn)問(wèn)題:當(dāng)總樣本本量n相對(duì)于子子層總數(shù)數(shù)RC不夠大時(shí)時(shí),會(huì)出現(xiàn)某某些子層層分配不不到樣本本的情況況。若nmax(R,C),則此時(shí)應(yīng)應(yīng)當(dāng)考慮慮重新確確定分層層變量或或者不采采用分層層抽樣,否則這種種分層的的效益是是很難保保證的。若nRC,同時(shí)還滿滿足nmax(R,C),就可以考考慮用試試驗(yàn)設(shè)計(jì)計(jì)的思想想來(lái)進(jìn)行行樣本量量的分配配。2020-02-08922020-02-