(新高考)高考數(shù)學一輪復習講與練第5章§5.5《復　數(shù)》(含詳解)

1、5.5復數(shù)考試要求1.通過方程的解，認識復數(shù).2.理解復數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個復數(shù)相等的含義.3.掌握復數(shù)的四則運算，了解復數(shù)加、減運算的幾何意義知識梳理1復數(shù)的有關(guān)概念(1)復數(shù)的定義：形如abi(a，bR)的數(shù)叫做復數(shù)，其中a是實部，b是虛部，i為虛數(shù)單位(2)復數(shù)的分類：復數(shù)zabi(a，bR)eq blcrc (avs4alco1(實數(shù)b0，,虛數(shù)b0其中，當a0時為純虛數(shù).)(3)復數(shù)相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR)(4)共軛復數(shù)：abi與cdi互為共軛復數(shù)ac，bd(a，b，c，dR)(5)復數(shù)的模：向量eq o(OZ,sup6()的模叫做復數(shù)zabi的

2、?；蚪^對值，記作|abi|或|z|，即|z|abi|eq r(a2b2)(a，bR)2復數(shù)的幾何意義(1)復數(shù)zabi(a，bR)復平面內(nèi)的點Z(a，b)(2)復數(shù)zabi(a，bR)平面向量eq o(OZ,sup6().3復數(shù)的四則運算(1)復數(shù)的加、減、乘、除運算法則：設z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，則加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；減法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；除法：eq f(z1,z2)eq f(abi,cdi)eq f(abicdi,cdicdi)eq f(acb

3、d,c2d2)eq f(bcad,c2d2)i(cdi0)(2)幾何意義：復數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進行如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復數(shù)加、減法的幾何意義，即eq o(OZ,sup6()eq o(OZ1,sup6()eq o(OZ2,sup6()，eq o(Z1Z2,sup6()eq o(OZ2,sup6()eq o(OZ1,sup6().常用結(jié)論1(1i)22i；eq f(1i,1i)i；eq f(1i,1i)i.2baii(abi)(a，bR)3i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN)4i4ni4n1i4n2i4n30(nN)5復數(shù)z的方程

4、在復平面上表示的圖形(1)a|z|b表示以原點O為圓心，以a和b為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)；(2)|z(abi)|r(r0)表示以(a，b)為圓心，r為半徑的圓思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)復數(shù)zabi(a，bR)中，虛部為b.()(2)復數(shù)可以比較大小()(3)已知zabi(a，bR)，當a0時，復數(shù)z為純虛數(shù)()(4)復數(shù)的模實質(zhì)上就是復平面內(nèi)復數(shù)對應的點到原點的距離，也就是復數(shù)對應的向量的模()教材改編題1已知復數(shù)z滿足(2i)z1i，其中i是虛數(shù)單位，則z在復平面內(nèi)對應的點位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案D2復數(shù)z(3i)(14i)，則

5、復數(shù)z的實部與虛部之和是_答案4解析z(3i)(14i)312ii4711i，故實部和虛部之和為7114.3若z(m2m6)(m2)i為純虛數(shù)，則實數(shù)m的值為_答案3題型一復數(shù)的概念例1(1)(2021浙江)已知aR，(1ai)i3i(i為虛數(shù)單位)，則a等于()A1 B1 C3 D3答案C解析方法一因為(1ai)iai3i，所以a3，解得a3.方法二因為(1ai)i3i，所以1aieq f(3i,i)13i，所以a3.(2)(2022新余模擬)若復數(shù)z滿足eq f(z1ii3,2i)1i，則復數(shù)eq xto(z)的虛部為()Ai Bi C1 D1答案C解析eq f(z1ii3,2i)1i，z

6、(1i)(i)(2i)(1i)，z(1i)(2i)(1i)，z2i，eq xto(z)2i，eq xto(z)的虛部為1.教師備選1(2020全國)若eq xto(z)(1i)1i，則z等于()A1i B1i Ci Di答案D解析因為eq xto(z)eq f(1i,1i)eq f(1i2,1i1i)i，所以zi.2(2020全國)若z1i，則|z22z|等于()A0 B1 C.eq r(2) D2答案D解析方法一z22z(1i)22(1i)2，|z22z|2|2.方法二|z22z|(1i)22(1i)|(1i)(1i)|1i|1i|2.思維升華解決復數(shù)概念問題的方法及注意事項(1)復數(shù)的分類

7、及對應點的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復數(shù)的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可(2)解題時一定要先看復數(shù)是否為abi(a，bR)的形式，以確定實部和虛部跟蹤訓練1(1)(2022衡水中學模擬)已知eq f(x,1i)1yi，其中x，y是實數(shù)，i是虛數(shù)單位，則xyi的共軛復數(shù)為()A2i B2iC12i D12i答案B解析由eq f(x,1i)1yi，得eq f(x1i,1i1i)1yi，即eq f(x,2)eq f(x,2)i1yi，eq blcrc (avs4alco1(f(x,2)1，,f(x,2)y，)解得x2，y1，xyi2i，其共軛

8、復數(shù)為2i.(2)已知z13i，則|eq xto(z)i|_.答案eq r(5)解析z13i，eq xto(z)13i，eq xto(z)i13ii12i，|eq xto(z)i|eq r(1222)eq r(5).題型二復數(shù)的四則運算例2(1)(2021新高考全國)已知z2i，則z(eq xto(z)i)等于()A62i B42iC62i D42i答案C解析因為z2i，所以z(eq xto(z)i)(2i)(22i)62i.(2)(多選)設z1，z2，z3為復數(shù)，z10.下列命題中正確的是()A若|z2|z3|，則z2z3B若z1z2z1z3，則z2z3C若eq xto(z)2z3，則|z1

9、z2|z1z3|D若z1z2|z1|2，則z1z2答案BC解析由|i|1|，知A錯誤；z1z2z1z3，則z1(z2z3)0，又z10，所以z2z3，故B正確；|z1z2|z1|z2|，|z1z3|z1|z3|，又eq xto(z)2z3，所以|z2|eq xto(z)2|z3|，故C正確，令z1i，z2i，滿足z1z2|z1|2，不滿足z1z2，故D錯誤教師備選1(2020新高考全國)eq f(2i,12i)等于()A1 B1 Ci Di答案D解析eq f(2i,12i)eq f(2i12i,12i12i)eq f(5i,5)i.2在數(shù)學中，記表達式adbc為由eq blc|rc|(avs4

10、alco1(ab,cd)所確定的二階行列式若在復數(shù)域內(nèi)，z11i，z2eq f(2i,1i)，z3eq xto(z)2，則當eq blc|rc|(avs4alco1(z1z2,z3z4)eq f(1,2)i時，z4的虛部為_答案2解析依題意知，eq blc|rc|(avs4alco1(z1z2,z3z4)z1z4z2z3，因為z3eq xto(z)2，且z2eq f(2i,1i)eq f(2i1i,2)eq f(13i,2)，所以z2z3|z2|2eq f(5,2)，因此有(1i)z4eq f(5,2)eq f(1,2)i，即(1i)z43i，故z4eq f(3i,1i)eq f(3i1i,2

11、)12i.所以z4的虛部是2.思維升華(1)復數(shù)的乘法：復數(shù)乘法類似于多項式的乘法運算(2)復數(shù)的除法：除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數(shù)跟蹤訓練2(1)(2021全國乙卷)設iz43i，則z等于()A34i B34i C34i D34i答案C解析方法一(轉(zhuǎn)化為復數(shù)除法運算)因為iz43i，所以zeq f(43i,i)eq f(43ii,ii)eq f(4i3i2,i2)34i.方法二(利用復數(shù)的代數(shù)形式)設zabi(a，bR)，則由iz43i，可得i(abi)43i，即bai43i，所以eq blcrc (avs4alco1(b4，,a3，)即eq blcrc (avs4alco1(a

12、3，,b4，)所以z34i.方法三(巧用同乘技巧)因為iz43i，所以izi(43i)i，所以z4i3，所以z34i.(2)若zeq f(i2 023,1i)，則|z|_；zeq xto(z)_.答案eq f(r(2),2)1解析zeq f(i2 023,1i)eq f(i,1i)eq f(1i,2)，|z|eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2)eq f(r(2),2)，zeq xto(z)eq f(1,2)eq f(1,2)ieq f(1,2)eq f(1,2)i1.題型三復數(shù)的幾何意義例3(1)(2021新高考全國)

13、復數(shù)eq f(2i,13i)在復平面內(nèi)對應的點所在的象限為()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案A解析eq f(2i,13i)eq f(2i13i,10)eq f(55i,10)eq f(1i,2)，所以該復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)，該點在第一象限(2)(2020全國)設復數(shù)z1，z2滿足|z1|z2|2，z1z2eq r(3)i，則|z1z2|_.答案2eq r(3)解析方法一設z1z2abi，a，bR，因為z1z2eq r(3)i，所以2z1(eq r(3)a)(1b)i，2z2(eq r(3)a)(1b)i.

14、因為|z1|z2|2，所以|2z1|2z2|4，所以eq r(r(3)a21b2)4，eq r(r(3)a21b2)4，22，得a2b212.所以|z1z2|eq r(a2b2)2eq r(3).方法二設復數(shù)z1，z2在復平面內(nèi)分別對應向量eq o(OA,sup6()，eq o(OB,sup6()，則z1z2對應向量eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6().由題意知|eq o(OA,sup6()|eq o(OB,sup6()|eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()|2，如圖所示，以OA，OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則z1z2對應向量eq o(BA,sup6

15、()，且|eq o(OA,sup6()|eq o(AC,sup6()|eq o(OC,sup6()|2，可得|eq o(BA,sup6()|2|eq o(OA,sup6()|sin 602eq r(3).故|z1z2|eq o(BA,sup6()|2eq r(3).教師備選1(2020北京)在復平面內(nèi)，復數(shù)z對應的點的坐標是(1,2)，則iz等于()A12i B2i C12i D2i答案B解析由題意知，z12i，izi(12i)2i.2(2019全國)設復數(shù)z滿足|zi|1，z在復平面內(nèi)對應的點為(x，y)，則()A(x1)2y21 B(x1)2y21Cx2(y1)21 Dx2(y1)21答案

16、C解析z在復平面內(nèi)對應的點為(x，y)，zxyi(x，yR)|zi|1，|x(y1)i|1，x2(y1)21.思維升華由于復數(shù)、點、向量之間建立了一一對應的關(guān)系，因此可把復數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時可運用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀跟蹤訓練3(1)如圖，若向量eq o(OZ,sup6()對應的復數(shù)為z，則zeq f(4,z)表示的復數(shù)為()A13i B3iC3i D3i答案D解析由題圖可得Z(1，1)，即z1i，所以zeq f(4,z)1ieq f(4,1i)1ieq f(41i,1i1i)1ieq f(44i,2)1i22i3i.(2)設復數(shù)z滿足條件|z|1，那么|z2e

17、q r(2)i|的最大值是()A3 B2eq r(3)C12eq r(2) D4答案D解析|z|1表示單位圓上的點，那么|z2eq r(2)i|表示單位圓上的點到點(2eq r(2)，1)的距離，求最大值轉(zhuǎn)化為點(2eq r(2)，1)到原點的距離加上圓的半徑因為點(2eq r(2)，1)到原點的距離為3，所以所求最大值為4.在如圖的復平面中，req r(a2b2)，cos eq f(a,r)，sin eq f(b,r)，tan eq f(b,a)(a0)任何一個復數(shù)zabi都可以表示成zr(cos isin )的形式其中，r是復數(shù)z的模；是以x軸的非負半軸為始邊，向量eq o(OZ,sup6

18、()所在射線(射線OZ)為終邊的角，叫做復數(shù)zabi的輻角我們把r(cos isin )叫做復數(shù)的三角形式對應于復數(shù)的三角形式，把zabi叫做復數(shù)的代數(shù)形式復數(shù)乘、除運算的三角表示：已知復數(shù)z1r1(cos 1isin 1)，z2r2(cos 2isin 2)，則z1z2r1r2cos(12)isin(12)eq f(z1,z2)eq f(r1,r2)cos(12)isin(12)例1(1)eq blc(rc)(avs4alco1(cos f(,2)isin f(,2)3eq blc(rc)(avs4alco1(cos f(,6)isin f(,6)等于()A.eq f(3,2)eq f(3r

19、(3),2)i B.eq f(3,2)eq f(3r(3),2)iCeq f(3,2)eq f(3r(3),2)i Deq f(3,2)eq f(3r(3),2)i答案C解析eq blc(rc)(avs4alco1(cos f(,2)isin f(,2)3eq blc(rc)(avs4alco1(cos f(,6)isin f(,6)3eq blcrc(avs4alco1(cosblc(rc)(avs4alco1(f(,2)f(,6)isinblc(rc)(avs4alco1(f(,2)f(,6)3eq blc(rc)(avs4alco1(cos f(2,3)isin f(2,3)eq f(3

20、,2)eq f(3r(3),2)i.(2)(多選)把復數(shù)z1與z2對應的向量eq o(OA,sup6()，eq o(OB,sup6()分別按逆時針方向旋轉(zhuǎn)eq f(,4)和eq f(5,3)后，重合于向量eq o(OM,sup6()且模相等，已知z21eq r(3)i，則復數(shù)z1的代數(shù)式和它的輻角分別是()Aeq r(2)eq r(2)i，eq f(3,4) Beq r(2)eq r(2)i，eq f(3,4)Ceq r(2)eq r(2)i，eq f(,4) Deq r(2)eq r(2)i，eq f(11,4)答案BD解析由題意可知z1eq blc(rc)(avs4alco1(cos f(

21、,4)isin f(,4)z2eq blc(rc)(avs4alco1(cos f(5,3)isin f(5,3)，則z1eq f(z2blc(rc)(avs4alco1(cos f(5,3)isin f(5,3),cos f(,4)isin f(,4)eq f(2blc(rc)(avs4alco1(cos f(4,3)isin f(4,3)blc(rc)(avs4alco1(cos f(5,3)isin f(5,3),cos f(,4)isin f(,4)，z1eq f(2,f(r(2),2)f(r(2),2)i)eq f(2r(2),1i)eq f(2r(2)1i,1i1i)eq r(2)

22、eq r(2)i2eq blc(rc)(avs4alco1(cos f(3,4)isin f(3,4)，可知z1對應的坐標為eq blc(rc)(avs4alco1(r(2)，r(2)，則它的輻角主值為eq f(3,4)，故可以作為復數(shù)eq r(2)eq r(2)i的輻角的是eq f(3,4)2k，kZ，當k1時，eq f(3,4)2eq f(11,4).(3)復數(shù)zcos eq f(,15)isin eq f(,15)是方程x50的一個根，那么的值等于()A.eq f(r(3),2)eq f(1,2)i B.eq f(1,2)eq f(r(3),2)iC.eq f(r(3),2)eq f(1

23、,2)i Deq f(1,2)eq f(r(3),2)i答案B解析由題意得，eq blc(rc)(avs4alco1(cos f(,15)isin f(,15)5cos eq f(,3)isin eq f(,3)eq f(1,2)eq f(r(3),2)i.例2(多選)已知i為虛數(shù)單位，z1eq r(2)(cos 60isin 60)，z22eq r(2)(sin 30icos 30)，則z1z2的三角形式不為下列選項的有()A4(cos 90isin 90)B4(cos 30isin 30)C4(cos 30isin 30)D4(cos 0isin 0)答案ABC解析z22eq r(2)(s

24、in 30icos 30)2eq r(2)(cos 300isin 300)，z1z2eq r(2)(cos 60isin 60)2eq r(2)(cos 300isin 300)4(cos 360isin 360)課時精練1(2022福州模擬)已知i是虛數(shù)單位，則“ai”是“a21”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案A解析i是虛數(shù)單位，則i21，“ai”是“a21”的充分條件；由a21，得ai，故“ai”是“a21”的不必要條件；故“ai”是“a21”的充分不必要條件2設復數(shù)z1，z2在復平面內(nèi)的對應點關(guān)于虛軸對稱，z13i，則z1z2等于()A10

25、B10 C8 D8答案A解析z13i，z1，z2在復平面內(nèi)所對應的點關(guān)于虛軸對稱，z23i，z1z29110.3(2022長春實驗中學模擬)若復數(shù)z的共軛復數(shù)為eq xto(z)且滿足eq xto(z)(12i)1i，則復數(shù)z的虛部為()A.eq f(3,5) Beq f(3,5)iC.eq f(3,5)i Deq f(3,5)答案A解析eq xto(z)(12i)1i，eq xto(z)eq f(1i,12i)eq f(1i12i,12i12i)eq f(13i,5)eq f(1,5)eq f(3,5)i，zeq f(1,5)eq f(3,5)i，復數(shù)z的虛部為eq f(3,5).4已知i是

26、虛數(shù)單位，則復數(shù)zi2 023i(i1)在復平面內(nèi)對應的點位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案C解析因為zi2 023i(i1)i1i12i，所以復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點是(1，2)，位于第三象限5(2022濰坊模擬)在復數(shù)范圍內(nèi)，已知p，q為實數(shù)，1i是關(guān)于x的方程x2pxq0的一個根，則pq等于()A2 B1 C0 D1答案C解析因為1i是關(guān)于x的方程x2pxq0的一個根，則1i是方程x2pxq0的另一根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得eq blcrc (avs4alco1(1i1ip，,1i1iq，)解得p2，q2，所以pq0.6(多選)(2022蘇州模擬)若復數(shù)z滿足(1i)

27、z53i(其中i是虛數(shù)單位)，則()Az的虛部為iBz的模為eq r(17)Cz的共軛復數(shù)為4iDz在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限答案BD解析由(1i)z53i得zeq f(53i,1i)eq f(53i1i,1i1i)eq f(82i,2)4i，所以z的虛部為1，A錯誤；z的模為eq r(4212)eq r(17)，B正確；z的共軛復數(shù)為4i，C錯誤；z在復平面內(nèi)對應的點為(4，1)，位于第四象限，D正確7若z(aeq r(2)ai為純虛數(shù)，其中aR，則eq f(ai7,1ai)_.答案i解析z為純虛數(shù)，eq blcrc (avs4alco1(ar(2)0，,a0，)aeq r(2)，eq

28、f(ai7,1ai)eq f(r(2)i,1r(2)i)eq f(r(2)i1r(2)i,1r(2)i1r(2)i)eq f(3i,3)i.8(2022溫州模擬)已知復數(shù)zabi(a，bR，i為虛數(shù)單位)，且eq f(xto(z),1i)32i，則a_，b_.答案51解析由zabi(a，bR，i為虛數(shù)單位)，則eq xto(z)abi，所以eq f(xto(z),1i)eq f(1i,2)(abi)eq f(ab,2)eq f(ab,2)i32i，故eq f(ab,2)3，eq f(ab,2)2，所以a5，b1.9當實數(shù)m為何值時，復數(shù)zeq f(m2m6,m)(m22m)i為實數(shù)；虛數(shù)；純虛

29、數(shù)解當eq blcrc (avs4alco1(m22m0，,m0，)即m2時，復數(shù)z是實數(shù)當m22m0，且m0，即m0且m2時，復數(shù)z是虛數(shù)當eq blcrc (avs4alco1(f(m2m6,m)0，,m0，,m22m0，)即m3時，復數(shù)z是純虛數(shù)10.如圖所示，在平行四邊形OABC中，頂點O，A，C分別表示0,32i，24i，試求：(1)eq o(AO,sup6()，eq o(BC,sup6()所表示的復數(shù)；(2)對角線eq o(CA,sup6()所表示的復數(shù)；(3)B點對應的復數(shù)解(1)eq o(AO,sup6()eq o(OA,sup6()，eq o(AO,sup6()所表示的復數(shù)為

30、32i，eq o(BC,sup6()eq o(AO,sup6()，eq o(BC,sup6()所表示的復數(shù)為32i.(2)eq o(CA,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()，eq o(CA,sup6()所表示的復數(shù)為(32i)(24i)52i.(3)eq o(OB,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()，eq o(OB,sup6()所表示的復數(shù)為(32i)(24i)16i，B所對應的復數(shù)為16i.11(多選)歐拉公式exicos xisin x是由瑞士著名數(shù)學家歐拉創(chuàng)立，該公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)

31、的關(guān)聯(lián)，在復變函數(shù)論里面占有非常重要的地位，被譽為數(shù)學中的天橋，依據(jù)歐拉公式，下列選項正確的是()A復數(shù)e2i對應的點位于第二象限B SKIPIF 1 0 為純虛數(shù)C復數(shù)eq f(exi,r(3)i)的模長等于eq f(1,2)D SKIPIF 1 0 的共軛復數(shù)為eq f(1,2)eq f(r(3),2)i答案ABC解析對于A，e2icos 2isin 2，因為eq f(,2)2，即cos 20，復數(shù)e2i對應的點位于第二象限，A正確；對于B， SKIPIF 1 0 coseq f(,2)isin eq f(,2)i， SKIPIF 1 0 為純虛數(shù)，B正確；對于C，eq f(exi,r(3

32、)i)eq f(cos xisin x,r(3)i)eq f(cos xisin xr(3)i,r(3)ir(3)i)eq f(r(3)cos xsin x,4)eq f(r(3)sin xcos x,4)i，于是得eq blc|rc|(avs4alco1(f(exi,r(3)i)eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(r(3)cos xsin x,4)2blc(rc)(avs4alco1(f(r(3)sin xcos x,4)2)eq f(1,2)，C正確；對于D， SKIPIF 1 0 coseq f(,6)isin eq f(,6)eq f(r(3),2)eq f(1,2)i，

33、其共軛復數(shù)為eq f(r(3),2)eq f(1,2)i，D不正確12(多選)(2022武漢模擬)下列說法正確的是()A若|z|2，則zeq xto(z)4B若復數(shù)z1，z2滿足|z1z2|z1z2|，則z1z20C若復數(shù)z的平方是純虛數(shù)，則復數(shù)z的實部和虛部相等D“a1”是“復數(shù)z(a1)(a21)i(aR)是虛數(shù)”的必要不充分條件答案AD解析若|z|2，則zeq xto(z)|z|24，故A正確；設z1a1b1i(a1，b1R)，z2a2b2i(a2，b2R)，由|z1z2|z1z2|，可得|z1z2|2(a1a2)2(b1b2)2|z1z2|2(a1a2)2(b1b2)2則a1a2b1b20，而z1z2(a1b1i)(a2b2i)a1a2b1b2a1b2ib1a2i2a1a2a1b2ib1a2i不一定為0，故B錯誤；當z1i時，z22i為純虛數(shù)，其實部和虛部不相等，故C錯誤；若復數(shù)z(a1)(a21)i(aR)是虛數(shù)