教學(xué)交流：算法教學(xué)的思考

1、PAGE14算法教學(xué)的思考一、教學(xué)內(nèi)容的解析確立教學(xué)目標(biāo)與重點在“算法的概念”一課的教學(xué)過程中，執(zhí)教者按照原定教學(xué)設(shè)計完成了教學(xué)過程，但給聽課者的總體感覺是教學(xué)重點不突出，學(xué)生對算法的認(rèn)識停留在一種模糊的狀態(tài)，造成這種結(jié)果的重要原因是在教學(xué)設(shè)計中對教學(xué)內(nèi)容的解析不到位也許有人會覺得，算法是一個人人都覺得還沒有明確定義的數(shù)學(xué)概念，課堂教學(xué)時用一些實例寫寫步驟感覺一下就行了實際上，作為數(shù)學(xué)概念，算法有它的基本特征和內(nèi)涵，對它進(jìn)行內(nèi)容解析時，需要進(jìn)行深入的思考與挖掘，這是非常重要的當(dāng)前，版數(shù)學(xué)3在充分比較各種表述后，給算法的基本特征及其內(nèi)涵作出如下界定：“在數(shù)學(xué)中，算法通常是指按照一定規(guī)則解決某一類

2、問題的明確和有限的步驟現(xiàn)在，算法通常可以編成計算機程序，讓計算機執(zhí)行并解決問題”1在上述表述中，強調(diào)了在“數(shù)學(xué)中”，這就為教學(xué)時選取教學(xué)內(nèi)容（特別是具體的算法案例）指定了范圍，教科書也因此只針對數(shù)學(xué)上的算法案例來闡述算法的概念這樣處理，就是為了避免將算法的概念泛化，以至于教學(xué)目標(biāo)不落實因此，選取“狼羊菜過河”作為算法案例是不恰當(dāng)?shù)?“步驟”是算法的最顯著的特征，它蘊含著“有序性”同時，算法的步驟不能不明確，也就是說算法步驟具有“明確性”例如下列表述中的省略號就不具有算法步驟的“明確性”：第一步，給定大于2的整數(shù)n第二步，用2去除n，得到余數(shù)t若t=0，則2能夠整除n，n不是質(zhì)數(shù)，算法結(jié)束；否則

3、，進(jìn)入第三步第三步，用3去除n，得到余數(shù)t若t=0，則3能夠整除n，n不是質(zhì)數(shù)，算法結(jié)束；否則，進(jìn)入第四步第（n-1）步，用（n-1）去除n，得到余數(shù)t若t=0，則（n-1）能夠整除n，n不是質(zhì)數(shù)，算法結(jié)束；否則，n是質(zhì)數(shù)實際上，是否“明確”，只要看人們（特別是計算機）機械地執(zhí)行給定的步驟后是否能得出正確結(jié)論顯然，省略號所代表的部分是無法執(zhí)行的算法的第三個基本特征是步驟的“有限性”，也就是說任何一個算法都必須在有限步內(nèi)完成盡管算法還有其它一些特征，但“有序性”、“明確性”和“有限性”是算法的基本特征3在算法概念的表述中，“一定規(guī)則”指的是設(shè)計算法時的依據(jù)，例如“輾轉(zhuǎn)相除法”和“更相減損術(shù)”是求

4、兩個正整數(shù)的最大公約數(shù)的不同依據(jù)，這些依據(jù)通常是不同的數(shù)學(xué)結(jié)論或數(shù)學(xué)方法，因而是不同的規(guī)則根據(jù)不同的規(guī)則得到的算法就是不同的算法，這與算法用什么方式（算法步驟、程序框圖或程序）表示無關(guān)例如，在設(shè)計“求解二元一次方程組”的算法時，采用不同的方法消元就會設(shè)計出不同的算法4一個算法通常有輸入和輸出，有不同的輸入就有不同的輸出因此，設(shè)計算法通常是為了解“某一類問題”，強調(diào)的是算法的“通用性”，但這不排斥把解決某一個具體問題的步驟也看成是算法因此，教科書在安排“求解二元一次方程組”、“質(zhì)數(shù)的判定”和“用二分法求方程的近似解”三個案例時，都是先具體再一般，這不僅便于學(xué)生理解，更重要的是強調(diào)算法在解決“某一

5、類問題”時的“通用性”5在算法的內(nèi)涵中，最重要的是算法步驟之間的邏輯結(jié)構(gòu)，它不僅是算法的基石，同是也是算法能在計算機上實現(xiàn)的基礎(chǔ)雖然程序框圖是表達(dá)算法邏輯結(jié)構(gòu)的最直觀方法，教科書也把算法的基本邏輯結(jié)構(gòu)與程序框圖安排在一起，但算法的基本邏輯結(jié)構(gòu)并不依賴于程序框圖因此，離開算法的基本邏輯結(jié)構(gòu)來介紹算法的概念，是對算法概念理解不到位的做法要真正使學(xué)生理解算法，就必須從算法的基本邏輯結(jié)構(gòu)入手因此，算法基本邏輯結(jié)構(gòu)的提煉是算法概念教學(xué)的重點但“研究課”上這一重點沒有得到體現(xiàn)6信息技術(shù)時代，算法的重要性已經(jīng)成為共識在高中數(shù)學(xué)課程中，解一元二次方程組、解二元線性方程組、解一元二次不等式、質(zhì)數(shù)的判定、二分法、

6、判定平面直角坐標(biāo)系中直線與圓的位置關(guān)系、解三角形、求導(dǎo)數(shù)和定積分、建立線性回歸方程等，都是算法的典型案例由此可見，算法思想貫穿整個高中數(shù)學(xué)，算法的學(xué)習(xí)對整個高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有著“源”與“流”的關(guān)系同時，算法的內(nèi)容特點使它在發(fā)展學(xué)生有條理地思考與表達(dá)的能力方面有著特殊的作用“研究課”中，教師關(guān)注了章頭圖，并提到了“算盤”“計算機”“算法”等，但所安排的內(nèi)容對促進(jìn)學(xué)生體會算法的重要性還不夠如果再提供一些章頭圖中所涉及內(nèi)容的圖片資料，特別是計算機領(lǐng)域所取得的一些重大成果，以及與人們生活息息相關(guān)的計算機應(yīng)用成果等，那么學(xué)生對學(xué)習(xí)算法必要性的認(rèn)識和興趣都會有更大的提高7通過對算法概念的內(nèi)容解析，我們可以確

7、定以下教學(xué)目標(biāo)：（1）通過具體實例了解算法的含義，明確算法的基本特征（有序性、明確性、有限性）；（2）能用自然語言寫出解決具體問題的算法步驟；（3）通過具體實例的算法步驟，體會算法的基本邏輯結(jié)構(gòu)（順序、條件、循環(huán)）是算法步驟間的內(nèi)在聯(lián)系在“研究課”中，由于對教學(xué)內(nèi)容的解析不準(zhǔn)確，對教科書中的案例重視不夠，沒有充分挖掘這些案例的內(nèi)涵，同時自己補充的有些教學(xué)素材又不確切，教學(xué)進(jìn)程中的問題設(shè)計不精細(xì)，造成課堂教學(xué)偏離上述目標(biāo)，影響了教學(xué)效果二、教學(xué)目標(biāo)解析與教學(xué)問題診斷描繪教學(xué)過程1目標(biāo)解析與教學(xué)問題診斷目標(biāo)（1）是教學(xué)的基本目標(biāo)，應(yīng)該結(jié)合具體實例（如求二元一次方程組的解）來實現(xiàn)算法的表述中有不少關(guān)

8、鍵詞，在給出算法的概念時，還不可能對所有的內(nèi)涵揭露得很清楚，因此，只需學(xué)生通過具體實例對“算法通常是指按照一定規(guī)則解決某一類問題的步驟，這些步驟有著明確的順序性”有一個總體了解在介紹算法概念時，學(xué)生對其中的“明確性”與“有限性”不可能達(dá)到實質(zhì)性理解雖然這是本課的第一個教學(xué)問題，但此時不應(yīng)過分糾纏，而應(yīng)結(jié)合后續(xù)的“質(zhì)數(shù)的判定”、“用二分法求方程的近似解”兩個案例，引導(dǎo)學(xué)生體會和理解目標(biāo)（2）是學(xué)生對算法了解程度的重要標(biāo)志，是主要的教學(xué)目標(biāo)實現(xiàn)這個目標(biāo)的最好方法，就是結(jié)合教科書提供的案例，多給學(xué)生練習(xí)機會由于學(xué)生頭腦中算法的背景知識太少，對算法特征與內(nèi)涵體會不夠，導(dǎo)致他們不能清楚區(qū)分算法與非算法，

9、可能會寫出一些不是算法的“算法”，這是第二個教學(xué)問題解決的方法是先讓學(xué)生獨立寫，再展示和講評，從中獲得反例，并引導(dǎo)學(xué)生通過比較而認(rèn)識算法與非算法目標(biāo)（3）是教學(xué)重點教學(xué)時可能遇上的第三個問題，就是如何提煉算法的條件結(jié)構(gòu)與循環(huán)結(jié)構(gòu)算法中所蘊含的循環(huán)結(jié)構(gòu)的提煉也是教學(xué)的難點2教學(xué)支持條件（1）學(xué)生對算法的興趣，很大程度上源于算法與計算機的聯(lián)系在得到一個具體的算法后，演示一下計算機執(zhí)行算法的過程，可以加強學(xué)生對算法內(nèi)容的關(guān)注度，提高他們的學(xué)習(xí)興趣因此，可先編制好相應(yīng)的程序供教學(xué)中演示（2）探究“質(zhì)數(shù)的判定”與“用二分法求方程的近似解”的算法均涉及計算問題，準(zhǔn)備具有“求余數(shù)”、計算復(fù)雜函數(shù)值的計算器或

10、備好相應(yīng)軟件的計算機，對于提煉算法中的結(jié)構(gòu)（特別是循環(huán)結(jié)構(gòu)）將有極大的幫助在“研究課”中，教師對（1）有所表現(xiàn)，但對（2）沒有考慮，這說明教師在教學(xué)中沒有關(guān)注到算法結(jié)構(gòu)的提煉對理解算法的重要性三、教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)問題引領(lǐng)教學(xué)過程的問題設(shè)計教學(xué)的最終結(jié)果是實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)所以，要用教學(xué)目標(biāo)引領(lǐng)問題設(shè)計，使“問題串”的問題系列與教學(xué)目標(biāo)的“子目標(biāo)”系列相對應(yīng)，從而提高教、學(xué)行為的針對性和有效性，使教學(xué)目標(biāo)順利實現(xiàn)但在設(shè)計教學(xué)過程時，哪些問題必須考慮怎樣提出這些問題“什么是算法”“算法的基本特征是什么”“如何表示算法”“怎樣寫出算法的步驟”等是圍繞教學(xué)目標(biāo)的關(guān)鍵問題，必須給予考慮但如果在課堂上直截了當(dāng)?shù)靥?/p>

11、這些問題，那么學(xué)生的思考會因為缺乏具體背景的支撐而變得盲目，甚至對問題本身也會不知所云所以，“算法教學(xué)必須結(jié)合實例進(jìn)行”1為了讓學(xué)生了解算法的含義，明確算法的基本特征，可設(shè)計如下的問題問題1對下列的二元一次方程組，你能寫出它的解答過程嗎收集學(xué)生的不同解答，再與教科書上的解答作比較意圖：使學(xué)生關(guān)注算法的步驟，區(qū)分算法與一般的解法問題2教科書提供的解答有什么特點意圖：引導(dǎo)學(xué)生體會教科書的解答特點是呈現(xiàn)為“有序的步驟”問題3你能按照解的步驟，得出求解方程組的步驟嗎所得到的步驟能否交換順序讓學(xué)生嘗試，并與教科書中的步驟作比較，認(rèn)識到所得的各個步驟不能交換順序意圖：體會算法通常是用來“解決某一類問題”的

12、，步驟有著明確的順序問題4求解二元一次方程組的全部步驟就叫做一個算法據(jù)此，你能說說算法的含義嗎學(xué)生表述后，指引學(xué)生看教科書的表述教師利用已有的教學(xué)資源（如學(xué)生提供的二元一次方程組的不同解法等）講述“一定規(guī)則”和“某一類問題”的含義意圖：初步了解算法的含義2在進(jìn)一步體會算法的含義，揭露算法的基本特征時，可安排如下的問題引導(dǎo)性語言：大家知道，1997年，香港回歸；1999年，澳門回歸有意思的是，這兩年均是質(zhì)數(shù)年你知道如何判定1997、1999是質(zhì)數(shù)一般地，如何判定一個正整數(shù)是否為質(zhì)數(shù)下面從具體問題的討論開始意圖：激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引出“質(zhì)數(shù)的判定”的算法探求問題問題57是否為質(zhì)數(shù)你能寫出判定7是

13、否為質(zhì)數(shù)的算法嗎讓學(xué)生寫算法的步驟，交流并點評學(xué)生寫的算法步驟意圖：體會如何從算法的角度思考質(zhì)數(shù)的判定，體會算法的特征，知道下列表述的步驟是不明確的，所以都不是算法：（1）因為2至6的整數(shù)都不能整除7，所以7是質(zhì)數(shù)（2）第一步，用2除7，得到余數(shù)不為0，所以2不能整除7第二步，同理，3至6的整數(shù)都不能整除7，所以7是質(zhì)數(shù)問題6你能寫出判定1997是否為質(zhì)數(shù)的算法嗎35呢讓學(xué)生試著寫一寫，可能會出現(xiàn)不同情況教師有針對性地進(jìn)行相應(yīng)講解1997太大，像判定7是否為質(zhì)數(shù)那樣去判定1997是否為質(zhì)數(shù)是一件很困難的事情因此，學(xué)生可能會寫出下列步驟：第一步，用2除1997，得到余數(shù)為1因為余數(shù)不為0，所以2

14、不能整除1997第二步，用3除1997，得到余數(shù)為2因為余數(shù)不為0，所以3不能整除1997第三步，用4除1997，得到余數(shù)為1因為余數(shù)不為0，所以4不能整除1997第1995步，用1996除1997，得到余數(shù)為1因為余數(shù)不為0，所以1996不能整除1997因此，1997是質(zhì)數(shù)但是，上述表述的不是算法事實上，如果上述的表述是算法的話，我們同樣可以說明35也是質(zhì)數(shù)：第一步，用2除35，得到余數(shù)為1因為余數(shù)不為0，所以2不能整除35第二步，用3除35，得到余數(shù)為2因為余數(shù)不為0，所以3不能整除35第三步，用4除35，得到余數(shù)為3因為余數(shù)不為0，所以4不能整除35第三十三步，用34除35，得到余數(shù)為1

15、因為余數(shù)不為0，所以35不能整除35因此，35是質(zhì)數(shù)但實際上卻有，即不是質(zhì)數(shù)之所以會出現(xiàn)誤判，是因為“”表達(dá)的步驟不明確事實上，只要在上述步驟前三步的基礎(chǔ)上再寫下：“第4步，用5除35，得到余數(shù)為0，所以5整除35所以35不是質(zhì)數(shù)”然后去掉以后的步驟，就可以得到判斷35不是質(zhì)數(shù)的算法意圖：認(rèn)識算法步驟的“明確性”，體會算法的順序結(jié)構(gòu)問題7從問題6知道，一個算法步驟中不能出現(xiàn)類似“”的步驟，但對于像1997這樣大的數(shù)，要像判定7是質(zhì)數(shù)那樣的寫出判定其是質(zhì)數(shù)的所有步驟是不現(xiàn)實的那么，在不改變“規(guī)則”的前提下怎樣表達(dá)這個算法呢引導(dǎo)學(xué)生分析并認(rèn)識到，在問題5中，判定7是否為質(zhì)數(shù)的每一個步驟，表示除數(shù)，

16、那么所有步驟都包含以下內(nèi)容：“用i除7，不為0，所以i不能整除7”在問題6中，只要把被判定的數(shù)7改為1997，則每一步均包含以下內(nèi)容：“用i除1997，不為0，所以i不能整除1997”因此，我們可以把判定1997是否為質(zhì)數(shù)的算法寫為：第一步，令i=2第二步，用i除1997，得到余數(shù)為r第三步，判斷r是否為0若是，則1997不是質(zhì)數(shù)；否則把i的值增加1仍記為i第四步，判斷“i1996”是否成立若是，則1997是質(zhì)數(shù)；若否，返回第二步讓學(xué)生將1997改為任意大于2的整數(shù)，改寫算法，得出“判定整數(shù)n（n2）是否為質(zhì)數(shù)”的算法意圖：問題5、問題6中的算法結(jié)構(gòu)僅有順序結(jié)構(gòu)，這是最普遍，也是最容易被學(xué)生理

17、解的算法結(jié)構(gòu)但像判定1997是否為質(zhì)數(shù)的算法那樣，很多算法僅用順序結(jié)構(gòu)表達(dá)是不夠的，問題7的作用就是讓學(xué)生體會并學(xué)會提煉算法的另外兩種基本邏輯結(jié)構(gòu)（條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)），這是算法能在計算機上實現(xiàn)的基石問題8你能總結(jié)一下算法的基本特征嗎讓學(xué)生說說，教師總結(jié)意圖：得出算法步驟的基本特征，并由此加深對算法含義的理解3為了認(rèn)識和提煉算法的循環(huán)結(jié)構(gòu)，更準(zhǔn)確地理解算法的“有限性”特征，可在“用二分法求方程的近似解”中設(shè)計如下問題問題9你能結(jié)合下列圖表說說“用二分法求方程的近似解”的基本過程嗎？意圖：讓學(xué)生回顧二分法的基本思想，啟發(fā)學(xué)生從算法角度思考問題問題10用計算器實現(xiàn)求解過程，得下列圖表你發(fā)現(xiàn)哪些步驟是被重復(fù)執(zhí)行的教師引導(dǎo)學(xué)生思考求解過程，并用信息技術(shù)演示過程意圖：提煉算法結(jié)構(gòu)（主要是循環(huán)結(jié)構(gòu)），為寫出算法的步驟作準(zhǔn)備問題11上述求解過程中，我們得到的解的精確度是多少如果精確度要求為，可以減少多少個同樣的步驟如果精確度要求為，又要增加多少個同樣的步驟意圖：揭示循環(huán)結(jié)構(gòu)中控制循環(huán)