多元復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)法則課件

1、1第三節(jié)本節(jié)內(nèi)容:一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分 第八章 三、隱函數(shù)求導(dǎo)法則2一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t定理. 若函數(shù)處偏導(dǎo)連續(xù), 在點 t 可導(dǎo), 則復(fù)合函數(shù)證: 設(shè) t 取增量t ,則相應(yīng)中間變量且有鏈?zhǔn)椒▌t有增量u ,v ,3( 全導(dǎo)數(shù)公式 )(t0 時,根式前加“”號)4若定理中 說明: 例如:易知:但復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)減弱為偏導(dǎo)數(shù)存在, 則定理結(jié)論不一定成立.5推廣:1) 中間變量多于兩個的情形. 設(shè)下面所涉及的函數(shù)都可微 .2) 中間變量是多元函數(shù)的情形.例如,例如,6又如,當(dāng)它們都具有可微條件時, 有注意:這里表示 f ( x, ( x, y ) )固

2、定 y 對 x 求導(dǎo)表示f ( x, v )固定 v 對 x 求導(dǎo)口訣 :與不同,分段用乘, 分叉用加, 單路全導(dǎo), 叉路偏導(dǎo)7例1. 設(shè)解:8 解 例2. 求函數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù). 令則9例3.解:10例4. 設(shè) 求全導(dǎo)數(shù)解:注意：多元抽象復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)在偏微分方程變形與驗證解的問題中經(jīng)常遇到,下列兩個例題有助于掌握這方面問題的求導(dǎo)技巧與常用導(dǎo)數(shù)符號.11(當(dāng) 在二、三象限時, )例5. 設(shè)二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),求下列表達(dá)式在解: 已知極坐標(biāo)系下的形式(1), 則12題目 13 已知注意利用已有公式14同理可得題目 15二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分設(shè)函數(shù)的全微分為可見無論 u , v 是自變量還是中間變量,

3、則復(fù)合函數(shù)都可微, 其全微分表達(dá) 形式都一樣, 這性質(zhì)叫做全微分形式不變性.16例 6.利用全微分形式不變性再解例1. 解:所以171、一個方程所確定的隱函數(shù) 及其導(dǎo)數(shù) 2、方程組所確定的隱函數(shù)組 及其導(dǎo)數(shù)三、隱函數(shù)的求導(dǎo)方法 181、一個方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)定理1. 設(shè)函數(shù)則方程單值連續(xù)函數(shù) y = f (x) ,并有連續(xù)(隱函數(shù)求導(dǎo)公式)定理證明從略，僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下： 具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);的某鄰域內(nèi)可唯一確定一個在點的某一鄰域內(nèi)滿足滿足條件導(dǎo)數(shù)19兩邊對 x 求導(dǎo)在的某鄰域內(nèi)則20例7. 驗證方程在點(0,0)某鄰域可確定一個單值可導(dǎo)隱函數(shù)解: 令連續(xù) ;由 定理1 可知,導(dǎo)的隱

4、函數(shù) 則在 x = 0 的某鄰域內(nèi)方程存在單值可且并求2122定理2 .若函數(shù) 的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ;則方程在點并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)定一個單值連續(xù)函數(shù) z = f (x , y) , 定理證明從略, 僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下:滿足 在點滿足:某一鄰域內(nèi)可唯一確23兩邊對 x 求偏導(dǎo)同樣可得24解： 利用公式設(shè)則例8. 252、方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形.由 F、G 的偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式稱為F、G 的雅可比 行列式.以兩個方程確定兩個隱函數(shù)的情況為例 ,即雅可比 26雅可比(1804 1851)德國數(shù)學(xué)家. 他在數(shù)學(xué)方面最主要的成就是和挪威數(shù)學(xué)家阿貝兒相互獨(dú)

5、地奠定了橢圓函數(shù)論的基礎(chǔ). 他對行列式理論也作了奠基性的工作. 在偏微分方程的研究中引進(jìn)了“雅可比行列式”, 并應(yīng)用在微積 分中.他的工作還包括代數(shù)學(xué), 變分法, 復(fù)變函數(shù)和微 分方程, 在分析力學(xué),動力學(xué)及數(shù)學(xué)物理方面也有貢獻(xiàn) .他在柯尼斯堡大學(xué)任教18年, 形成了以他為首的學(xué)派.27定理3.的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏設(shè)函數(shù)則方程組的單值連續(xù)函數(shù)且有偏導(dǎo)數(shù)公式 : 在點的某一鄰域內(nèi)可唯一確定一組滿足條件滿足:導(dǎo)數(shù)；28(P86)29有隱函數(shù)組則兩邊對 x 求導(dǎo)得設(shè)方程組在點P 的某鄰域內(nèi)解的公式 故得系數(shù)行列式30同樣可得31例9. 設(shè)解:方程組兩邊對 x 求導(dǎo)，并移項得求練習(xí): 求答案:由題設(shè)故有32內(nèi)容小結(jié)1. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t“分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)”例如,2. 全微分形式不變性不論 u , v 是自變量還是中間變量,33