福建省福州市2023年高考數(shù)學(xué)一模試卷含解析

1、2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知函數(shù)，若時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的值為（ ）ABCD2將函數(shù)f(x)=sin 3x-cos 3x+1的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖象，給出下列關(guān)于g(x)的結(jié)論：它的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱；它的最小正周期為；它的圖象關(guān)于點(diǎn)(，1)對(duì)

2、稱；它在上單調(diào)遞增.其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（ ）ABCD3已知函數(shù)f（x）ebxexb+c（b，c均為常數(shù)）的圖象關(guān)于點(diǎn)（2，1）對(duì)稱，則f（5）+f（1）（ ）A2B1C2D44函數(shù)（且）的圖象可能為（ ）ABCD5已知點(diǎn)，若點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng)，則面積的最小值為（ ）A6B3CD6已知銳角滿足則（ ）ABCD7如圖所示程序框圖，若判斷框內(nèi)為“”，則輸出（ ）A2B10C34D988已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則其共軛復(fù)數(shù)（ ）ABCD9已知集合，則集合（ ）ABCD10一個(gè)空間幾何體的正視圖是長(zhǎng)為4，寬為的長(zhǎng)方形，側(cè)視圖是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，俯視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）ABCD11已知

3、雙曲線：的左右焦點(diǎn)分別為，為雙曲線上一點(diǎn)，為雙曲線C漸近線上一點(diǎn)，均位于第一象限，且，則雙曲線的離心率為（ ）ABCD12已知命題：是“直線和直線互相垂直”的充要條件；命題：對(duì)任意都有零點(diǎn)；則下列命題為真命題的是（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13某種圓柱形的如罐的容積為個(gè)立方單位，當(dāng)它的底面半徑和高的比值為_(kāi).時(shí)，可使得所用材料最省.14已知函數(shù)的圖象在處的切線斜率為，則_15在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)是直線：上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)已知以為直徑的圓被直線所截得的弦長(zhǎng)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)_16設(shè)全集，則_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算

4、步驟。17（12分）選修4-5：不等式選講設(shè)函數(shù)f(x)=|x-a|,a0（1） 證明:f(x)+f(-1（2）若不等式f(x)+f(2x)12的解集非空，求18（12分）如圖，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，上、下頂點(diǎn)分別為，且，為等邊三角形，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓在軸右側(cè)的部分交于、兩點(diǎn)（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求四邊形面積的取值范圍19（12分）如圖，D是在ABC邊AC上的一點(diǎn)，BCD面積是ABD面積的2倍，CBD=2ABD=2（）若=，求的值；（）若BC=4，AB=2，求邊AC的長(zhǎng)20（12分）一張邊長(zhǎng)為的正方形薄鋁板（圖甲），點(diǎn)，分別在，上，且（單位：）.現(xiàn)將該薄鋁板沿裁開(kāi)，再將沿折疊，沿折疊

5、，使，重合，且重合于點(diǎn)，制作成一個(gè)無(wú)蓋的三棱錐形容器（圖乙），記該容器的容積為（單位：），（注：薄鋁板的厚度忽略不計(jì)）（1）若裁開(kāi)的三角形薄鋁板恰好是該容器的蓋，求，的值；（2）試確定的值，使得無(wú)蓋三棱錐容器的容積最大.21（12分）若,且（1）求的最小值；（2）是否存在，使得？并說(shuō)明理由.22（10分）已知圓：和拋物線：，為坐標(biāo)原點(diǎn)（1）已知直線和圓相切，與拋物線交于兩點(diǎn)，且滿足，求直線的方程；（2）過(guò)拋物線上一點(diǎn)作兩直線和圓相切，且分別交拋物線于兩點(diǎn)，若直線的斜率為，求點(diǎn)的坐標(biāo)參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1D

6、【解析】通過(guò)分析函數(shù)與的圖象，得到兩函數(shù)必須有相同的零點(diǎn)，解方程組即得解.【詳解】如圖所示，函數(shù)與的圖象，因?yàn)闀r(shí)，恒成立，于是兩函數(shù)必須有相同的零點(diǎn)，所以，解得故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象的綜合應(yīng)用和函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，考查不等式的恒成立問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.2B【解析】根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換公式求出函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)區(qū)間等相關(guān)性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)閒(x)=sin 3x-cos 3x+1=2sin(3x-)+1，由圖象的平移變換公式知，函數(shù)g(x)=2sin3(x+)-+1=2sin(3x+)+1，其最小正周期為，故正確；令3x+=k+

7、，得x=+(kZ)，所以x=不是對(duì)稱軸，故錯(cuò)誤；令3x+=k，得x=-(kZ)，取k=2，得x=，故函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(，1)對(duì)稱，故正確；令2k-3x+2k+，kZ，得-x+，取k=2，得x，取k=3，得x，故錯(cuò)誤；故選：B【點(diǎn)睛】本題考查圖象的平移變換和正弦函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性和最小正周期等性質(zhì)；考查運(yùn)算求解能力和整體代換思想；熟練掌握正弦函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性和最小正周期等相關(guān)性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、常考題型3C【解析】根據(jù)對(duì)稱性即可求出答案【詳解】解：點(diǎn)（5，f（5）與點(diǎn)（1，f（1）滿足（51）22，故它們關(guān)于點(diǎn)（2，1）對(duì)稱，所以f（5）+f（1）2，故選：C【點(diǎn)睛】

8、本題主要考查函數(shù)的對(duì)稱性的應(yīng)用，屬于中檔題4D【解析】因?yàn)?，故函?shù)是奇函數(shù)，所以排除A，B；取，則，故選D.考點(diǎn)：1.函數(shù)的基本性質(zhì)；2.函數(shù)的圖象.5B【解析】求得直線的方程，畫(huà)出曲線表示的下半圓，結(jié)合圖象可得位于，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式和兩點(diǎn)的距離公式，以及三角形的面積公式，可得所求最小值.【詳解】解：曲線表示以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的下半圓(包括兩個(gè)端點(diǎn))，如圖，直線的方程為，可得，由圓與直線的位置關(guān)系知在時(shí)，到直線距離最短，即為，則的面積的最小值為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積最值，解題關(guān)鍵是掌握直線與圓的位置關(guān)系，確定半圓上的點(diǎn)到直線距離的最小值，這由數(shù)形結(jié)合思想易得6C【解析

9、】利用代入計(jì)算即可.【詳解】由已知，因?yàn)殇J角，所以，即.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角的正弦、余弦公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.7C【解析】由題意，逐步分析循環(huán)中各變量的值的變化情況，即可得解.【詳解】由題意運(yùn)行程序可得：，；，；，；不成立，此時(shí)輸出.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖，只需在理解程序框圖的前提下細(xì)心計(jì)算即可，屬于基礎(chǔ)題.8B【解析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法計(jì)算出，然后再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念直接寫(xiě)出即可.【詳解】由，所以其共軛復(fù)數(shù).故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)的概念，難度較易.9D【解析】弄清集合B的含義，它的元素x來(lái)自于集合A，且也是集合A的

10、元素.【詳解】因，所以，故，又， ，則，故集合.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的定義，涉及到解絕對(duì)值不等式，是一道基礎(chǔ)題.10B【解析】由三視圖確定原幾何體是正三棱柱，由此可求得體積【詳解】由題意原幾何體是正三棱柱，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查三視圖，考查棱柱的體積解題關(guān)鍵是由三視圖不愿出原幾何體11D【解析】 由雙曲線的方程的左右焦點(diǎn)分別為，為雙曲線上的一點(diǎn)，為雙曲線的漸近線上的一點(diǎn)，且都位于第一象限，且，可知為的三等分點(diǎn)，且,點(diǎn)在直線上，并且，則，設(shè)，則，解得，即，代入雙曲線的方程可得，解得，故選D點(diǎn)睛：本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，離心率的求法，考查了轉(zhuǎn)化思想以及運(yùn)算能力，雙曲線的離心率是雙曲

11、線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：求出，代入公式；只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范圍)12A【解析】先分別判斷每一個(gè)命題的真假，再利用復(fù)合命題的真假判斷確定答案即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，直線和直線，即直線為和直線互相垂直，所以“”是直線和直線互相垂直“的充分條件，當(dāng)直線和直線互相垂直時(shí)，解得.所以“”是直線和直線互相垂直“的不必要條件.：“”是直線和直線互相垂直“的充分不必要條件，故是假命題當(dāng)時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)，所以命題是假命題所以是真命題，是假命題，是假命題，是假命題故選：【點(diǎn)

12、睛】本題主要考查充要條件的判斷和兩直線的位置關(guān)系，考查二次函數(shù)的圖象， 考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】設(shè)圓柱的高為，底面半徑為，根據(jù)容積為個(gè)立方單位可得，再列出該圓柱的表面積，利用導(dǎo)數(shù)求出最值，從而進(jìn)一步得到圓柱的底面半徑和高的比值【詳解】設(shè)圓柱的高為，底面半徑為.該圓柱形的如罐的容積為個(gè)立方單位，即.該圓柱形的表面積為.令，則.令，得；令，得.在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，取得最小值，即材料最省，此時(shí).故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是寫(xiě)出表面積的表示式，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，屬中檔題14【解析】先對(duì)

13、函數(shù)f（x）求導(dǎo)，再根據(jù)圖象在（0，f（0）處切線的斜率為4，得f（0）4，由此可求a的值.【詳解】由函數(shù)得，函數(shù)f（x）的圖象在（0，f（0）處切線的斜率為4，.故答案為4【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)曲線上在某點(diǎn)切線方程的斜率求參數(shù)的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題15【解析】依題意畫(huà)圖,設(shè),根據(jù)圓的直徑所對(duì)的圓周角為直角,可得,通過(guò)勾股定理得,再利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求出,進(jìn)而得出點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】解:依題意畫(huà)圖,設(shè)以為直徑的圓被直線所截得的弦長(zhǎng)為,且,又因?yàn)闉閳A的直徑,則所對(duì)的圓周角,則, 則為點(diǎn)到直線：的距離.所以,則.又因?yàn)辄c(diǎn)在直線：上,設(shè),則.解得,則.故答案為: 【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系,

14、考查了兩點(diǎn)間的距離公式,點(diǎn)到直線的距離公式,是基礎(chǔ)題.16【解析】先求出集合，然后根據(jù)交集、補(bǔ)集的定義求解即可【詳解】解：，或；故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17 (1)見(jiàn)解析.(1) (-1,0).【解析】試題分析：（1）直接計(jì)算f(x)+f(-1（1）f(x)+f(2x)=|x-a|+|2x-a|，分區(qū)間討論去絕對(duì)值符號(hào)分別解不等式即可.試題解析： （1）證明：函數(shù)f（x）=|xa|，a2，則f（x）+f（）=|xa|+|a|=|xa|+|+a|（xa）+（+a）|=|x+|=|x|+1=1（1）

15、f（x）+f（1x）=|xa|+|1xa|，a2當(dāng)xa時(shí)，f（x）=ax+a1x=1a3x，則f（x）a；當(dāng)ax時(shí)，f（x）=xa+a1x=x，則f（x）a；當(dāng)x時(shí)，f（x）=xa+1xa=3x1a，則f（x）則f（x）的值域?yàn)椋?）.不等式f（x）+f（1x）的解集非空，即為，解得，a1，由于a2，則a的取值范圍是(-1,0)考點(diǎn)：1.含絕對(duì)值不等式的證明與解法.1.基本不等式.18（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)坐標(biāo)和為等邊三角形可得，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，易求坐標(biāo)，從而得到所求面積；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，與橢圓方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式，并確定的取值范圍；

16、利用，代入韋達(dá)定理的結(jié)論可求得關(guān)于的表達(dá)式，采用換元法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，的值域的求解問(wèn)題，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可求得值域；結(jié)合兩種情況的結(jié)論可得最終結(jié)果.【詳解】（1），為等邊三角形，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)四邊形的面積為當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可得，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立得：，面積令，則，令，則，在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，綜上所述：四邊形面積的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用問(wèn)題，涉及到橢圓方程的求解、橢圓中的四邊形面積的取值范圍的求解問(wèn)題；關(guān)鍵是能夠?qū)⑺竺娣e表示為關(guān)于某一變量的函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域的求解問(wèn)題.19（）；（）【解析】（）利用三角形面積公式以及并結(jié)合正

17、弦定理，可得結(jié)果.（）根據(jù)，可得，然后使用余弦定理，可得結(jié)果.【詳解】（），所以所以；（），所以，所以，所以，所以邊【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積公式，正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用，關(guān)鍵在于識(shí)記公式，屬中檔題.20（1），；（2）當(dāng)值為時(shí)，無(wú)蓋三棱錐容器的容積最大.【解析】（1）由已知求得，求得三角形的面積，再由已知得到平面，代入三棱錐體積公式求的值；（2）由題意知，在等腰三角形中，則，寫(xiě)出三角形面積，求其平方導(dǎo)數(shù)的最值，則答案可求【詳解】解：（1）由題意，為等腰直角三角形，又，恰好是該零件的蓋，則，由圖甲知，則在圖乙中，又，平面，平面，；（2）由題意知，在等腰三角形中，則，令，可得：當(dāng)時(shí)，當(dāng)，時(shí)，當(dāng)時(shí)，有最大值由（1）知，平面，該三棱錐容積的最大值為，且當(dāng)時(shí)，取得最大值，無(wú)蓋三棱錐容器的容積最大答：當(dāng)值為時(shí)，無(wú)蓋三棱錐容器的容積最大【點(diǎn)睛】本題考查棱錐體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求最值，屬于中檔題21（1）；（2）不存在.【解析】（1）由已知，利用基本不等式的和積轉(zhuǎn)化可求，利用基本不等式可將轉(zhuǎn)化為，由不等式的傳遞性，可求的最小值；（2）由基本不等式可求的最小值為，而，故不存在【詳解】（1）由，得，且當(dāng)時(shí)取等號(hào)故，且當(dāng)時(shí)取等號(hào)所以的最小值為；（