初等數(shù)論 期末復(fù)習(xí) 不定方程精選例題

第二章不定方程例題分析例1：利用整數(shù)分離系數(shù)法求得不定方程15+10yz=61。解：注意到z的系數(shù)最小，把原方程化為z=116(xy)22(3)2xyxy6令1=1，即-3yt1+1=0(xy)z611此時(shí)y系數(shù)最小，3613y(xt)xt(x)2112=1,即令2,反推依次可解得1xt(x)z222xt+tt+1+3t+t=1+3tt1221212zx+10+t=6-5t+10t112x1t2tt∈z.∴原不定方程解為y1tt1212z6tt12例證明是無理數(shù)2即ab，容易知道a是偶數(shù)，證：假設(shè)是有理數(shù)，則存在自數(shù)數(shù)a,b使得滿足22xy222設(shè)aa1，代入得,又得到b為偶數(shù)，，則,這里21ba2aba1，設(shè)bbabba2212111，b…且有a>b>ab>ab>…這樣可以進(jìn)一步求得a221122但是自然數(shù)無窮遞降是不可能的，于是產(chǎn)生了矛盾，∴為無理數(shù)。2例3：證明：整數(shù)勾股形的勾股中至少一個(gè)是3的倍數(shù)。證：設(shè)N±1(m為整數(shù))，∴2=9m±6m±2m)+122即一個(gè)整數(shù)若不是3的倍數(shù)，則其平方為3k+1,或者說3k+2不可能是平方數(shù)，設(shè)x,y為勾,y=xyk+2形，這是不可能，股整數(shù)，且x,y都不是3的倍數(shù)，則x都是3k+1，但z22222∴勾股數(shù)中至少有一個(gè)是3的倍數(shù)。y=328的正整數(shù)解例4：求22解：∵328為偶數(shù)，∴x,y奇偶性相同，即x±y為偶數(shù)，設(shè)x+y=2u,x=2v，代入原方程即1為uv=164,同理令u=2u,uvv有2211uv,uvu,uvv2121112112為一偶一奇，且0<u<641,u,vu2v222222u，2，3，4，5代方程，有解（4，55，4）2∴原方程解=18,y=2,或x=2,y=18。例5：求2xy-6=0的正整數(shù)解。解：原方程等價(jià)于x)=2·3,故有xx,x,x,x,∴，∴即有=2,y=1;=1,=5.y,xy,xy,xy1.xyz+3=0無整數(shù)解。例6：證明不定方程22解：若不定方程有解，則xy2y4z3但y≡0，1(mod5),∴對(duì)y,z，y4z≡2，3(mod5)4而一個(gè)平方數(shù)≡0，1，4（mod5）∴4z-3不可能為完全平方，即不是整數(shù)，所以原不定方程無解。35y4zxyz8a7無整數(shù)解例7：證明：222xyz8a7(mod證：若原方程有解，則有222注意到對(duì)于模8，有0123456722222222因而每一個(gè)整數(shù)對(duì)于模8，必同余于0，1，4這三個(gè)數(shù)。x,y,z如何變化，只能有不論xyz222222xyz關(guān)于模8，所以假設(shè)錯(cuò)誤，即而8a7，故8a7不同余于222xyz，從而證明了原方程無解。8a72222例8:某人到銀行去兌換一張d元和c分的支票，出納員出錯(cuò)，給了他c元和d元，此人直到用去23分后才發(fā)覺其錯(cuò)誤，此時(shí)他發(fā)現(xiàn)還有2d元和2c分，問該支票原為多少錢？解：由題意立式得：cddc即cd23.令得ucdud,令vud得vu23.所以u(píng)v23v（1）duv98v23,cud