函數(shù)的單調(diào)性-課件

1函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)1函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)2

1．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，（1）若

，則f（x）在

上是增函數(shù)；Df（x1）＜f（x2）21．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)3（2）若

，則f（x）在

上是減函數(shù).

2．若函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是

或

，則稱函數(shù)f（x）在這一區(qū)間上具有單調(diào)性，

叫做f（x）的單調(diào)區(qū)間.f（x1）＞f（x2）D增函數(shù)減函數(shù)D3（2）若，則f（x）在上是減4

1.設(shè)函數(shù)f（x）是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，且f（m2）>f（-m），則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）

A.（0,+∞）B.（-∞,-1）

C.（-∞,-1）∪（0,+∞）

D.（-1,0）依題意得m2<-m，解得-1<m<0，

故選D.41.設(shè)函數(shù)f（x）是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，且f（m2）>5

2.若函數(shù)h′（x）=2x+

+

在（1,+∞）上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）

A.［0,2］

B.［2,+∞）

C.（0,2］

D.（-∞,2］

依題意知h′（x）=2-

>0對(duì)

x∈（1,+∞）恒成立，則k<2x2（x>1）,所以k≤2,故選D.52.若函數(shù)h′（x）=2x++在（1,+∞）上是增6

3.若函數(shù)y=|x|（1-x）在區(qū)間A上是增函數(shù)，那么區(qū)間A是（）

A.（-∞，0）B.［0，］

C.［0,+∞）D.（，+∞）

63.若函數(shù)y=|x|（1-x）在區(qū)間A上是增函數(shù)，那么7

由圖象可知，該函數(shù)在［0，］上單調(diào)遞增.

答案：B

78

4.已知是R上的增函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

由題意知解得1＜a＜3.（1，3）84.已知（1，3）9

5.若函數(shù)f（x）=-x2+2ax與ｇｓｆ在區(qū)間［1，2］上都是減函數(shù)，則a的取值范圍是

.

f（x）=-x2+2ax=-（x-a）2+a2在區(qū)間［1，2］上是減函數(shù)，則a≤1;

在［1,2］上是減函數(shù)，則a>0.

綜合得a∈（0,1］.（0,1］95.若函數(shù)f（x）=-x2+2ax與ｇｓｆ在區(qū)間［10

1.函數(shù)單調(diào)性的判斷（1）函數(shù)f（x）定義在區(qū)間D上，當(dāng)x1,x2∈D,x1≠x2時(shí)，恒有

，則函數(shù)f（x）是D上的單調(diào)

（增或減函數(shù)）.增函數(shù)101.函數(shù)單調(diào)性的判斷增函數(shù)11（2）設(shè)函數(shù)f（x）是增函數(shù)，那么：（?。﹜=-f（x）為減函數(shù)；（ⅱ）y=（）f（x）為減函數(shù)；（ⅲ）y=tan［f（x）］為增函數(shù)；（ⅳ）

為增函數(shù)；（ⅴ）y=［f（x）］-1為減函數(shù).其中正確判斷的編號(hào)是

.（?。áⅲ?1（2）設(shè)函數(shù)f（x）是增函數(shù)，那么：（?。﹜=-f（12

2.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（1）函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間是

.（2）下列判斷中，正確的序號(hào)是

.（?。┖瘮?shù)y=sinx在（0,）上是增函數(shù)，那么該函數(shù)在第一象限是增函數(shù)；（ⅱ）函數(shù)f（x）分別在（-5,-1）和（1，5）上是減函數(shù)，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（-5,-1）∪（1,5）;（ⅲ）函數(shù)y=2-ax（a≠0）在R上是單調(diào)函數(shù).（-∞,0）,（0,+∞）（ⅲ）122.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（-∞,0）,（0,+∞）（ⅲ）13

3.函數(shù)的最值（1）若函數(shù)f（x）=x2+x+a在區(qū)間［-3,1］上的最大值為4，則a=

.（2）若函數(shù)y=

的定義域和值域都是［-2,-1］，則a=

.-22133.函數(shù)的最值-2214

4.函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用（1）若函數(shù)y=-loga（x+1）是（-1,0）上的減函數(shù)，則a的取值范圍是

.（2）若函數(shù)f（x）在［a,b］上是單調(diào)函數(shù)，且f（a）·f（b）<0，則方程f（0）=0（x∈［a,b］）的根的個(gè)數(shù)是

.（3）若函數(shù)f（x）=|x-b|+1在［0,+∞）上是增函數(shù)，則b的取值范圍是

.

（1,+∞）唯一一個(gè)（-∞,0］144.函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用（1,+∞）唯一一個(gè)（-∞,0］15

題型1

函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明討論函數(shù)f（x）=x+

（a>0）的單調(diào)性.

方法1：定義法：函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞,0）∪（0,+∞）.（1）當(dāng)x>0時(shí)，設(shè)0<x1<x2，則15題型1函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明16于是當(dāng)0<x1<x2≤時(shí)，x1x2<a，則f（x2）<f（x1）.所以f（x）在（0,］上是減函數(shù)；當(dāng)

≤x1<x2時(shí)，x1x2>a，則f（x2）>f（x1）.所以f（x）在［

,+∞）上是增函數(shù).（2）當(dāng)x<0時(shí)，設(shè)x1<x2<0.則

16于是當(dāng)0<x1<x2≤時(shí)，x1x2<a，則f17于是當(dāng)≤x1<x2<0時(shí)，x1x2<a，則f（x2）<f（x1）.所以f（x）在［,0）上是減函數(shù)；當(dāng)x1<x2≤時(shí)，x1x2>a，則f（x2）>f（x1）.所以f（x）在（-∞,］上是增函數(shù).綜上，函數(shù)f（x）在［,0）,（0,

］上是減函數(shù)，在（-∞,］,［

,+∞）上是增函數(shù).（由于函數(shù)是奇函數(shù)，其實(shí)只需討論x>0的情況即可.）17于是當(dāng)≤x1<x2<0時(shí)，x1x2<a，則18方法2：導(dǎo)數(shù)法：當(dāng)x>0時(shí)，

令f′（x）≥0，得a≤x2,則x≥

.于是f（x）在［

,+∞）上是增函數(shù)；同理可得f（x）在（0,

］上是減函數(shù).當(dāng)x<0時(shí)，由奇函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)f（x）在（-∞,］上是增函數(shù)，在［,0）上是減函數(shù).綜上，函數(shù)f（x）在［,0）,（0,］上是減函數(shù)，在（-∞,］,［,+∞）上是增函數(shù).18方法2：導(dǎo)數(shù)法：當(dāng)x>0時(shí)，19

【評(píng)注】研究函數(shù)的單調(diào)性一般有兩種方法，即定義法和導(dǎo)數(shù)法.定義法是基礎(chǔ)，掌握定義法的關(guān)鍵是作差（f（x2）-f（x1）），運(yùn)算的結(jié)果可以判斷正、負(fù).本題判斷正、負(fù)的依據(jù)是代數(shù)式“x1x2-a”，處理這個(gè)代數(shù)式的符號(hào)是一個(gè)難點(diǎn)，要有一定的數(shù)學(xué)功底作基礎(chǔ).把x1、x2看成自變量，則轉(zhuǎn)化為判斷“x2-a”的符號(hào)，于是轉(zhuǎn)化為判斷“x”的符號(hào)，自然過(guò)渡到x=

是函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn).19【評(píng)注】研究函數(shù)的單調(diào)性一般有兩種方法，即定義法和導(dǎo)20第二種方法是導(dǎo)數(shù)法.導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)圖象上某點(diǎn)的切線斜率的變化大小的，當(dāng)某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0時(shí)，斜率為0，所以導(dǎo)數(shù)為0是函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)，用導(dǎo)數(shù)法可以克服推理運(yùn)算中的難點(diǎn).掌握導(dǎo)數(shù)法在函數(shù)單調(diào)性研究中的運(yùn)用，能收到事半功倍的效果.20第二種方法是導(dǎo)數(shù)法.導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)圖象上某點(diǎn)的切線斜21

判斷函數(shù)

（a,b＞0，a≠b）的單調(diào)性.

原函數(shù)化為

設(shè)

=c，得

且c＞0且c≠1.21判斷函數(shù)22

設(shè)x1＜x2，則

因?yàn)楫?dāng)c＞1時(shí)，

則

當(dāng)0＜c＜1時(shí)，

則

所以不論c＞1還是0＜c＜1，恒有f（x2）＞f（x1）.

故f（x）是R上的增函數(shù).22設(shè)x1＜x2，則23

題型2復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間.

由4+3x-x2>0，得-1<x<4.令u（x）=4+3x-x2=則原函數(shù)化為易知，當(dāng)x∈（-1,］時(shí)，u（x）是增函數(shù)；23題型2復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間24

當(dāng)x∈［

,4）時(shí),u（x）是減函數(shù).

故當(dāng)-1<x1<x2≤

時(shí)，因?yàn)閡（x）是增函數(shù)，所以0<u（x1）<u（x2），所以y1>y2;當(dāng)

≤x1<x2<4時(shí),因?yàn)閡（x）是減函數(shù)，所以u(píng)（x1）>u（x2）>0，所以y1<y2.

故函數(shù)

在（-1,

］上是減函數(shù)，在［

,4）上是增函數(shù).24當(dāng)x∈［,4）時(shí),u（x）是減函數(shù).25

【評(píng)注】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解可分為四步：①求函數(shù)的定義域；②把復(fù)合函數(shù)分解成兩個(gè)常見(jiàn)函數(shù)，本題中，u（x）=4+3x-x2是二次函數(shù)，

是對(duì)數(shù)函數(shù)；③分別求各函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.本題中，u（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為［,4），單調(diào)遞增區(qū)間為（-1,］，是（0,+∞）上的減函數(shù)；④根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷法則寫出單調(diào)區(qū)間.25【評(píng)注】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解可分為四步：①求函數(shù)26

求函數(shù)f（x）=loga（3-2x-x2）（0<a<1）的單調(diào)區(qū)間.

設(shè)u=3-2x-x2>0，則x∈（-3,1）.由于函數(shù)u的圖象的對(duì)稱軸為直線x=-1,

所以函數(shù)u在［-1,1）上是減函數(shù)，在

（-3,-1］上是增函數(shù).又因?yàn)楹瘮?shù)y=logau（0<a<1）是減函數(shù),

所以函數(shù)f（x）=loga（3-2x-x2）（0<a<1）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-3,-1］，單調(diào)遞增區(qū)間是［-1,1）.26求函數(shù)f（x）=loga（3-2x-x2）（27

題型3

利用單調(diào)性討論參數(shù)的值若函數(shù)y=log2（x2-ax+3a）在［2,+∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

設(shè)u=x2-ax+3a>0，則函數(shù)u在［

,+∞）上是增函數(shù).又y=log2u是增函數(shù)，27題型3利用單調(diào)性討論參數(shù)的值28根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，要使函數(shù)y=log2（x2-ax+3a）在［2,+∞）上是增函數(shù)，只需即

即解得-4<a≤4.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-4,4］.28根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，要使函數(shù)y=log2（x2-a29

【評(píng)注】利用函數(shù)單調(diào)性討論參數(shù)的取值范圍是高考試題考查能力的知識(shí)結(jié)合點(diǎn)，一般要弄清三個(gè)環(huán)節(jié)：（1）考慮函數(shù)的定義域，保證研究過(guò)程有意義.本題中，不能忽視u=x2-ax+3a>0;（2）保證常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與題目給出的單調(diào)區(qū)間的同一性.本題中，［

,+∞）上是單調(diào)增區(qū)間與［2,+∞）一致；（3）注意防止擴(kuò)大參數(shù)的取值范圍，本題中，u（2）>0.29【評(píng)注】利用函數(shù)單調(diào)性討論參數(shù)的取值范圍是高考試題考30

已知函數(shù)y=loga（2-ax）在［0,1］上是x的減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

設(shè)u=2-ax>0.因?yàn)閍>0,所以u(píng)=2-ax為減函數(shù).要使函數(shù)y=loga（2-ax）在［0,1］上是減函

解得1<a<2.

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1,2）.數(shù)，只需30已知函數(shù)y=loga（2-ax）在［0,31

題型4

函數(shù)的值域與最值

已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x2+2ax-3-a.如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［-1,1］上有最大值4，求a的值.

二次函數(shù)f（x）的圖象的對(duì)稱軸方程為x=-a.（1）當(dāng)-a≤0，即a≥0時(shí)，［f（x）］max=f（1）=a-2=4,得a=6；（2）當(dāng)-a>0，即a<0時(shí)，

［f（x）］max=f（-1）=-3a-2=4，所以a=-2.

綜上，得a=-2或a=6.31題型4函數(shù)的值域與最值32

【評(píng)注】函數(shù)是否存在最值，取決于函數(shù)的特征和函數(shù)的定義域.本題是二次函數(shù)，在全體實(shí)數(shù)上，存在最大或最小值；單調(diào)函數(shù)在定義域的子閉區(qū)間上一定存在最值，且最值在閉區(qū)間的端點(diǎn)處取得.如果函數(shù)中出現(xiàn)了參數(shù)，應(yīng)當(dāng)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論.32【評(píng)注】函數(shù)是否存在最值，取決于函數(shù)的特征和函數(shù)的定33

函數(shù)f（x）=ax+loga（x+1）在［0，1］上的最大與最小值的和為a，求a的值.

若a>1，則f（x）為增函數(shù)，所以［f（x）］max=a+loga2,［f（x）］min=1.依題意,得a+loga2+1=a,即loga2=-1,解得a=

，矛盾.當(dāng)0<a<1時(shí)，則f（x）為減函數(shù)，所以［f（x）］min=a+loga2,［f（x）］max=1.依題意，得a+loga2+1=a,于是a=

.33函數(shù)f（x）=ax+loga（x+1）在［34

題型5

抽象函數(shù)的單調(diào)性

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?/p>

（0，+∞），當(dāng)x>1時(shí)，f（x）>0，且對(duì)于任意的正數(shù)x,y都有f（xy）=f（x）+f（y）.

（1）證明：函數(shù)f（x）在定義域上是增函數(shù)；

（2）如果f（2）=1且f（x）+f（8x-4）≥2，求x的取值范圍.34題型5抽象函數(shù)的單調(diào)性35（1）證明：設(shè)0<x1<x2.則f（x2）-f（x1）=f（

·x1）-f（x1）=

f（

）+f（x1）-f（x1）=f（

）.因?yàn)?/p>

>1，所以f（

）>0,所以f（x2）－f（x1）>0.故f（x）在定義域上是增函數(shù).35（1）證明：設(shè)0<x1<x2.36

（2）因?yàn)閒（x）+f（8x-4）=f（8x2-4x）≥2

=f（2）+f（2）

=f（4）,所以x滿足

解得x≥1.故實(shí)數(shù)x的取值范圍是［1,+∞）.36（2）因?yàn)閒（x）+f（8x-4）=f（8x2-4x）37

【評(píng)注】抽象函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題的特點(diǎn)是：（1）給出定義域；（2）給出滿足函數(shù)意義的表達(dá)式（本題是f（xy）=f（x）+f（y））；（3）討論函數(shù)的單調(diào)性和不等式求解等問(wèn)題.處理方法：（1）在定義域內(nèi)任意取值，找出某些具體的函數(shù)值，如f（1）等；（2）抓住關(guān)系式，如f（xy）=f（x）+f（y），進(jìn)行適當(dāng)?shù)馁x值和配湊；（3）從函數(shù)值的大小關(guān)系中，根據(jù)單調(diào)性，脫掉函數(shù)符號(hào)，轉(zhuǎn)化為自變量間的大小關(guān)系，但要注意自變量的取值必須在定義域內(nèi)，最后通過(guò)解不等式（組）來(lái)完成.37【評(píng)注】抽象函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題的特點(diǎn)是：（1）給出定義域38

定義在R上的函數(shù)y=f（x）,

f（0）≠0.當(dāng)x>0時(shí)，f（x）>1，且對(duì)任意的x,y∈R都有f（x+y）=f（x）·f（y）.（1）證明：對(duì)任意的x∈R，f（x）>0；（2）證明：f（x）是R上的增函數(shù)；（3）若f（x）·f（x2+x）<1，求x的取值范圍.

（1）證明：令x=y=0，

得f（0）=f（0）·f（0），所以f（0）=1.38定義在R上的函數(shù)y=f（x）,f（0）39令y=-x，得f（x）·f（-x）=1，所以f（x）=

.設(shè)x<0，則-x>0，所以由f（-x）>1,得f（x）=

>0.故對(duì)任意的x∈R，f（x）＞0.（2）證明：設(shè)x1<x2,39令y=-x，得f（x）·f（-x）=1，所以f（40則f（x2）-f（x1）=f（x2-x1+x1）-f（x1）

=f（x2-x1）f（x1）-f（x1）

=［f（x2-x1）-1］f（x1）.因?yàn)閤2-x1>0，所以f（x2-x1）>1,且f（x1）>0,所以f（x2）-f（x1）>0，故函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù).（3）由f（x）·f（x2+x）=f（x2+2x）<1

=

f（0），得x2+2x<0，解得-2<x<0.所以x的取值范圍是（-2,0）.40則f（x2）-f（x1）=f（x2-x1+x1）-f（x41

1.判斷函數(shù)的單調(diào)性（1）定義法：給定區(qū)間D上的函數(shù)f（x），若對(duì)x1,x2∈D且x1<x2，都有f（x2）>

f（x1）（或f（x2）<f（x1）），則函數(shù)f（x）在D上是增函數(shù)（或減函數(shù)）.與定義等價(jià)的判斷，如對(duì)x1,x2∈D，若

（或［f（x2）-f（x1）］（x2-x1）>0），則函數(shù)f（x）在D上是增函數(shù)；411.判斷函數(shù)的單調(diào)性42（2）導(dǎo)數(shù)法：設(shè)f（x）定義在區(qū)間D上，求f′（x），對(duì)x∈D，若f′（x）>0（<0），則函數(shù)f（x）在D上是增函數(shù)（減函數(shù)）.注意若已知函數(shù)的單調(diào)性，用導(dǎo)數(shù)法求參數(shù)的取值范圍時(shí)，應(yīng)令f′（x）≥0或f′（x）≤0，否則極可能漏解.42（2）導(dǎo)數(shù)法：設(shè)f（x）定義在區(qū)間D上，求f′（x）43

2.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可能是連續(xù)的，也可能是離散的，離散的單調(diào)區(qū)間中間分別用“，”分開(kāi)，如f（x）=，有兩段離散的減區(qū)間（-∞,0）,（0,+∞），不能表示成（-∞,0）∪（0,+∞）.單調(diào)函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)局部概念，定義域整體上可能并不具有單調(diào)性，所以，單調(diào)性只是函數(shù)在某一區(qū)間上的“整體”性質(zhì)的表現(xiàn).432.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間44

3.函數(shù)的最值函數(shù)的最值問(wèn)題與函數(shù)的值域問(wèn)題既相近，也有區(qū)別.一個(gè)函數(shù)可能有最值，也可能沒(méi)有最值，但函數(shù)的值域是一定存在的.設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若存在實(shí)數(shù)m，滿足對(duì)任意的x∈D，有f（x）≤M，且存在x0∈D使得f（x0）=M，則M是函數(shù)f（x）的最大值.如果沒(méi)有x0∈D，使得f（x0）=M，則函數(shù)f（x）無(wú)最大值，此時(shí)，M稱為函數(shù)值域的上界.如嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)在開(kāi)區(qū)間上是沒(méi)有最值的.443.函數(shù)的最值45

4.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)y=f［u（x）］稱為復(fù)合函數(shù)，其中u（x）稱為“內(nèi)層函數(shù)”，y=f（u）稱為“外層函數(shù)”.“內(nèi)、外層函數(shù)”的單調(diào)性相同時(shí)，函數(shù)y=f［u（x）］是增函數(shù)，相反時(shí)，函數(shù)y=f［u（x）］是減函數(shù).簡(jiǎn)稱為“同增異減”.在討論復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，定義域是不能忽視的，要注意內(nèi)層函數(shù)的值域是外層函數(shù)的定義域.454.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性46在復(fù)合函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題中，對(duì)參數(shù)的討論是一個(gè)難點(diǎn)，因?yàn)閰?shù)所具有的性質(zhì)與單調(diào)區(qū)間有直接關(guān)系，因此要注意兩點(diǎn)：一是確保單調(diào)區(qū)間上函數(shù)有意義；二是根據(jù)單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為不等式（組）問(wèn)題求解.46在復(fù)合函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題中，對(duì)參數(shù)的討論是一個(gè)難點(diǎn)，因?yàn)?7

1.（2009·遼寧