(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納學(xué)案專題05函數(shù)5.7《對稱性與周期性》（解析版）

專題四《函數(shù)》學(xué)案5.7對稱性與周期性知識梳理.對稱性與周期性1.軸對稱：①f(x)=f(-x)，關(guān)于x=0對稱②f(a+x)=f(a-x)，關(guān)于x=a對稱③f(a+x)=f(b-x)，關(guān)于x=SKIPIF1<0對稱2.中心對稱：①f(x)-f(-x)=0，關(guān)于(0,0)對稱②f(a+x)-f(a-x)=0，關(guān)于(a,0)對稱③f(a+x)-f(a-x)=2b，關(guān)于(a,b)對稱3.周期性：①f(x)=f(x+T)，最小正周期為T，有多個對稱軸，有多個對稱中心.②f(x+a)=f(x+b)，T=lb-al③f(x+a)=-f(x+b)，T=2lb-al④f(x+a)=±SKIPIF1<0，T=l2al題型一.軸對稱1．已知函數(shù)f（x）＝f（2﹣x），x∈R，當(dāng)x∈[1，+∞）時，f（x）為增函數(shù)．設(shè)a＝f（1），b＝f（2），c＝f（﹣1），則a，b，c的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：∵f（x）＝f（2﹣x），∴函數(shù)的圖象關(guān)于x＝1對稱，當(dāng)x∈[1，+∞）時，f（x）為增函數(shù)，∴f（3）＞f（2）＞f（1），a＝f（1），b＝f（2），c＝f（﹣1）＝f（3），則a＜b＜c．故選：D．2．定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（1+x）＝f（1﹣x），且當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）＝x（3﹣2x），則f（312A．﹣1 B．?12 C．1【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）滿足f（1+x）＝f（1﹣x），則有f（﹣x）＝f（x+2），又由f（x）為奇函數(shù)，則f（x+2）＝﹣f（x），則有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)，則f（312）＝f（?12+16）＝f（?12）＝﹣f（12）＝﹣[1故選：A．3．已知定義域為R的函數(shù)f（x）在[1，+∞）單調(diào)遞增，且f（x+1）為偶函數(shù)，若f（3）＝1，則不等式f（2x+1）＜1的解集為（）A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x+1）為偶函數(shù)，則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，又由函數(shù)f（x）在[1，+∞）單調(diào)遞增且f（3）＝1，則f（2x+1）＜1?f（2x+1）＜f（3）?|2x|＜2，解可得：﹣1＜x＜1，即不等式的解集為（﹣1，1）；故選：A．題型二.中心對稱1．已知函數(shù)f（2x+1）是奇函數(shù)．則函數(shù)y＝f（2x）的圖象成中心對稱的點為（）A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（12，0） D．（?【解答】解：∵函數(shù)f（2x+1）是奇函數(shù)，∴f（﹣2x+1）＝﹣f（2x+1）令t＝1﹣2x，代入可得f（t）+f（2﹣t）＝0，∴函數(shù)f（x）關(guān)于（1，0）對稱，則函數(shù)y＝f（2x）的圖象成中心對稱的點為（12故選：C．2．已知函數(shù)f（x﹣1）（x∈R）是偶函數(shù)，且函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（1，0）成中心對稱，當(dāng)x∈[﹣1，1]時，f（x）＝x﹣1，則f（2019）＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x﹣1）（x∈R）是偶函數(shù)，則函數(shù)f（x）的對稱軸為x＝﹣1，則有f（x）＝f（﹣2﹣x），又由函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（1，0）成中心對稱，則f（x）＝﹣f（2﹣x），則有f（﹣2﹣x）＝﹣f（2﹣x），即f（x+4）＝﹣f（x），變形可得f（x+8）＝f（x），則函數(shù)是周期為8的周期函數(shù)，f（2019）＝f（3+252×8）＝f（3）＝﹣f（﹣1）＝﹣（﹣1﹣1）＝2；故選：D．3．（2016·全國2）已知函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（﹣x）＝2﹣f（x），若函數(shù)y=x+1x與y＝f（x）圖象的交點為（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），則i=1m（xiA．0 B．m C．2m D．4m【解答】解：函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（﹣x）＝2﹣f（x），即為f（x）+f（﹣x）＝2，可得f（x）關(guān)于點（0，1）對稱，函數(shù)y=x+1x，即y＝1即有（x1，y1）為交點，即有（﹣x1，2﹣y1）也為交點，（x2，y2）為交點，即有（﹣x2，2﹣y2）也為交點，…則有i=1m（xi+yi）＝（x1+y1）+（x2+y2）+…+（xm+y=12[（x1+y1）+（﹣x1+2﹣y1）+（x2+y2）+（﹣x2+2﹣y2）+…+（xm+ym）+（﹣xm+2﹣y＝m．故選：B．題型三.周期性1．已知函數(shù)f（x）=log0.5A．45 B．23 C．12【解答】解：∵f（x）=lo當(dāng)x＞0時，f（x+8）＝f（x），則f（2019）＝f（3）=?1故選：C．2．（2017?山東）已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（x+4）＝f（x﹣2）．若當(dāng)x∈[﹣3，0]時，f（x）＝6﹣x，則f（919）＝6．【解答】解：由f（x+4）＝f（x﹣2）．則f（x+6）＝f（x），∴f（x）為周期為6的周期函數(shù)，f（919）＝f（153×6+1）＝f（1），由f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，則f（1）＝f（﹣1），當(dāng)x∈[﹣3，0]時，f（x）＝6﹣x，f（﹣1）＝6﹣（﹣1）＝6，∴f（919）＝6，故答案為：6．3．（2018?新課標(biāo)Ⅱ）已知f（x）是定義域為（﹣∞，+∞）的奇函數(shù)，滿足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（）A．﹣50 B．0 C．2 D．50【解答】解：∵f（x）是奇函數(shù)，且f（1﹣x）＝f（1+x），∴f（1﹣x）＝f（1+x）＝﹣f（x﹣1），f（0）＝0，則f（x+2）＝﹣f（x），則f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)，∵f（1）＝2，∴f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（1﹣2）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，f（4）＝f（0）＝0，則f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+0﹣2+0＝0，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）＝f（1）+f（2）＝2+0＝2，故選：C．題型四.對稱性與周期性綜合1．（2017?新課標(biāo)Ⅰ）已知函數(shù)f（x）＝lnx+ln（2﹣x），則（）A．f（x）在（0，2）單調(diào)遞增 B．f（x）在（0，2）單調(diào)遞減 C．y＝f（x）的圖象關(guān)于直線x＝1對稱 D．y＝f（x）的圖象關(guān)于點（1，0）對稱【解答】解：f（x）的定義域為（0，2），f（x）＝ln[x（2﹣x）]＝ln（﹣x2+2x），故f（x）在（0，1）上遞增，在（1，2）上遞減，A，B錯．∵f（2﹣x）＝ln（2﹣x）+lnx＝f（x），∴y＝f（x）的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，C正確，D錯誤．故選：C．2．（2019?涪城區(qū)校級模擬）設(shè)f（x）是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，滿足條件y＝f（x+1）是偶函數(shù)，且當(dāng)x≥1時，f（x）＝（12）x﹣1，則a＝f（log32），b＝f（﹣log312），cA．a(chǎn)＞b＞c B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞b＞a【解答】解：∵y＝f（x+1）是偶函數(shù)，∴f（﹣x+1）＝f（x+1），即函數(shù)f（x）關(guān)于x＝1對稱．∵當(dāng)x≥1時，f（x）＝（12）x﹣∵f（log32）＝f（2﹣log32）＝f（log392且?log31log34＜log392∴b＞a＞c，故選：C．3．（2018秋?余姚市校級月考）已知函數(shù)f（x）滿足f（2﹣x）＝f（x）（x∈R），且對任意x1，x2∈[1，+∞）（x1≠x2）的時，恒有f(x1)?f(x2)x1?x2＜0成立，則當(dāng)f（2a2+A．（23，+∞） B．（?∞，C．（23，1） D．（23，1）【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）滿足f（2﹣x）＝f（x），則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，又由對任意x1，x2∈[1，+∞）（x1≠x2）的時，恒有f(x1)?f(x2)x又由2a2+a+2＝2（a+14）2+158＞1，2a2﹣2a+4＝2（a若f（2a2+a+2）＜f（2a2﹣2a+4），則有2a2+a+2＞2a2﹣2a+4，解可得a＞23，即a的取值范圍為（23故選：A．4．（2016?湖南校級模擬）已知函數(shù)y＝f（x）的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，且在[1，+∞）上單調(diào)遞減，f（0）＝0，則f（x+1）＞0的解集為（）A．（1，+∞） B．（﹣1，1） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【解答】解：由f（x）的圖象關(guān)于x＝1對稱，f（0）＝0，可得f（2）＝f（0）＝0，當(dāng)x+1≥1時，f（x+1）＞0，即為f（x+1）＞f（2），由f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，可得：x+1＜2，解得x＜1，即有0≤x＜1①當(dāng)x+1＜1即x＜0時，f（x+1）＞0，即為f（x+1）＞f（0），由f（x）在（﹣∞，1）上單調(diào)遞增，可得：x+1＞0，解得x＞﹣1，即有﹣1＜x＜0②由①②，可得解集為（﹣1，1）．故選：B．5．（2019?新課標(biāo)Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為R，滿足f（x+1）＝2f（x），且當(dāng)x∈（0，1]時，f（x）＝x（x﹣1）．若對任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥?89，則A．（﹣∞，94] B．（﹣∞，73] C．（﹣∞，52] D．（﹣∞【解答】解：因為f（x+1）＝2f（x），∴f（x）＝2f（x﹣1），∵x∈（0，1]時，f（x）＝x（x﹣1）∈[?1∴x∈（1，2]時，x﹣1∈（0，1]，f（x）＝2f（x﹣1）＝2（x﹣1）（x﹣2）∈[?1∴x∈（2，3]時，x﹣1∈（1，2]，f（x）＝2f（x﹣1）＝4（x﹣2）（x﹣3）∈[﹣1，0]，當(dāng)x∈（2，3]時，由4（x﹣2）（x﹣3）=?89解得x=73若對任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥?89，則m故選：B．6．（2009?山東）已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x﹣4）＝﹣f（x），且在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，若方程f（x）＝m（m＞0）在區(qū)間[﹣8，8]上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，則x1+x2+x3+x4＝﹣8．【解答】解：∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（x﹣4）＝﹣f（x）＝f（﹣x），∴f（x）的圖象關(guān)于直線x＝﹣2對稱，又f（x﹣4）＝﹣f（x），∴f（x）＝﹣f（x+4），∴f（x﹣4）＝f（x+4），∴f（x）周期為8，作出f（x）的大致函數(shù)圖象如圖：由圖象可知f（x）＝m的4個根中，兩個關(guān)于直線x＝﹣6對稱，兩個關(guān)于直線x＝2對稱，∴x1+x2+x3+x4＝﹣6×2+2×2＝﹣8．故答案為：﹣8．課后作業(yè).函數(shù)性質(zhì)1．若函數(shù)f（x）＝1+2x+12x+1+sinx在區(qū)間[﹣k，k]（k＞0）上的值域為[m，A．0 B．1 C．2 D．4【解答】解：f（x）＝1+2x+12x+1+sinf（﹣x）＝3?22?x+1+sin（﹣∴f（x）+f（﹣x）＝4，所以f（x）是以點（0，2）為對稱中心，所以其最大值與最小值的和m+n＝4．故選：D．2．設(shè)函數(shù)f（x）＝x3?1x3，則fA．是奇函數(shù)，且在（0，+∞）單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在（0，+∞）單調(diào)遞減 C．是偶函數(shù)，且在（0，+∞）單調(diào)遞增 D．是偶函數(shù)，且在（0，+∞）單調(diào)遞減【解答】解：因為f（x）＝x3?1則f（﹣x）＝﹣x3+1x3=?f（x），即根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可知，y＝x3在（0，+∞）為增函數(shù)，故y1=1x3在（0，+∞）為減函數(shù)，y2=?所以當(dāng)x＞0時，f（x）＝x3?1故選：A．3．已知f（x）是定義域為（﹣∞，+∞）的奇函數(shù)，f（x+1）是偶函數(shù)，且當(dāng)x∈（0，1]時，f（x）＝﹣x（x﹣2），則（）A．f（x）是周期為2的函數(shù) B．f（2019）+f（2020）＝﹣1 C．f（x）的值域為[﹣1，1] D．y＝f（x）在[0，2π]上有4個零點【解答】解：對于A，f（x）為R上的奇函數(shù)，f（x+1）為偶函數(shù)，所以f（x）圖象關(guān)于x＝1對稱，f（2+x）＝f（﹣x）＝﹣f（x）即f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x）則f（x）是周期為4的周期函數(shù)，A錯誤；對于B，f（x）定義域為R的奇函數(shù)，則f（0）＝0，f（x）是周期為4的周期函數(shù)，則f（2020）＝f（0）＝0；當(dāng)x∈（0，1]時，f（x）＝﹣x（x﹣2），則f（1）＝﹣1×（1﹣2）＝1，則f（2019）＝f（﹣1+2020）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1，則f（2019）+f（2020）＝﹣1，故B正確．對于C，當(dāng)x∈（0，1]時，f（x）＝﹣x（x﹣2），此時有0＜f（x）≤1，又由f（x）為R上的奇函數(shù)，則x∈[﹣1，0）時，﹣1≤f（x）＜0，f（0）＝0，函數(shù)關(guān)于x＝1對稱，所以函數(shù)f（x）的值域[﹣1，1]．故C正確．對于D，∵f（0）＝0，且x∈（0，1]時，f（x）＝﹣x（x﹣2），∴x∈[0，1]，f（x）＝﹣x（x﹣2），∴x∈[1，2]，2﹣x∈[0，1]，f（x）＝f（2﹣x）＝﹣x（x﹣2），∴x∈[0，2]，f（x）＝﹣x（x﹣2），∵f（x）是奇函數(shù)，∴x∈[﹣2，0]，f（x）＝x（x+2），∵f（x）的周期為4，∴x∈[2，4]，f（x）＝（x﹣2）（x﹣4），∴x∈[4，6]，f（x）＝﹣（x﹣4）（x﹣6），∴x∈[6，2π]，f（x）＝（x﹣6）（x﹣8），根據(jù)解析式，可得x∈[0，π]上有4個交點，故D正確．故選：BCD．4．設(shè)函數(shù)f（x）＝lg（1+|2x|）?11+x4，則使得f（3x﹣2）＞f（xA．（13，1） B．（﹣1，3C．（﹣∞，32） D．（﹣∞，﹣1）∪（32，+【解答】解：f（x）＝ln（1+|2x|）?11+x∵f（﹣x）＝f（x），∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f（x）＝ln（1+2x）?1根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)可知：得f（3x﹣2）＞f（