孿生素數(shù)與哥德巴赫猜想的證明

孿生素數(shù)與哥德巴赫猜想的證明TwinprimenumberandtheGoldbachconjecturecertificateJiaoHongbin【】Betoapplythevegetablethattheauthorplainestablishestodifferentiatebetweenlawmainlyinculture,elementarycomingtogiveatwinoutaprimenumbercertificateandGoldbachconjecturecorrectnesshavingboundlessmultiple-twinprovesthat.在本文的論述過程中，除特別規(guī)定外，需作出的某些說明，以約定示之。約定1：本文中所說的數(shù)（包括奇根與偶根）都是正整數(shù)；素數(shù)即質數(shù)；奇素數(shù)與奇合數(shù)都簡稱為素數(shù)與合數(shù)；數(shù)列是指無重復數(shù)的遞增無窮正整數(shù)列；非負整數(shù)集記作N；正整數(shù)集記作N+；[X]表示不超過實數(shù)X的最大整數(shù)；a、b、m、n、u、au^N+。引言等差數(shù)列（A）：,5,7,…，其通項公式可寫為an=l+2n。研究數(shù)列（A）,創(chuàng)立一種新的素數(shù)判定方法，給出孿生素數(shù)有無限多對的證明以及哥德巴赫猜想正確性的初等證明,就是本文的主要目的和任務。本文的主要結果是數(shù)學四定理；1.定理1.6；2.定理2.3；3.定理3.13與3.14?，F(xiàn)論述如下：定義1.1設數(shù)列（A）中的任一個奇數(shù)N=l+2n,則n=12（N-l）叫做奇數(shù)N的根，或簡稱為奇根。記作奇根n或在十分明確的情況下就記作n。由奇根n確定的奇數(shù)N也記作N（n）。當N是素數(shù)時，n叫做素數(shù)N的根，或簡稱為素根。記作素根n；當N是合數(shù)時，n叫做合數(shù)N的根，或簡稱為合根。記作合根n。全體奇根組成的數(shù)列：1，2，3，…叫做奇根列。約定2：本文中的奇根與奇根及偶根與偶根都稱為同根，不是同根的兩個根稱為異根；自然數(shù)的加、減、乘、除法都適用于本文中的求同根、異根、自然數(shù)與同根或異根以及自然數(shù)之間的和、差、積、商運算及四則運算式，其運算結果，文中用文字說明或稱號表示為奇（素、合或偶）根，未作文字說明或未用符號表示的運算結果則表示奇根；自然數(shù)的大小比較適用于本文中同根或異根的大小比較。定義1.2設奇根Cm,n=2mn+m+n,若取定m=l后，取n=l,2,…，得到數(shù)列｛C1,n｝；…；次取定m=2后，取n=1,2,…,得到數(shù)列｛C2,n｝； 。把上述數(shù)列中的所有數(shù)，按m=1,2,…的順序列在一個表中，那么，這個表就叫做合根表（見表1）。合根表中全體數(shù)的集合記作集中C。若b是（不是）集合C中的數(shù)，則記作be（?玻?C。表1：nCm,nm123456789…14710131619222528…271217222732374247…3101724313845525966…4132231404958677685…51627384960718293104…?螃螃螃螃螃螃螃螃螃?依定義1.2與表1，我們即得定理1.1表1中的數(shù)有下列性質：1)Cm,n=Cn,m；2)Cm,n2n(n+1)=Cn,n[2]中解放出來。為了便于應用與記憶，上述定義與定理，我們統(tǒng)稱為素根判定法。其應用是十分廣泛的。下面的定理，多數(shù)是素根判別法應用的結果。定理1.7素根有無限多個。證明：用反證法。假設素根只有有限的u個，設最大的素根為au，則依定義1.1知，N(au)是素數(shù)。依定理1.6得aun(mod2n+1),n=1,2,???，12(N(au)-1)都成立。適當選擇一個奇根C,使au+Cn(mod2n+1),n=1,2,???，12(N(au+C)-1)都成立。依定理1.6知，N(au+C)是素數(shù)。依定義1.1知，au+C是素根且au+C〉au。故假設不真。.??定理成立。證畢。依定理1.7與定義1.1，我們即得定理1.8素數(shù)有無限多個。定義2.1設Cl 證明：設2WC1VC2VC3是任意三個連續(xù)奇根，用3去除Cl、C2、C3,則Cl、C2、C3的余數(shù)都等于0、1、2中的一個數(shù)，并且互不相同°???Ci三1(mod3),i=1,2,3必有一個成立。不妨設C3三1(mod3)成立。依定理1.4與定義1.1知，N(C3)是合數(shù)，C3是合根。.??依定義2.1知，定理成立。證畢。依定理2.1、定義2.1與1.1，我們即得定理2.2不小于5的任意三個連續(xù)奇數(shù)不全是素數(shù)。定義2.2設N(a1)2)是兩個素數(shù)，若N(a2)=N(a1)+2，則稱N(a1)與“(a2)是一對孿生素數(shù)或孿生素數(shù)，a1與a2是一對孿生素根或孿生素根。定理2.3孿生素數(shù)有無限多對。證明：用反證法。假設孿生素數(shù)只有有限的u對。設最大的那對孿生素數(shù)為N(au-1)與“(zu)，則依定義2.2與假設知,au-1與au是最大的一對孿生素根。依定理1.6得，aun(mod2n+1)，n=1,2???，12(N(au)-1)都成立。適當選擇兩個連續(xù)的奇根C1、C2(C1N(au+C1)>N(au)。故假設不真。.??定理成立。證畢。這樣，我們就用了作者原創(chuàng)的素根判別法，首開世界歷史之先河，簡明地證明了困惑數(shù)學界一百多年的孿生素數(shù)猜想［3］。依定理2.3與定義2.2，我們就證明了定理2.4孿生素根有無限多對。顯然，仿照定理2.3的證明，可以證明n(23)生素數(shù)(根)是否有無限多組(本文略)。這就是素根判別法的前瞻性。3定理3.13與3.14的證明約定4：下標函數(shù)m(x)、n(y)、w(x)與s(y)都是自變量x、yWN+的不同的整數(shù)函數(shù)，它們都是增函數(shù)，t、c、v、s、x'、x〃、y‘WN+。定義3.1設任一個不小于6的偶數(shù)M=2n，n23，則n-1二m叫做偶數(shù)M的根，或簡稱為偶根。記作偶根m或在十分明確的情況下就記作m。由偶根m確定的偶數(shù)M也記作M(m)。全體偶根組成的數(shù)列：2，3，4,…叫做偶根列。依定義1.1與3.1，我們即得定理3.1大于1的任一個奇根都等于一個偶根。定義3.2用3去除偶根列中的任一個偶根的余數(shù)r總滿足條件：oWrW2,然后把余數(shù)r相同的全體偶根組成一個偶根子數(shù)列(Mr)(oWrW2),即：偶根子數(shù)列(M0)，其通項公式可寫為m0t=3t；偶根子數(shù)列(Ml),其通項公式可寫為mlt=1+31；偶根子數(shù)列(M2)，其通項公式可寫為m2t=2+3t,tWN。那么，這樣得到的三個偶根子數(shù)列就統(tǒng)為偶根余數(shù)列。定義3.3用3去除奇根列中的任一個奇根的余數(shù)r總滿足條件：oWrW2，然后把余數(shù)r相同的全體奇根組成一個奇根數(shù)列(Nr)(oWrW2)，即：奇根子數(shù)列(N0)其通項公式可寫為nOt=31；奇根子數(shù)列(N1)，其通項公式可寫為nit=1+31，t<EN；奇根子數(shù)列(N2)，其通項公式可寫為n2t=2+3t,tWN。那么，這樣得到的三個奇根子數(shù)列就統(tǒng)稱為奇根余數(shù)列。定義3.4將奇根余數(shù)列中的每一個奇根子數(shù)列(Nr)(r=0,l,2)中的素根與合根分別組成一個數(shù)列，于是得到：奇根子數(shù)列(NO)中的：素根子數(shù)列(A0)，其通項可寫為a0m(x)=3m(x),m(x)^N+。合根子數(shù)列(B0)，其通項可寫為b0w(x)=3W(x)，W(X)eN+；奇根子數(shù)列(N1)中的：素根子數(shù)列(A1)，其中只有一個素根alO=l。合根子數(shù)列(B1)，其通項公式可寫為blt=l+31；奇根子數(shù)列(N2)中的：素根子數(shù)列(A2)，其通項可寫為a2n(y)=2+3n(y),n(y)^N。合根子數(shù)列(B2)，其通項可寫為b2a(y)=2+3s(y),s(y)^N+。那么，這樣得到的六個素、合根子數(shù)列(Ar)、(Br),r=0,1,2，就統(tǒng)稱為素合根余數(shù)列。定理3.2素根子數(shù)列(Ar)(r=0、2)中的素根有無限多個。證明：先證r=0時，定理成立。用反證法。假設素根子數(shù)列(A0)中的素根只有有限的u個，則依定義3.4,可設最大的那個素根為a0m(u)=3m(u)。適當選擇一個奇根3m,使3m(u)+3mn(mod2n+1),n=1,2,…，12(N(3m(u)+3m))T都成立。依定理1.6與定義1.1知，N(3m(u)+3m)是素數(shù)，3m(u)+3m是素根。依定義3.3與3.4矢口，3m(u)+3m=3m(s)=a0m(s)(m(u)+m=m(s))，且a0m(s)>a0m(u),故假設不真。???定理成立。依照上面的說明，可以證明r=2時，定理成立。證畢。定義3.5使r=0或2,tWN,art是素根子數(shù)列(Ar)中的任一素根，若存在一個素根a,對任意一個正整數(shù)n,使art+a?n都等于素根子數(shù)列(Ar)中的一個素根，那么，我們就稱素根子數(shù)列(Ar)中的素根分布是有規(guī)則的。若不然，則說素根子數(shù)列(Ar)中的素根分布是不規(guī)則的。依定義3.5，我們即得定理3.3素根子數(shù)列(Ar)(r=0,2)中的素根分布是不規(guī)則的。定義3.6，設0WrW2,brt是合根子數(shù)列(Br)中的任一個合根，若存在一個素根a,對任意一個正整數(shù)n,使brt+a?n都等于合根子數(shù)列(Br)中的一個合根，那么，我們就稱合根子數(shù)列(Br)中的合根分布是有規(guī)則的。若不然，則說合根子數(shù)列(Br)中的合根分布是不規(guī)則的。依定義3.6我們即得定理3.4合根子數(shù)列(Br)(r=0,2)中的合根分布是不規(guī)則的。定理3.5合根子數(shù)列(B1)中的合根分布是有規(guī)則的。證明：依定義3.4與定理1.4的推論及定義3.6知，定理成立。證畢。定義3.7由兩個素根a1、a2組成的數(shù)對叫做一個素根數(shù)對。記作(al,a2)。定義3.8設(al,a2)與(a3,a4)是兩個素根數(shù)對。若a1=a4,a2=a3或al二a3,a2二a4成立，則(al,a2)與(a3,a4)叫做相同的素根數(shù)對。若不然，則(a1,a2)與(a3,a4)叫做不同的素根數(shù)對。若n個素根數(shù)對中的任意兩個素根數(shù)對都是不同的素根數(shù)對，則這n個素根數(shù)對就叫做n個不同的素根數(shù)對。定義3.9設(a1,a2),(a3,a4),…，(a2nT,a2n)(n>1)是n個不同的素根數(shù)對，m是任一個偶根。若偶根m僅能由一個素根數(shù)對(a2u-1,a2u)(1WuWn)表示為一種兩個素根之和，即:m=a2u-1+a2u或m=a2u+a2u-1，則稱偶根m表示為兩個素根之和的表示方法為1，或簡稱為偶根m的表法為1。若偶根m僅能由n個不同的素根數(shù)對表示為n種不同的兩個素根之和，即：m=a1+a2=a3+a4= =a2n-1+a2n則稱偶根m表示為兩個素根之和的不同表示方法為n,或簡稱為偶根m的表法為n。定義3.10設0WrW2,tWN,mrt、art與brt分別是任意一個偶根、素根與合根，mrt二art或mrt二brt成立，則記作mrt(art或brt)(0WrW2)或在十分明確的情況下就記作mrt(art)(或art(mrt))或mrt)brt)(0WrW2)。定理3.6偶根2、3、4都是兩個素根之和。證明：依定義3.2、定理1.6的推論及定義3.4得，2=m20=a10+a10;3=m01=a10+a20；4=m11=a10+a01都是兩個素根之和。.??定理成立。證畢。定理3.7若mlt(blt)二a10+a0m(x)，則t二m(x)證明：???依定義3.2與3.4知，mlt(blt)=l+3t,al0+a0m(x)=l+3m(x)，又?mlt(b11)二a1O+aOm(t),?：t=m(x)。故定理成立。證畢。仿照定理3.7的證明，易證下列定理3.8—3.11成立(本文略)。定理3.8若mlt(blt)=a2n(y)+a2n(y)，則t二n(y)+n(y，)+1。依定理3.8與3.1及定義1.1與3.10，即得推論mlt(blt)-a2n(y)二m2tT-n(y)(a2tT-n(y)或b2t-1-n(y))。定理3.9若m2t(a21或b2t)=a0m(x)+a2n(y)，則t=m(x)+n(y)。依定理3.9與3.l及定義l.l與3.l0，即得推論m2t(a2t或b2t)-aOm(x)二m2t-m(x)(a2t-m(x)或b2t-m(x))。定理3.l0若mOt(a01或bOt)=al0+a2n(y),則t二n(y)+l。定理3.ll若mOt(aOt或bOt)=a0m(x)+a0m(x，),則t二m(x)+m(xz)o依定理3.ll與3.l及定義l.l與3.lO，即得推論mOt(aOt或bOt)-aOm(x)二mOt-m(x)(aOt-m(x)或bOt-m(x))o依定義3.9及定理3.7、3.8、3.9、3.lO與3.ll知，對相同的t,各類偶根mrt,r=O,l,2的表法是不盡相同的。如:m013=39=3+36=6+33=9+30=18+21，其表法為4;mll3=40=l+39=5+35=ll+29=14+26=20+20,其表法為5；m213=41=6+35=15+26=18+23=21+20=30+ll=33+8=36+5=39+2,其表法為8。等等。定理3.12任一個偶根n都是兩個素根之和。證明：用第二數(shù)學歸納法與螺旋式歸納法［4］。???依定義3.2知，偶根列可分為三個偶根子數(shù)列(Mr),r=0,1,2,???證明定理成立，可從這三個偶根子數(shù)列(Mr),r=0,1,2中的最小偶根開始證之,其中,偶根、素根與合根的符號表示由定義3.10給出。當n=2,3,4時,依定理3.6知,定理成立。①假設當4VKWmOt時，定理成立，即偶根列中，>4而WmOt的偶根K都是兩個素根之和成立。則當n二k+1二mOt+1二mlt時，依約定2及定理3.8,可設奇根子數(shù)列(N2)中，Vmlt的所有素根與合根的個數(shù)分別為a2與b2個。依定義3.3與3.4知：a2+b2=t。若a2>b2，依約定2,作差(D)：mlt-a2n(y),y=l,2,…，a2,0Wn(y)Vt。若這a2個差全等于合根，則依定理3.8的推論知，這a2個差全等于奇根子數(shù)列(N2)中Vmlt的合根。由a2>b2知，與所設奇根子數(shù)列(N2)中<山吐的所有合根只有b2個相矛盾。故這a2個差中至少有一個差等于素根。不妨設差：mlt-a2n(a)=a2n(b)，則n=k+1=m1t=a2n(a)+a2n(b)(t二n(a)+n(b)+1)是兩個素根之和。定理成立。若a2Wb2，由上面的證明知，只須證差(D)中有一個差等于素根即可。用反證法。若差(D)中的a2全等于合根，則依定理3.8的推論知m1t-a2n(y)=b2tT-n(y)(I)成立，其中y=1,2,…，a2,0Wn(y)WtT。依(I)式、定義1.1與定理3.1知mlt-a2n(y)二m2tT-n(y)(1)成立，其中y=1,2,…，a2,OWn(y)Wt-1。依①的歸納假設、(1)式及定理3.9知m2tT-n(y)二a0m(x)+a2n(y，)(2)成立，其中1Wy、y'Wa2,0Wn(y)、n(y')WtT,1WxWaO(a0是素根子數(shù)列(AO)中Vm1t的所有素根的個數(shù)，下同)，1Wm(x)Wt-1且t-1-n(y)二m(x)+n(y')。依定義1.1、定理3.1、定義3.10及(2)式知a2n(y)(m2n(y)=a0m(x)+a2n(yz)(3)成立，其中1WyWa2,1WxWaO,1Wy'Wa2且0Vn(y)=m(x)+n(yzXt-1。由于(2)式成立，因而一定可以取到滿足(2)式成立條件中的三個數(shù)：y=a,x=c，yz=b，使m2tT-n(a)二a0m(c)+a2n(b)(4)成立，其中t-1-n(a)=m(c)+n(b)。由于(3)式成立，因而一定可以取到滿足(3)式成立條件中的三個數(shù)：y二u,x二c,y‘二a，依定義3.10，使a2n(u)二a0m(c)+a2n(a)(5)成立，其中n(u)二m(c)+n(a)。于是在(1)式中，取滿足(1)式成立條件中的數(shù)y二a,依(4)式得mlt-a2n(a)=m2tT-n(a)二a0m(c)+a2n(b)°?：依(5)式得mlt二a2n(a)+a0m(c)+a2n(b)(是三個素根之和)二(a2n(a)+a0m(c))+a2n(b)=a2n(u)+a2n(b)(t二n(u)+n(b)+1)是兩個素根之和。?：m1t-a2n(u)二a2n(b)是一個素根。?：(1)式不成立。故假設差(D)中的a2個差全等于合根不真。.??定理成立。②假設當4VkWm11時，定理成立,即偶根列中，>4而Wm1t的偶根K都是兩個素根之和成立。則當n=K+1=m1t+1=m2t時，依約定2及定理3.9，可設奇根子數(shù)列(N0)((N2))中，Vm2t的所有素根與合根的個數(shù)分別是aO與bO(a2與b2)個。依定義3.3與3.4知：a0+b0(a2+b2)=t。若a0>b2，依約定2,作差(E):m2t-a0m(x),x=1,2,…，aO,1Wm(x)Wt。若這aO個差全等于合根，依定理3.9的推論知。這aO個差全等于奇根子數(shù)列(N2)中Vm2t的合根。由a0>b2知，與所設奇根子數(shù)列(N2)中Vm2t的所有合根只有b2個相矛盾。故這aO個差中至少有一個差等于素根。不妨設差：m2t-a0m(u)=a2n(v),則n=k+1=m21二a0m(u)+a2n(v)(t二m(u)+n(v))是兩個素根之和。定理成立。若aOWb2，由上面的證明知，只須證差(E)中有一個差等于素根即可。用反證法。若差(E)中的aO個差全等于合根，則依定理3.9的推論知m2t-aOm(x)二b2t-m(x)(II)成立，其中x=l,2,…，aO,lWm(x)Wt。依(II)式，定義1.1與定理3.1知m2t-a0m(x)=m2t-m(x)(6)成立，其中x=1,2,…，aO,1Wm(x)Wt。又依②的歸納假設、(6)式及定理3.9知m2t-m(x)=a0m(xz)+a2n(y)(7)成立，其中1Wx、x，WaO,1Wm(x)、m(x，)Vt,1WyWa2,0Wn(y)VtT且t-m(x)=m(xz)+n(y)o又依②的歸納假設、定義1.1、定理3.1、定義3.10及定理3.11知a0m(x)(m0m(x))=a0m(x，)+a0m(x〃)(8)成立，其中1Wx、x，、x〃WaO,1Wm(x)、m(x，)、m(x〃)W1且m(x)=m(xz)+m(x7)o由于(7)式成立，因而一定可以取到滿足(7)式成立條件中的三個數(shù)：x=a,x，二b,y二v使m2t-m(a)二a0m(b)+a2n(v)(9)成立，其中t-m(a)=m(b)+n(v)。由于(8)式成立，因而一定可以取到滿足(8)式成立條件中的三個數(shù)，x=u,x‘二a、x〃二b，依定義3.10，使a0m(u)=a0m(a)+aOm(b)(10)成立，其中m(u)=m(a)+m(b)。于是在(6)式中，取滿足(6)式成立條件中的數(shù)x=a,依(9)式得m2t-aOm(a)二m21-m(a)二a0m(b)+a2n(v)°?：依(10)式得m2t二a0m(a)+a0m(b)+a2n(v)(是三個素根之和)二(a0m(a)+a0m(b)+a2n(v)=a0m(u)+a2n(v)(t=m(u)+m(v))是兩個素根之和。??.m21-a0m(u)=a2n(v)是一個素根。??.(II)式不成立。故假設差(E)中的a0個差全等于合根不真。.??定理成立。若a2>b0或a2Wb0，依照上面的證明證之，知定理成立。③假設當4VkWm21時，定理成立,即偶根列中，>4而Wm21的偶根K都是兩個素根之和成立。則當n=k+1=m21+1二m01+1時，依約定2及定理3.11，可設奇根子數(shù)列(N0)中，Vm01+1的所有素根與合根的個數(shù)分別為a0與b0個。依定義3.3與3.4知：a0+b0=1。若a0>b0，依約定2，作差(F)：m01+1-a0m(x),x=1,2，…，a0,1Wm(x)W1。若這a0個差全等于合根，則依定理3.11的推論知，這a0個差全等于奇根子數(shù)列(N0)中Vm01+1的合根。由a0>b0知，與所設奇根子數(shù)列(N0)中Vm01+1的所有合根只有b0個相矛盾。故這a0個差中至少有一個差等于素根。不妨設差：m01+1-a0m(u)=a0m(v)，則n=k+1=m01+1二a0m(u)+a0m(v)(1+1=m(u)+m(v))是兩個素根之和。定理成立。若a0Wb0，由上面的證明知，只須證差(F)中有一個差等于素根即可。用反證法，若差(F)中的a0個差全等于合根，則依定理3.11的推論知m01+1-a0m(x)=b01+1-m(x)(III)成立，其中x=l,2,…，aO,lWm(x)Wt。依(III)式、定義1.1與定理3.1知mOt+1-a0m(x)=m0t+l-m(x)(l1)成立，其中x=l,2,…，aO,lWm(x)Wt。依③的歸納假設、(11)式及定理3.11知mOt+1-m(x)=a0m(xz)+a0m(x7)(12)成立，其中1WxWaO,lWx，、x〃依定義1.1、定理3.1、定義3.10及(12)式知a0m(x)(m0m(x)=a0m(x7)+a0m(x7)(13)成立，其中1WxWa0,1Wx，、x〃Va0,1Wm(x)、m(x，)、m(x〃)Wt且m(x)=m(xz)+m(x7)o由于(12)式成立，因而一定可以取到滿足(12)式成立條件中的三個數(shù):x=a,xz=b,x7=v,使mOt+1-m(a)=a0m(b)+a0m(v)(14)成立，其中t+1-m(a)二m(b)+m(v)。由于(13)式成立，因而一定可以取到滿足(13)式成立條件中的三個數(shù)：x=u,x‘二a,x〃二b,依定義3.10，使a0m(u)