高考數(shù)學復習壓軸題專題講解41 有關(guān)圓冪定理型壓軸題

(1,0)(1,0)高數(shù)習軸題解專

有圓理壓【法撥1.相交弦定理：如下左圖，圓O的條弦、PC相于圓內(nèi)一點，則

.2.切線定理如右圖，為的切線PAB、PCD為線，則定理：如下右圖、PCD為的割線，則

PA

（;3.割線說明：上述三個定理可以統(tǒng)一為

PO22

(其

是半徑統(tǒng)稱為圓冪定理.

D

O

OD【型示】例1

如圖，在平面直角坐標系xOy中已知點

(

，點P是圓：

x

2y

上的任意一點，過點作直線BT垂直于，垂足為，則PT的小值．1/

9T【分析】從題中已知尋求PA、間的關(guān)系是突破口，也是難點，思路一是從中長定理入手，二是直接使用圓冪定.【解法一】由中線長公式可得

PO

PA

2

2

)AB

2

，則

2

PB

2

P

2

2

2

，則

cosP

PA在Rt中PBP即PT

所以

PA

182

（當且僅當

PA

322

時取等）【解法二】BT⊥，∴點T的跡是圓，其程是+2=1，過點作該圓的切線PC，為切點，則=，切割線定理得：

PC

PA所以

PA

182

（當且僅當

PA

322

時取等點評：解法二中，先運用定直線張直角，得到隱圓，然后運用切割線定理得出定值，最后再使用本不等式予以解決，思路簡潔、解法明快.在關(guān)解析幾何的題目中，首先考慮相關(guān)的幾何性質(zhì)是解決這類問題的首選方向.例2

在平面直角坐標系xOy中已知Cx2(－＝為⊙C與負軸的交點，過A作⊙C弦AB記線段的點為M若OA＝，則直線AB的率_．B

4M

2A

CO

5101522/4

tt【答案】2【分析】看到“弦的中點”想到作“弦心距CMAB，故∠∠CM四點共圓AC為徑在外接圓中，使用正弦定理求出即.【解析】連結(jié)、，則CM，

，所以A在四邊形中∠CMA∠AOCo

，故OC、M四共圓，且AC為徑x

＋y1)

＝5中令y=0，得x，A（－2AC=即eq\o\ac(△,為)外圓的直徑，在△中，由正弦定理得：sinA

，＝OM=2所以sinA=

2

，所以A=2.故直線AB斜率為．例

在平面直角坐標系xOy中(1,0)的線l圓x

2

于,B兩點A點在第一象限，且

BM2MA，直線l的程為．【答案】yx1【分析】本題思路有下列幾種：①利用向量坐標設點轉(zhuǎn)化，點參法；②設直線方程的軸上的截距式，聯(lián)立方程組；③垂徑定理后二次解三角形；④相交弦定理；⑤利爪型構(gòu)得OM

OAOB

兩平求得AOB余弦值【解法一知直線l的率必存在，設直線l的方程為yk(x→→由M2MA設2tMAt.t如圖，過原點作⊥l于點H則BH.設在eq\o\ac(△,Rt)OBH中d2

t

2r25.eq\o\ac(△,Rt)OMH

2

21，3/

5，解之得t115，解之得t11222211→→則d2

k，解得k或k1.k1→→因為點在一象限，MAkl1.【解法二】

BM2MA

，設BMtMAtMM兩長為

5由相交弦定理得

2t2

2過原點O作OH⊥l于H在OBH中d2

3t

2r.→→(xBxy)M(1)MA(xyM2MA→→BMMA4/

121k12121k124k1211222211→→11yk(x1)22

2kyk(12y2kyk20ky2yy82kyk2kk11.→→【解法四】(xyBx)M(1)MA(x)3M2MA

x2y±1.A(2,1)AB1.5/

2212121522121215【固練在面直角坐標系xoy

中，是線

x

上的動點，以為圓心的圓M，若圓截

軸所得的弦長恒為4過點O作M的條切線，切點為，點P到線2最大值為.

距離的在平面角坐標系xOy中圓C：()yr

(m＞已過原點O且互垂直的兩條直線l和l，中l(wèi)與圓相于A，兩，l與圓C相于點D．＝，直線l的斜率為．在面直角坐標系中直線y圓

y

(r0)

交于B兩為標原點，若圓上一點滿，r44

．在面直角坐標系xOy中已知點Pyym內(nèi)若存在過點的直線交圓于A、B點，面積的面積的2，則實數(shù)m取值范圍為．在平面直角坐標系xOy中，圓C:(x

)

．若圓C存在以G為中點的弦，且，實數(shù)m的值范圍是．已知直線

與圓

xx

相交于

A,B

兩點，點

y0

在直線

yx

上且，的取值范圍為0

6/

121121【答案與提示】1.【案5【答案【解析一】作⊥AB于點，則

CE2BC2BC

1ABBC2OD4

2r22r(m2)

，由是矩形，知2

＝2

，∴

5r2

m

2

2

，化簡得

r5

，即＝

CDr52＝，∠＝＝，OCm3∴直線l的斜率為

．【解析二】作⊥AB于點，則D是形tt設ODtt>0)，由切割線定理＝OA×OBr)(r)2

，即r2

54

t

2

（※）又

，將（※）代人得2

9r2r2，4m

B2RtCOE

r2，sinm

A

E

C（m

1D2∴直線l的率為

5

．

4【案

6【解法一】遇線性表示想求模，將向量問題實數(shù)7/

2，得22，得2OBOAOA164416

，即r

r2rcosAOBr，整理化簡得16

.過點O

的垂線交AB

于D，則

cosAOB2cos

2

1cos2AOD5

.又圓心到直線的距離O

22

2

，所以

1OD22cos2AOD5rr2

，

r

.【解法二】注意到線性表示時的系數(shù)和為2，聯(lián)想“三點共線由

OC

53OAOB，OCOA42得

、、D

三點共線（其中D

是

的中點

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