有限元導(dǎo)論-第4章課件

第四章平面問(wèn)題有限元早期的研究是從彈性力學(xué)的平面問(wèn)題開(kāi)始的，對(duì)平面問(wèn)題的研究使有限元的研究對(duì)象從離散體向連續(xù)體邁出了關(guān)鍵性的一步。兩類平面問(wèn)題1、平面應(yīng)力問(wèn)題xyz2、平面應(yīng)變問(wèn)題重力壩水壓力zxy平面問(wèn)題的基本物理量彈性矩陣平面應(yīng)力：平面應(yīng)變：?jiǎn)卧Y(jié)點(diǎn)力和結(jié)點(diǎn)位移位移模式

代入結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和結(jié)點(diǎn)位移用結(jié)點(diǎn)位移表示的單元位移

表示成形函數(shù)的形式形函數(shù)的定義另外三個(gè)系數(shù)單元間位移的連續(xù)根據(jù)式(4.11)和(4.13)，在單元的邊界上位移是線性變化的，兩個(gè)相鄰的單元在其公共結(jié)點(diǎn)上具有相同的結(jié)點(diǎn)位移，因而在他們的公共邊界上，兩個(gè)單元將具有相同的位移，也就是說(shuō)所選的位移函數(shù)保證了相鄰單元之間位移的連續(xù)性。單元的應(yīng)變與B矩陣B是常數(shù)矩陣單元應(yīng)力形函數(shù)的性質(zhì)和面積坐標(biāo)形函數(shù)的性質(zhì)1形函數(shù)性質(zhì)2證明如下：002D單元邊界位移連續(xù)的再次證明面積坐標(biāo)面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系關(guān)于面積坐標(biāo)的積分公式上述公式在單元的等效結(jié)點(diǎn)力計(jì)算時(shí)要用到單元?jiǎng)偠染仃嘊是常數(shù)矩陣分塊形式的單剛對(duì)于平面應(yīng)力體積力的等效結(jié)點(diǎn)力所以自重的等效結(jié)點(diǎn)力表面力的等效結(jié)點(diǎn)力線性分布的表面力線性分布的表面力

在ij邊上形函數(shù)為所以ijmslDiDj方向固定的分布力均布荷載：三角形分布荷載：熱應(yīng)力對(duì)于各向同性材料的平面應(yīng)力問(wèn)題如果溫度為線性分布矩形單元位移模式局部坐標(biāo)xhxy(x0,y0)2b2a位移模式矩陣形式

應(yīng)變矩陣應(yīng)變矩陣單元?jiǎng)偠染仃噯卧灰频倪B續(xù)性體積力的等效結(jié)點(diǎn)力自重的等效結(jié)點(diǎn)力表面力線性分布的表面力溫度荷載假設(shè)：得到溫度載荷的等效結(jié)點(diǎn)力為(平面應(yīng)力，各向同性)收斂準(zhǔn)則對(duì)于一個(gè)數(shù)值方法，我們總是希望隨著網(wǎng)格的逐步細(xì)分，得到的解答收斂于問(wèn)題的精確解。從上面分析中可以看出，在單元形狀確定以后，位移模式的選擇是關(guān)鍵。等效載荷的計(jì)算，剛度矩陣的建立和應(yīng)變應(yīng)力的計(jì)算等等，都依賴于位移模式。顯然，一個(gè)與真實(shí)位移分布有很大差別的位移模式，是很難得到很好的數(shù)值結(jié)果。位移模式包含單元的剛體位移

位移模式包含單元的常應(yīng)變

位移模式在單元內(nèi)連續(xù)，相鄰單元間協(xié)調(diào)

完備協(xié)調(diào)完備的協(xié)調(diào)單元保證有限元計(jì)算的收斂性位移模式的幾何各向同性對(duì)稱性的利用應(yīng)力計(jì)算結(jié)果的整理應(yīng)力在單元間不連續(xù)P(1)(2)(3)(4)算例110MPa10MPa10MPa10MPa9cm