華北理工衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)學(xué)課件12簡(jiǎn)單回歸分析

第一節(jié)簡(jiǎn)單直線回歸第二節(jié)線性回歸的應(yīng)用第十二章簡(jiǎn)單回歸分析一、直線回歸的概念及其統(tǒng)計(jì)描述二、回歸模型的前提假設(shè)

三、回歸參數(shù)的估計(jì)四、回歸系數(shù)的統(tǒng)計(jì)推斷回歸：描述反應(yīng)變量如何隨自變量變化而變化的規(guī)律性?；貧w分析的基本任務(wù)：在相關(guān)分析的基礎(chǔ)上，具體描述反應(yīng)變量（Y）對(duì)自變量（X）的線性依賴關(guān)系的形式。

在上一章中，對(duì)15名健康人凝血濃度（Y）與凝血時(shí)間（X）數(shù)據(jù)計(jì)算相關(guān)系數(shù)，定量描述了變量間關(guān)聯(lián)性的強(qiáng)弱程度與方向。為直觀地說(shuō)明直線回歸的概念，我們以以上一章中對(duì)15名健康人凝血濃度與凝血時(shí)間數(shù)據(jù)為例，來(lái)探討兩變量間依存變化關(guān)系。表12－1

15名健康成人凝血時(shí)間與凝血酶濃度測(cè)量值171514161516141716141315151314Y0.71.01.10.91.10.91.00.60.91.11.20.91.01.21.1X151413121110987654321受試者號(hào)圖12－1凝血濃度與凝血時(shí)間的散點(diǎn)分布

由圖12－1可見(jiàn)，凝血時(shí)間隨凝血酶濃度增大而減少且呈直線趨勢(shì)，但并非15點(diǎn)恰好全部都在一直線上。兩變量數(shù)量間雖然存在一定關(guān)系，但不是十分確定的。這與兩變量間嚴(yán)格對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系不同，稱為直線回歸（Linearregression)。直線回歸是回歸分析中最基本、最簡(jiǎn)單的一種，故又稱簡(jiǎn)單simpleregression)。

反應(yīng)變量（Y）與自變量（X）的簡(jiǎn)單線性模型（simplelinearregressionmodel）可表達(dá)為：

在通常情況下，研究者只能獲取一定數(shù)量的樣本數(shù)據(jù)，用該樣本數(shù)據(jù)建立的有關(guān)Y與X變化的線性方程稱為回歸方程（regressionequation)即：

在描述兩變量的關(guān)系時(shí)，一般把兩個(gè)變量中能精確容易測(cè)量的作自變量，不易測(cè)量作為因變量。即用易測(cè)量的數(shù)據(jù)X估計(jì)不易測(cè)量的另一數(shù)據(jù)。如年齡估算小兒體重等。在描述凝血時(shí)間與凝血濃度的依存關(guān)系中，將凝血酶濃度作為自變量（X），凝血時(shí)間作為應(yīng)變量（Y）。一、直線回歸的概念及其統(tǒng)計(jì)描述三、回歸參數(shù)的估計(jì)四、回歸系數(shù)的統(tǒng)計(jì)推斷二、回歸模型的前提假設(shè)

線性回歸模型的前提條件是：線性（linear)、獨(dú)立(independent)，正態(tài)(normal)，等方差(equalvariance)

1、線性是指反應(yīng)變量Y的總體平均值與自變量X呈線性關(guān)系。

2、獨(dú)立是指任意兩觀察值互相獨(dú)立。

3、正態(tài)性假定是指線性模型的誤差項(xiàng)i服從正態(tài)分布。

4、等方差是指在自變量X取值范圍內(nèi)，不論X取什么值，Y都具有相同的方差。一、直線回歸的概念及其統(tǒng)計(jì)描述三、回歸參數(shù)的估計(jì)四、回歸系數(shù)的統(tǒng)計(jì)推斷二、回歸模型的前提假設(shè)

一）回歸參數(shù)估計(jì)的最小二乘原則參數(shù)與一般只能通過(guò)樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)。當(dāng)X取值為Xi時(shí)，Y的平均值的估計(jì)應(yīng)為a+bXi,而實(shí)際觀察值為Yi。兩者之差稱為殘差，即當(dāng)a與b取不同值時(shí)獲取不同的候選直線，如能求a與b的適宜值，能使所有實(shí)測(cè)值到這條直線的上縱向距離的平方和為最小，則稱這一對(duì)a和b為與的最小二乘估計(jì)（leastestimation,LES)。二）回歸參數(shù)的估計(jì)方法

a為Y軸上的截距；b為斜率，表示X每改變一個(gè)單位，Y的變化的值，稱為回歸系數(shù)；表示在X值處Y的總體均數(shù)估計(jì)值。為求a和b兩系數(shù)，根據(jù)數(shù)學(xué)上的最小二乘法原理，可導(dǎo)出a和b的算式如下：1.由原始數(shù)據(jù)及散點(diǎn)圖的初步分析，本例呈直線趨勢(shì)，故作下列計(jì)算。

2.求

3.計(jì)算X、Y的均數(shù)，及離均差平方和lXY、lyy與離均差積和lXY。4.求回歸系數(shù)b和截距a。

5.列出回歸方程三）、直線回歸方程的圖示

為了進(jìn)行直觀分析或?qū)嶋H需要，可按回歸方程在坐標(biāo)紙上作圖。在自變量X的實(shí)測(cè)全距范圍內(nèi)任取相距較遠(yuǎn)且易讀的兩X值，代入回歸方程，如上例取在圖上確定（0.6，17.58581）和（1.1，14.09373)兩點(diǎn)，用直線連接，即得直線方程的圖形。圖12－3凝血濃度與凝血時(shí)間的散點(diǎn)分布及擬合直線一、直線回歸的概念及其統(tǒng)計(jì)描述三、回歸參數(shù)的估計(jì)四、回歸系數(shù)的統(tǒng)計(jì)推斷二、回歸模型的前提假設(shè)

前面所求得的回歸方程是否成立，即X、Y是否有直線關(guān)系，是回歸分析要考慮的首要問(wèn)題。我們知道即使X、Y的總體回歸系數(shù)為零，由于抽樣誤差，其樣本回歸系數(shù)b也不一定為零。因此需作是否為零的假設(shè)檢驗(yàn)，用方差分析或t檢驗(yàn)。一）、樣本回歸系數(shù)b的抽樣誤差本章例12－1，二）總體回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)例12－2檢驗(yàn)例12－1求凝血時(shí)間對(duì)凝血酶濃度的直線關(guān)系是否成立?

1.假設(shè)

2.檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量三）回歸系數(shù)的區(qū)間估計(jì)例12－3試用例12－11所計(jì)算的樣本回歸系數(shù)b=－0.6902,估計(jì)總體回歸系數(shù)的95%的可信區(qū)間：Sb=0.76，(-6.9802-2.16×0.76，-6.9802+2.16×0.76）=（-8.6791，-5.2813）

第一節(jié)簡(jiǎn)單直線回歸第二節(jié)線性回歸的應(yīng)用第十二章簡(jiǎn)單回歸分析一、總體回歸線的95%置信帶二、個(gè)體Y值的容許區(qū)間

當(dāng)總體中X為某一定值X0時(shí)，與X0所對(duì)應(yīng)的y值的總體均數(shù)為μ0，從總體中隨機(jī)抽取一份樣本，得到簡(jiǎn)單回歸方程為，則在樣本中與X0所對(duì)應(yīng)y值的樣本均數(shù)為，即是μ0

的點(diǎn)估計(jì)值。其標(biāo)準(zhǔn)誤為它的（1－）置信區(qū)間為例12－1試計(jì)算當(dāng)X0=1.1時(shí)，μ的95%可信區(qū)間。用同樣方式，可計(jì)算出所有15個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的總體均數(shù)的95%置信區(qū)間。一、總體回歸線的95%置信帶二、個(gè)體Y值的容許區(qū)間

總體中，X為某定值X0時(shí)，個(gè)體Y值圍繞μ0波動(dòng)，其標(biāo)準(zhǔn)差為：例12－5用例12－1所求回歸方程，試計(jì)算當(dāng)X0=1.1時(shí)，個(gè)體Y值的95%容許區(qū)間。即估計(jì)總體中凝血酶濃度1.1毫升者，有95%的人凝血時(shí)間在12.9618～１５.２２９范圍內(nèi)。圖12－6凝血時(shí)間依凝血濃度回歸線的95%置信帶與Y個(gè)體值95%預(yù)測(cè)帶直線回歸分析中應(yīng)注意的問(wèn)題作回歸分析一定要有實(shí)際意義。回歸分析之前首先應(yīng)繪制散點(diǎn)圖?？紤]建立線性回歸模型的基本假定。直線回歸方程應(yīng)用與圖示一般以自變量x的取值范圍為限，超出自變量取值范圍所計(jì)算的值稱為外延。兩變量間的直線關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系，即兩個(gè)變量的變化可能同受另一個(gè)因素的影響。直線相關(guān)與回歸的區(qū)別和聯(lián)系1.區(qū)別：1）分析目的：相關(guān)分析研究?jī)勺兞肯嚓P(guān)方向及密切程度；回歸分析研究變量間的數(shù)量依存關(guān)系。2）資料要求：相關(guān)分析要求兩變量都是隨機(jī)變量，分別服從正態(tài)分布；回歸分析要求因變量（Y）為隨機(jī)變量，而自變量無(wú)要求。3）統(tǒng)計(jì)量單位：相關(guān)系數(shù)無(wú)單位；回歸系數(shù)有單位，（Y的單位/X的單位）2.聯(lián)系1）符號(hào)方面：相關(guān)系數(shù)與回歸系數(shù)符號(hào)一致。2）假設(shè)檢驗(yàn)方面：對(duì)相關(guān)系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)和對(duì)回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)是等價(jià)的。對(duì)相關(guān)系數(shù)的檢驗(yàn)比回歸系數(shù)的檢驗(yàn)容易，因此對(duì)同一組資料，常用對(duì)相關(guān)系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)代替對(duì)回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)。3）直線相關(guān)與直線回歸的內(nèi)在聯(lián)系。

第三節(jié)殘差分析

殘差分析（residualanalysis）旨在通過(guò)殘差深入了解數(shù)據(jù)與模型之間的關(guān)系，評(píng)價(jià)資料是否符合回歸模型假設(shè)，識(shí)別異常點(diǎn)等。

圖12－7凝血數(shù)據(jù)的回歸殘差圖

一般而言，自然界的生命現(xiàn)象中絕對(duì)線性關(guān)系并不多見(jiàn)，但從相對(duì)與近似的觀點(diǎn)出發(fā)，我們可以用前面已經(jīng)提到的線性回歸模型來(lái)解決許多實(shí)際問(wèn)題?？梢哉f(shuō)，非線性回歸要比線性回歸更能充分地表達(dá)變量間的關(guān)系。當(dāng)今線性回歸都比非線性回歸應(yīng)用多，原因在于無(wú)論從數(shù)學(xué)理論還是計(jì)算方法，線性回歸都比非線性回歸模型簡(jiǎn)單得多。第四節(jié)非線性回歸

一、曲線回歸的概念根據(jù)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，擬合反映變量間關(guān)系的曲線回歸方程稱為曲線回歸分析，也可將求解曲線回歸方程的過(guò)程稱作曲線擬合。二、曲線擬合步驟以對(duì)數(shù)曲線為例，說(shuō)明曲線擬合的基本步驟。（1）選定曲線類型。

首先繪制散點(diǎn)圖，觀察散點(diǎn)的分布趨勢(shì)，結(jié)合專業(yè)知識(shí)，選取適當(dāng)?shù)那€類型。比如兩變量間，當(dāng)X（或Y值）增大、Y（或X）隨之“加速度”增大或減小可擬合對(duì)數(shù)曲線。（2）變量的對(duì)數(shù)變換。

對(duì)X或Y進(jìn)行對(duì)數(shù)變換，使變換后的兩變量呈直線關(guān)系。對(duì)數(shù)曲線的表達(dá)式為：

Y=a+b*lgX（3）按最小二乘法原理求直線化方程。

令Z=lgX，求出（4）將直線化方程轉(zhuǎn)化為曲線式，作曲線圖。

將上述方程還原為，最終得到適合原始數(shù)據(jù)的曲線回歸方程。

例12-6

先在實(shí)驗(yàn)室中給予受試者某一刺激，然后檢測(cè)受試者的感覺(jué)反應(yīng)強(qiáng)度。設(shè)X為刺激量的物理強(qiáng)度，Y為受試者感覺(jué)量的反應(yīng)強(qiáng)度。12種不同強(qiáng)度刺激下的感覺(jué)量見(jiàn)下表,試求出Y對(duì)X的回歸曲線。

（1）根據(jù)原始數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中繪制出散點(diǎn)圖，觀察散點(diǎn)的分布形狀。本例散點(diǎn)分布近似于一條對(duì)數(shù)曲線，因此考慮用對(duì)數(shù)方程Y=a+b*lgX對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。（2）令Z=lgX，得出對(duì)應(yīng)于每一個(gè)X值的Z值，作變量Y與變量Z的相關(guān)散點(diǎn)圖，可以發(fā)現(xiàn)散點(diǎn)幾乎落在一條直