平面向量中的三角形四心問題_第1頁(yè)
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平面向量中的三角形四心問題相互關(guān)系。一、重心（barycenter)重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1。在重心確定上，有著名的帕普斯定理。結(jié)論1：ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則GAGBGC0是三角形的重心證明：設(shè)BC中點(diǎn)為D，則GDGBGCGAGBGC0GAGBGCGAGD,這表明，G在中線AD上同理可得G在中線BE,CF上故G為ABC的重心結(jié)論2：1若P為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則PG(PAPBPC)3是ABC的重心1證明：PG(PAPBPC)(PG)(PGPB)(PGPC)03GAGBGC0是ABC的重心二、垂心(orthocenter)三角形的三條高線的交點(diǎn)叫做三角形的垂心。結(jié)論3：若H為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則HAHBHBHCHCHAH是ABC的垂心證明：HAHBHBHCHB(HAHC)0HBAC0HBAC同理，有HACB,HCAB故為三角形垂心結(jié)論4：222222222222()()22三、外心(circumcenter)三角形三條邊的垂直平分線（中垂線）的相交點(diǎn)。用這個(gè)點(diǎn)做圓心可以畫三角形的外接圓。結(jié)論5：若是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則OAOBOC是ABC的外心證明：由外心定義可知命題成立結(jié)論6：OB)))證明：OAOB)BAOAOBOAOB)OAOB2222OBOC)CBOBOC22OC)ACOCOA222222故OAOBOBOCOCOAOAOBOC為ABC的外心四、內(nèi)心(incenter)三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)叫三角形的內(nèi)心。即內(nèi)切圓的圓心。結(jié)論7：若為ABC(0)123P是ABCe,e12()ee1112(eeAB,12B,C結(jié)論8：若是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則aPAbPBcPC0是ABC的內(nèi)心證明：不妨設(shè)PDPCaPAbPBcPC0a(PD)b(PDDB)cPC0(abcPCaDAbDB)()0由于與,DB不共線，則abca

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