第6節(jié)-正弦定理和余弦定理及其應用(41)課件

第6節(jié)正弦定理和余弦定理及其應用第6節(jié)正弦定理和余弦定理及其應用1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解決一些簡單的三角形度量問題.2.能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題.考綱展示2.能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾知識梳理自測考點專項突破解題規(guī)范夯實知識梳理自測考點專項突破解題規(guī)范夯實知識梳理自測把散落的知識連起來【教材導讀】1.已知△ABC中的三邊,如何判斷三角形是銳角、鈍角、直角三角形?提示:利用余弦定理可判斷出最大邊所對的角的余弦值的正負,從而判斷出三角形是銳角、鈍角、直角三角形.2.在三角形ABC中,“A>B”是“sinA>sinB”的什么條件?“A>B”是“cosA<cosB”的什么條件?提示:在三角形ABC中,“A>B”是“sinA>sinB”的充要條件,“A>B”是“cosA<cosB”的充要條件.3.在三角形ABC中,“a2+b2<c2”是“△ABC為鈍角三角形”的什么條件?“a2+b2>c2”是“△ABC為銳角三角形”的什么條件?提示:“a2+b2<c2”是“△ABC為鈍角三角形”的充分不必要條件,“a2+b2>c2”是“△ABC為銳角三角形”的必要不充分條件.知識梳理自測知識梳理1.正弦定理和余弦定理2RsinB2RsinCsinB知識梳理1.正弦定理和余弦定理2RsinB2Rsin2.三角形常用面積公式3.解三角形在測量中的常見題型(1)利用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型有測量距離問題、測量高度問題、測量角度問題、計算面積問題、航海問題、物理問題等.2.三角形常用面積公式3.解三角形在測量中的常見題型(2)有關(guān)測量中的幾個術(shù)語①仰角和俯角:與目標視線同在一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標視線的夾角,目標視線在水平視線上方時叫

,目標視線在水平視線下方時叫

.(如圖(1)所示)②方位角:一般指從正北方向順時針到目標方向線的水平角,如方位角45°,是指北偏東45°,即東北方向.③坡角:坡面與水平面的夾角.仰角俯角④坡比:坡面的鉛直高度與水平寬度之比,即i==tanα(i為坡比,α為坡角).(如圖(2)所示)(2)有關(guān)測量中的幾個術(shù)語仰角俯角④坡比:坡面的鉛直高度與水【重要結(jié)論】在△ABC中,常有以下結(jié)論:(1)∠A+∠B+∠C=π.(2)任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊.(4)tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC.(5)∠A>∠B?a>b?sinA>sinB?cosA<cosB.【重要結(jié)論】(4)tanA+tanB+tanC=tan雙基自測B

雙基自測BB2.(2018·石家莊質(zhì)檢)在△ABC中,角A,B,C所對的對邊長分別為a,b,c,sinA,sinB,sinC成等比數(shù)列,且c=2a,則cosB的值為(

)B2.(2018·石家莊質(zhì)檢)在△ABC中,角A,B,C所對CC4.(2017·遼寧五校聯(lián)考)在△ABC中,a2+b2+c2=2absinC,則△ABC的形狀是(

)(A)直角三角形 (B)銳角三角形(C)鈍角三角形 (D)正三角形D4.(2017·遼寧五校聯(lián)考)在△ABC中,a2+b2+c25.導學號94626155

下列說法正確的是

.

①三角形中三邊之比等于相應的三個內(nèi)角之比;②在△ABC中,若sinA>sinB,則A>B;③在△ABC的六個元素中,已知任意三個元素可求其他元素;⑤在△ABC中,若b2+c2>a2,則此三角形是銳角三角形.5.導學號94626155下列說法正確的是.

③錯誤.當已知三個角時不能求三邊.⑤錯誤.滿足b2+c2>a2,還可能滿足b2≥a2+c2或c2≥a2+b2,則三角形不是銳角三角形.答案:②④③錯誤.當已知三個角時不能求三邊.⑤錯誤.滿足b2+c2>a考點專項突破在講練中理解知識考點一正、余弦定理的應用★★★★考查角度1:利用正、余弦定理解三角形考點專項突破(2)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a=2,cosC=-,3sinA=2sinB,則c=

.

答案:(2)4(2)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a反思歸納利用正、余弦定理解三角形關(guān)鍵是根據(jù)已知條件及所求結(jié)論確定三角形及所需應用的定理,有時需結(jié)合圖形分析求解,有時需根據(jù)三角函數(shù)值的有界性、三角形中大邊對大角等確定解的個數(shù).反思歸納利用正、余弦定理解三角形關(guān)鍵是根據(jù)已知條件及所考查角度2:與三角形面積有關(guān)的問題(A)24 (B)16 (C)12 (D)8考查角度2:與三角形面積有關(guān)的問題(A)24 (B)16(2)(2017·潮州模擬)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a2+b2-c2-ab=0.若△ABC的面積為c,則ab的最小值為(

)(A)24 (B)12 (C)6 (D)4(2)(2017·潮州模擬)在△ABC中,角A,B,C的對邊反思歸納(2)與面積有關(guān)的問題,一般是用正弦定理或余弦定理進行邊角的轉(zhuǎn)化,得到兩邊乘積,再整體代入.反思歸納(2)與面積有關(guān)的問題,一般是用正弦定理或余弦定理進考點二利用正、余弦定理判定三角形的形狀【例3】

導學號94626157

在△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊,且2a·sinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC.(1)求角A的大小;考點二利用正、余弦定理判定三角形的形狀【例3】導學號(2)若sinB+sinC=,試判斷△ABC的形狀.(2)若sinB+sinC=,試判斷△ABC的形狀反思歸納判定三角形形狀的兩種常用途徑(1)通過正弦定理和余弦定理,化邊為角,利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進行判斷.(2)利用正弦定理、余弦定理,化角為邊,通過代數(shù)恒等變換,求出三條邊之間的關(guān)系進行判斷.反思歸納判定三角形形狀的兩種常用途徑跟蹤訓練1:(1)導學號49612120

在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若b=2ccosA,c=2bcosA,則△ABC的形狀為(

)(A)直角三角形 (B)銳角三角形(C)等邊三角形 (D)等腰直角三角形解析:(1)由正弦定理,得sinB=2sinCcosA,sinC=2sinBcosA,即sin(A+C)=2sinCcosA=sinAcosC+cosAsinC,即sinAcosC-cosAsinC=0,所以sin(A-C)=0,A=C,同理可得A=B,所以三角形為等邊三角形.故選C.跟蹤訓練1:(1)導學號49612120在△ABC中,(A)等邊三角形(B)直角三角形(C)等腰三角形或直角三角形(D)等腰直角三角形(A)等邊三角形考點三利用正、余弦定理解決實際問題【例4】

導學號94626158(1)(2016·廣州七區(qū)聯(lián)考)某觀察站C與兩燈塔A,B的距離分別為300米和500米,測得燈塔A在觀察站C北偏東30°處,燈塔B在觀察站C南偏東30°處,則兩燈塔A,B間的距離為

.

解析:(1)由題意可知,如圖,在△ABC中,AC=300米,BC=500米,∠ACB=120°,利用余弦定理可得AB2=3002+5002-2×300×500×cos120°,AB=700(米).答案:(1)700米考點三利用正、余弦定理解決實際問題【例4】導學號946(2)(2017·黑龍江雙鴨山期末)如圖,跳傘塔CD高4,在塔頂測得地面上兩點A,B的俯角分別是30°,45,又測得∠ADB=30°,則AB兩地的距離為

.

答案:(2)4(2)(2017·黑龍江雙鴨山期末)如圖,跳傘塔CD高4,在反思歸納

利用正、余弦定理解決實際問題的一般步驟(1)分析——理解題意,分清已知與未知,畫出示意圖;(2)建?！鶕?jù)已知條件與求解目標,把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中,建立一個解斜三角形的數(shù)學模型;(3)求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得數(shù)學模型的解;(4)檢驗——檢驗上述所求的解是否符合實際意義,從而得出實際問題的解.反思歸納利用正、余弦定理解決實際問題的一般步驟跟蹤訓練2:(1)如圖所示,位于A處的信息中心獲悉:在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險,在原地等待營救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船,現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向即沿直線CB前往B處救援,則cosθ等于(

)跟蹤訓練2:(1)如圖所示,位于A處的信息中心獲悉:在其正東答案:(1)B答案:(1)B(2)某臺風中心最大風力達到12級以上,大風降雨給災區(qū)帶來嚴重的災害,不少大樹被大風折斷.某路邊一樹干被臺風吹斷后,折成與地面成45°角,樹干也傾斜為與地面成75°角,樹干底部與樹尖著地處相距20米,則折斷點與樹干底部的距離是

米.

(2)某臺風中心最大風力達到12級以上,大風降雨給災區(qū)帶來嚴備選例題【例1】

(2018·湖南十三校聯(lián)考)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足sinA+sinB=[cosA-cos(π-B)]·sinC.(1)試判斷△ABC的形狀,并說明理由;備選例題【例1】(2018·湖南十三校聯(lián)考)設(shè)△ABC第6節(jié)-正弦定理和余弦定理及其應用(41)課件【例2】

(2018·泉州檢測)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且cosA·cosC-cos(A+C)=sin2B.(1)證明:a,b,c成等比數(shù)列;(1)證明:因為cosA·cosC-cos(A+C)=sin2B,所以cosA·cosC-(cosAcosC-sinAsinC)=sin2B,化簡可得sinAsinC=sin2B,由正弦定理得,b2=ac,故a,b,c成等比數(shù)列.【例2】(2018·泉州檢測)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(2)若角B的平分線BD交AC于點D,且b=6,S△BAD=2S△BCD,求BD.(2)若角B的平分線BD交AC于點D,且b=6,S△BAD=【例3】

在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習中,紅方一艘偵察艇在A處發(fā)現(xiàn)在北偏東45°方向,相距12nmile的B處水面上,有藍方一艘小艇正以每小時10nmile的速度沿南偏東75°方向前進,若偵察艇以每小時14nmi