高數(shù)上冊第九章第二節(jié)全微分課件

高數(shù)上冊第九章第二節(jié)全微分高數(shù)上冊第九章第二節(jié)全微分一、全微分的定義

定義:

如果函數(shù)z=f(x,y)在定義域D

的內(nèi)點(x,y)可表示成其中A,B不依賴于

x,

y,僅與x,y有關(guān)，稱為函數(shù)在點(x,y)的全微分,記作若函數(shù)在域D

內(nèi)各點都可微,則稱函數(shù)f(x,y)在點(x,y)可微，處全增量則稱此函數(shù)在D

內(nèi)可微.一、全微分的定義定義:如果函數(shù)z=f(x,(2)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)下面兩個定理給出了可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:(1)函數(shù)可微函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)可微當函數(shù)可微時:得函數(shù)在該點連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)可微即(2)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)下面兩個定理給出了可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:(1定理1(必要條件)若函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)可微,則該函數(shù)在該點的偏導(dǎo)數(shù)同樣可證證:因函數(shù)在點(x,y)可微,故

必存在,且有得到對x

的偏增量因此有定理1(必要條件)若函數(shù)z=f(x,y)在點(x反例:函數(shù)易知

但因此,函數(shù)在點(0,0)不可微.注意:

定理1的逆定理不成立.偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)不一定可微

!即:反例:函數(shù)易知但因此,函數(shù)在點(0,0)不可微.定理2(充分條件)證：若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)則函數(shù)在該點可微分.定理2(充分條件)證：若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)則函數(shù)在該點可微分.所以函數(shù)在點可微.注意到,故有所以函數(shù)在點可微.注意到,故有推廣:

類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問題.例如,三元函數(shù)習(xí)慣上把自變量的增量用微分表示,記作故有下述疊加原理稱為偏微分.的全微分為于是推廣:類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問題.例如,三例1.計算函數(shù)在點(2,1)處的全微分.解:例2.計算函數(shù)的全微分.解:

例1.計算函數(shù)在點(2,1)處的全微分.解:例2.可知當*二、全微分在近似計算中的應(yīng)用1.近似計算由全微分定義較小時,及有近似等式:(可用于誤差分析或近似計算)(可用于近似計算)可知當*二、全微分在近似計算中的應(yīng)用1.近似計算由全微分定半徑由20cm增大解:

已知即受壓后圓柱體體積減少了

例3.有一圓柱體受壓后發(fā)生形變,到20.05cm

,則高度由100cm減少到99cm

,體積的近似改變量.

求此圓柱體半徑由20cm增大解:已知即受壓后圓柱體體積減少了例4.計算的近似值.

解:設(shè),則取則例4.計算的近似值.解:設(shè),則取則分別表示x,y,z的絕對誤差界,2.

誤差估計利用令z的絕對誤差界約為z的相對誤差界約為則分別表示x,y,z的絕對誤差界,2.誤差估計利特別注意類似可以推廣到三元及三元以上的情形.

乘除后的結(jié)果相對誤差變大很小的數(shù)不能做除數(shù)特別注意類似可以推廣到三元及三元以上的情形.乘除后的結(jié)果例5.

利用公式求計算面積時的絕對誤差與相對誤差.解：故絕對誤差約為又所以S的相對誤差約為計算三角形面積.現(xiàn)測得例5.利用公式求計算面積時的絕對誤差與相對誤差.解：故絕對例6.在直流電路中,

測得電壓U=24V,解:由歐姆定律可知(

)所以R

的相對誤差約為0.3+0.5R

的絕對誤差約為0.8

0.3;定律計算電阻為R

時產(chǎn)生的相對誤差和絕對誤差.相對誤差為測得電流I=6A,相對誤差為0.5,=0.032()=0.8

求用歐姆例6.在直流電路中,測得電壓U=24V,解:由內(nèi)容小結(jié)1.微分定義:2.重要關(guān)系:函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)定義內(nèi)容小結(jié)1.微分定義:2.重要關(guān)系:函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微偏導(dǎo)3.微分應(yīng)用?近似計算?估計誤差絕對誤差相對誤差3.微分應(yīng)用?近似計算?估計誤差絕對誤差相對誤差思考與練習(xí)1.P75題5；P129題1函數(shù)在可微的充分條件是()的某鄰域內(nèi)存在;時是無窮小量;時是無窮小量.2.選擇題思考與練習(xí)1.P75題5；P129題1函答案:也可寫作:當x=2,y=1,△x=0.01,△y=0.03

時△z=0.02,dz=0.03

3.P129題7答案:也可寫作:當x=2,y=1,△x=4.設(shè)解:利用輪換對稱性,可得注意:x,y,z

具有輪換對稱性

4.設(shè)解:利用輪換對稱性,可得注意:x,y,答案:

作業(yè)

P741(3),(4);3;*6;*9;*115.已知第四節(jié)答案:作業(yè)5.已知第四節(jié)在點(0,0)可微.備用題在點(0,0)連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在,續(xù),證:1)因故函數(shù)在點(0,0)連續(xù);但偏導(dǎo)數(shù)在點(0,0)不連

證明函數(shù)所以在點(0,0)可微.備用題在點(0,0)連續(xù)且偏導(dǎo)同理極限不存在,在點(0,0)不連續(xù);同理,在點(0,0)也不連續(xù).2)3)題目同理極限不存在,在點(0,0)不連續(xù);同理,在點(0,4)下面證明可微:說明:

此題表明,偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)只是可微的充分條件.令則題目4)下面證明可微:說明:此題表明,偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)只是11醉翁亭記

1．反復(fù)朗讀并背誦課文，培養(yǎng)文言語感。

2．結(jié)合注釋疏通文義，了解文本內(nèi)容，掌握文本寫作思路。

3．把握文章的藝術(shù)特色，理解虛詞在文中的作用。

4．體會作者的思想感情，理解作者的政治理想。一、導(dǎo)入新課范仲淹因參與改革被貶，于慶歷六年寫下《岳陽樓記》，寄托自己“先天下之憂而憂，后天下之樂而樂”的政治理想。實際上，這次改革，受到貶謫的除了范仲淹和滕子京之外，還有范仲淹改革的另一位支持者——北宋大文學(xué)家、史學(xué)家歐陽修。他于慶歷五年被貶謫到滁州，也就是今天的安徽省滁州市。也是在此期間，歐陽修在滁州留下了不遜于《岳陽樓記》的千古名篇——《醉翁亭記》。接下來就讓我們一起來學(xué)習(xí)這篇課文吧！【教學(xué)提示】結(jié)合前文教學(xué)，有利于學(xué)生把握本文寫作背景，進而加深學(xué)生對作品含義的理解。二、教學(xué)新課目標導(dǎo)學(xué)一：認識作者，了解作品背景作者簡介：歐陽修(1007—1072)，字永叔，自號醉翁，晚年又號“六一居士”。吉州永豐(今屬江西)人，因吉州原屬廬陵郡，因此他又以“廬陵歐陽修”自居。謚號文忠，世稱歐陽文忠公。北宋政治家、文學(xué)家、史學(xué)家，與韓愈、柳宗元、王安石、蘇洵、蘇軾、蘇轍、曾鞏合稱“唐宋八大家”。后人又將其與韓愈、柳宗元和蘇軾合稱“千古文章四大家”。

關(guān)于“醉翁”與“六一居士”：初謫滁山，自號醉翁。既老而衰且病，將退休于潁水之上，則又更號六一居士?？陀袉栐唬骸傲缓沃^也？”居士曰：“吾家藏書一萬卷，集錄三代以來金石遺文一千卷，有琴一張，有棋一局，而常置酒一壺?！笨驮唬骸笆菫槲逡粻?，奈何？”居士曰：“以吾一翁，老于此五物之間，豈不為六一乎？”寫作背景：宋仁宗慶歷五年(1045年)，參知政事范仲淹等人遭讒離職，歐陽修上書替他們分辯，被貶到滁州做了兩年知州。到任以后，他內(nèi)心抑郁，但還能發(fā)揮“寬簡而不擾”的作風(fēng)，取得了某些政績。《醉翁亭記》就是在這個時期寫就的。目標導(dǎo)學(xué)二：朗讀文章，通文順字1．初讀文章，結(jié)合工具書梳理文章字詞。2．朗讀文章，劃分文章節(jié)奏，標出節(jié)奏劃分有疑難的語句。節(jié)奏劃分示例

環(huán)滁/皆山也。其/西南諸峰，林壑/尤美，望之/蔚然而深秀者，瑯琊也。山行/六七里，漸聞/水聲潺潺，而瀉出于/兩峰之間者，釀泉也。峰回/路轉(zhuǎn)，有亭/翼然臨于泉上者，醉翁亭也。作亭者/誰？山之僧/曰/智仙也。名之者/誰？太守/自謂也。太守與客來飲/于此，飲少/輒醉，而/年又最高，故/自號曰/醉翁也。醉翁之意/不在酒，在乎/山水之間也。山水之樂，得之心/而寓之酒也。節(jié)奏劃分思考“山行/六七里”為什么不能劃分為“山/行六七里”？

明確：“山行”意指“沿著山路走”，“山行”是個狀中短語，不能將其割裂。“望之/蔚然而深秀者”為什么不能劃分為“望之蔚然/而深秀者”？明確：“蔚然而深秀”是兩個并列的詞，不宜割裂，“望之”是總起詞語，故應(yīng)從其后斷句?！窘虒W(xué)提示】引導(dǎo)學(xué)生在反復(fù)朗讀的過程中劃分朗讀節(jié)奏，在劃分節(jié)奏的過程中感知文意。對于部分結(jié)構(gòu)復(fù)雜的句子，教師可做適當?shù)闹v解引導(dǎo)。目標導(dǎo)學(xué)三：結(jié)合注釋，翻譯訓(xùn)練1．學(xué)生結(jié)合課下注釋和工具書自行疏通文義，并畫出不解之處?！窘虒W(xué)提示】節(jié)奏劃分與明確文意相輔相成，若能以節(jié)奏劃分引導(dǎo)學(xué)生明確文意最好；若學(xué)生理解有限，亦可在解讀文意后把握節(jié)奏劃分。2．以四人小組為單位，組內(nèi)互助解疑，并嘗試用“直譯”與“意譯”兩種方法譯讀文章。3．教師選擇疑難句或值得翻譯的句子，請學(xué)生用兩種翻譯方法進行翻譯。翻譯示例：若夫日出而林霏開，云歸而巖穴暝，晦明變化者，山間之朝暮也。野芳發(fā)而幽香，佳木秀而繁陰，風(fēng)霜高潔，水落而石出者，山間之四時也。直譯法：那太陽一出來，樹林里的霧氣散開，云霧聚攏，山谷就顯得昏暗了，朝則自暗而明，暮則自明而暗，或暗或明，變化不一，這是山間早晚的景色。野花開放，有一股清幽的香味，好的樹木枝葉繁茂，形成濃郁的綠蔭。天高氣爽，霜色潔白，泉水淺了，石底露出水面，這是山中四季的景色。意譯法：太陽升起，山林里霧氣開始消散，煙云聚攏，山谷又開始顯得昏暗，清晨自暗而明，薄暮又自明而暗，如此暗明變化的，就是山中的朝暮。春天野花綻開并散發(fā)出陣陣幽香，夏日佳樹繁茂并形成一片濃蔭，秋天風(fēng)高氣爽，霜色潔白，冬日水枯而石底上露，如此，就是山中的四季。【教學(xué)提示】翻譯有直譯與意譯兩種方式，直譯鍛煉學(xué)生用語的準確性，但可能會降低譯文的美感；意譯可加強譯文的美感，培養(yǎng)學(xué)生的翻譯興趣，但可能會降低譯文的準確性。因此，需兩種翻譯方式都做必要引導(dǎo)。全文直譯內(nèi)容見《我的積累本》。目標導(dǎo)學(xué)四：解讀文段，把握文本內(nèi)容1．賞析第一段，說說本文是如何引出“醉翁亭”的位置的，作者在此運用了怎樣的藝術(shù)手法。

明確：首先以“環(huán)滁皆山也”五字領(lǐng)起，將滁州的地理環(huán)境一筆勾出，點出醉翁亭坐落在群山之中，并縱觀滁州全貌，鳥瞰群山環(huán)抱之景。接著作者將“鏡頭”全景移向局部，先寫“西南諸峰，林壑尤美”，醉翁亭坐落在有最美的林壑的西南諸峰之中，視野集中到最佳處。再寫瑯琊山“蔚然而深秀”，點山“秀”，照應(yīng)上文的“美”。又寫釀泉，其名字透出了泉與酒的關(guān)系，好泉釀好酒，好酒叫人醉?！白砦掏ぁ钡拿直惆抵型赋?，然后引出“醉翁亭”來。作者利用空間變幻的手法，移步換景，由遠及近，為我們描繪了一幅幅山水特寫。2．第二段主要寫了什么？它和第一段有什么聯(lián)系？明確：第二段利用時間推移，抓住朝暮及四季特點，描繪了對比鮮明的晦明變化圖及四季風(fēng)光圖，寫出了其中的“樂亦無窮”。第二段是第一段“山水之樂”的具體化。3．第三段同樣是寫“樂”，但卻是寫的游人之樂，作者是如何寫游人之樂的？明確：“滁人游”，前呼后應(yīng)，扶老攜幼，自由自在，熱鬧非凡；“太守宴”，溪深魚肥，泉香酒洌，美味佳肴，應(yīng)有盡有；“眾賓歡”，投壺下棋，觥籌交錯，說說笑笑，無拘無束。如此勾畫了游人之樂。4．作者為什么要在第三段寫游人之樂？明確：寫滁人之游，描繪出一幅太平祥和的百姓游樂圖。游樂場景映在太守的眼里，便多了一層政治清明的意味。太守在游人之樂中酒酣而醉，此醉是為山水之樂而醉，更是為能與百姓同樂而醉。體現(xiàn)太守與百姓關(guān)系融洽，“政通人和”才能有這樣的樂。5．第四段主要寫了什么？明確：寫宴會散、眾人歸的情景。目標導(dǎo)學(xué)五：深入解讀，把握作者思想感情思考探究：作者以一個“樂”字貫穿全篇，卻有兩個句子別出深意，不單單是在寫樂，而是另有所指，表達出另外一種情緒，請你找出這兩個句子，說說這種情緒是什么。明確：醉翁之意不在酒，在乎山水之間也。醉能同其樂，醒能述以文者，太守也。這種情緒是作者遭貶謫后的抑郁，作者并未在文中袒露胸懷，只含蓄地說：“醉能同其樂，醒能述以文者，太守也。”此句與醉翁亭的名稱、“醉翁之意不在酒，在乎山水之間也”前后呼應(yīng)，并與“滁人游”“太守宴”“眾賓歡”“太守醉”連成一條抒情的線索，曲折地表達了作者內(nèi)心復(fù)雜的思想感情。目標導(dǎo)學(xué)六：賞析文本，感受文本藝術(shù)特色1．在把握作者復(fù)雜感情的基礎(chǔ)上朗讀文本。2．反復(fù)朗讀，請同學(xué)說說本文讀來有哪些特點，為什么會有這些特點。(1)句法上大量運用駢偶句，并夾有散句，既整齊又富有變化，使文章越發(fā)顯得音調(diào)鏗鏘，形成一種駢散結(jié)合的獨特風(fēng)格。如“野芳發(fā)而幽香，佳木秀而繁陰”“朝而往，暮而歸，四時之景不同，而樂亦無窮也”。(2)文章多用判斷句，層次極其分明，抒情淋漓盡致，“也”“而”的反復(fù)運用，形成回環(huán)往復(fù)的韻律，使讀者在誦讀中獲得美的享受。(3)文章寫景優(yōu)美，又多韻律，使人讀來不僅能感受到繪畫美，也能感受到韻律美。目標導(dǎo)學(xué)七：探索文本虛詞，把握文言現(xiàn)象虛詞“而”的用法用法

文本舉例表并列 1.蔚然而深秀者；2.溪深而魚肥；3.泉香而酒洌；4.起坐而喧嘩者表遞進 1.而年又最高；2.得之心而寓之酒也表承接 1