專題19＋演繹推理與合情推理解題技巧（理）

PAGE20專題19演繹推理與合情推理解題技巧【知識(shí)要點(diǎn)】1．合情推理歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理，統(tǒng)稱為合情推理．當(dāng)前提為真時(shí)，結(jié)論可能為真的推理叫合情推理．?dāng)?shù)學(xué)中常見(jiàn)的合情推理有：歸納和類比推理．類事物的部分對(duì)象具有的某些特征推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理簡(jiǎn)稱歸納．簡(jiǎn)言之，歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理．2由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理稱為類比推理簡(jiǎn)稱類比．簡(jiǎn)言之，類比推理是由特殊到特殊的推理．2．演繹推理1定義：演繹推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論包括定義、公理、定理等，按照嚴(yán)格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過(guò)程，簡(jiǎn)言之，演繹推理是由一般到特殊的推理．2演繹推理的一般模式——“三段論”①大前提——已知的一般性的原理；②小前提——所研究的特殊情況；③結(jié)論——根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷．1合情推理主要包括歸納推理和類比推理在數(shù)學(xué)研究中，在得到一個(gè)新結(jié)論前，合情推理能幫助猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為證明提供思路與方向2合情推理的過(guò)程eq\從具體問(wèn)題出發(fā)→eq\觀察、分析、比較、聯(lián)想→eq\歸納、類比→eq\提出猜想3演繹推理演繹推理是從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況的結(jié)論的推理方法是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段論數(shù)學(xué)問(wèn)題的證明主要通過(guò)演繹推理來(lái)進(jìn)行4注意歸納和類比的結(jié)論的可靠性有待于證明1．直接證明1從原命題的條件逐步推得命題成立的證明稱為直接證明．綜合法和分析法是直接證明中最基本的兩種證明方法，也是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)常用的思維方法．2從已知條件出發(fā)，以已知的定義、公理、定理為依據(jù)，逐步下推，直到推出要證明的結(jié)論為止．這種證明方法常稱為綜合法．推證過(guò)程如下：eq\1”＝a，an＝bn－m≥1，m，n∈N*，則類比上述結(jié)論，對(duì)于等比數(shù)列{bn}bn>0，n∈N*，若bm＝c，bn＝dn－m≥2，m，n∈N*，則可以得到bm＋n等于【答案】C【解析】觀察{an}的性質(zhì)：，則聯(lián)想nb－ma對(duì)應(yīng)等比數(shù)列{bn}中的，而{an}中除以n－m對(duì)應(yīng)等比數(shù)列中開(kāi)n－m次方，故bm＋n＝練習(xí)5中國(guó)有個(gè)名句“運(yùn)籌帷幄之中，決勝千里之外”其中的“籌”原意是指《孫子算經(jīng)》中記載的算籌，古代是用算籌來(lái)進(jìn)行計(jì)算，算籌是將幾寸長(zhǎng)的小竹棍擺在平面上進(jìn)行運(yùn)算算籌的擺放形式有縱橫兩種形式如圖，表示一個(gè)多位數(shù)時(shí)，像阿拉伯計(jì)數(shù)一樣，把各個(gè)數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列，但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，個(gè)位，百位，萬(wàn)位數(shù)用縱式表示，十位，千位，十萬(wàn)位用橫式表示，以此類推，例如用算籌表示就是，則用算籌表示為（）

【答案】B【解析】根據(jù)題意得到個(gè)位，百位，萬(wàn)位數(shù)用縱式表示，十位，千位，十萬(wàn)位用橫式表示，分別在所給的橫式和縱式中選擇1227中每個(gè)數(shù)字對(duì)應(yīng)的圖，可選答案為B。故答案為：B。

練習(xí)6的三邊長(zhǎng)分別為，的面積為，內(nèi)切圓半徑為，則；類比這個(gè)結(jié)論可知:四面體的四個(gè)面的面積分別為，內(nèi)切球的半徑為，四面體的體積為，【答案】C【解析】設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為，則球心到四個(gè)面的距離都是，所以四面體的體積等于以為頂點(diǎn)，分別以四個(gè)面為底面的四個(gè)三棱錐體積的和，則四面體的體積為，，故選C3數(shù)學(xué)歸納法例．下面四個(gè)判斷中，正確的是（）A式子，當(dāng)時(shí)為1B式子，當(dāng)時(shí)為C式子，當(dāng)時(shí)為D設(shè)，則【答案】C【解析】對(duì)于A，當(dāng)n=1時(shí)，f（）恒為1，錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)n=1時(shí)，f（）恒為1，錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)n=1時(shí)，f（n）為，正確；對(duì)于D，f（1）=f（）﹣，錯(cuò)誤；故選：C．練習(xí)1用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，從“到”左邊需增乘的代數(shù)式為【答案】D【解析】由題設(shè)條件得，當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)n=1時(shí)，練習(xí)2如圖所示，將若干個(gè)點(diǎn)擺成三角形圖案，每條邊包括兩個(gè)端點(diǎn)有nn>1，n∈N個(gè)點(diǎn)，相應(yīng)的圖案中總的點(diǎn)數(shù)記為an，則等于

【答案】C【解析】每條邊有n個(gè)點(diǎn)，所以3條邊有3n個(gè)點(diǎn)，三角形的3個(gè)頂點(diǎn)重復(fù)計(jì)算了一次，所以減3個(gè)頂點(diǎn)，即an＝3n－3，那么，即，故選C4．分析法，B，C，D四項(xiàng)參賽作品，只評(píng)一項(xiàng)一等獎(jiǎng)，在評(píng)獎(jiǎng)揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對(duì)這四項(xiàng)參賽作品預(yù)測(cè)如下：甲說(shuō)：“是C或D作品獲得一等獎(jiǎng)”；乙說(shuō)：“B作品獲得一等獎(jiǎng)”；丙說(shuō)：“A，D兩項(xiàng)作品未獲得一等獎(jiǎng)”；丁說(shuō)：“是C作品獲得一等獎(jiǎng)”若這四位同學(xué)中只有兩位說(shuō)的話是對(duì)的，則獲得一等獎(jiǎng)的作品是（）作品作品作品作品【答案】B【解析】根據(jù)題意，A，B，C，D作品進(jìn)行評(píng)獎(jiǎng)，只評(píng)一項(xiàng)一等獎(jiǎng)，假設(shè)參賽的作品A為一等獎(jiǎng)，則甲、乙、丙、丁的說(shuō)法都錯(cuò)誤，不符合題意；假設(shè)參賽的作品B為一等獎(jiǎng)，則甲、丁的說(shuō)法都錯(cuò)誤，乙、丙的說(shuō)法正確，符合題意；假設(shè)參賽的作品C為一等獎(jiǎng)，則乙的說(shuō)法都錯(cuò)誤，甲、丙、丁的說(shuō)法正確，不符合題意；假設(shè)參賽的作品D為一等獎(jiǎng)，則乙、丙、丁的說(shuō)法都錯(cuò)誤，甲的說(shuō)法正確，不符合題意；故獲得參賽的作品B為一等獎(jiǎng)；故選：B．練習(xí)1某班有三個(gè)小組，甲、乙、丙三人分屬不同的小組某次數(shù)學(xué)考試成績(jī)公布情況如下:甲和三人中的第3小組那位不一樣，丙比三人中第1小組的那位的成績(jī)低，三人中第3小組的那位比乙分?jǐn)?shù)高。若甲、乙、丙三人按數(shù)學(xué)成績(jī)由高到低排列，正確的是（）A甲、乙、丙B甲、丙、乙C乙、甲、丙D丙、甲、乙【答案】B【解析】甲和三人中的第小組那位不一樣，說(shuō)明甲不在第小組；三人中第小組那位比乙分?jǐn)?shù)高，說(shuō)明乙不在第3組，說(shuō)明丙在第3組，又第3組成績(jī)低于第1組，大于乙，這時(shí)可得乙為第2組，甲為第1組，那么成績(jī)從高到低為：甲、丙、乙，故選B練習(xí)2．老師在四個(gè)不同的盒子里面放了4張不同的撲克牌，分別是紅桃，梅花，方片以及黑桃，讓明、小紅、小張、小李四個(gè)人進(jìn)行猜測(cè)：小明說(shuō)：第1個(gè)盒子里面放的是梅花，第3個(gè)盒子里面放的是方片；小紅說(shuō)：第2個(gè)盒子里面飯的是梅花，第3個(gè)盒子里放的是黑桃；小張說(shuō)：第4個(gè)盒子里面放的是黑桃，第2個(gè)盒子里面放的是方片；小李說(shuō)：第4個(gè)盒子里面放的是紅桃，第3個(gè)盒子里面放的是方片；老師說(shuō)：“小明、小紅、小張、小李，你們都只說(shuō)對(duì)了一半．”則可以推測(cè)，第4個(gè)盒子里裝的是（）紅桃或梅花黑桃或梅花【答案】A【解析】因?yàn)樗膫€(gè)人都只猜對(duì)了一半，故有一下兩種可能：（1）當(dāng)小明猜對(duì)第1個(gè)盒子里面放的是梅花A時(shí)，第3個(gè)盒子里面放的不是方片A，則小李猜對(duì)第4個(gè)盒子里面放的時(shí)紅桃A，小張猜對(duì)第2個(gè)盒子里面放的是方片A，小紅猜對(duì)第3個(gè)盒子里面放的是黑桃A；（2）若小明猜對(duì)的是第3個(gè)盒子里面放的是方片A，則第1個(gè)盒子里面放的不是梅花A,小紅猜對(duì)第2個(gè)盒子里面放的是梅花A，小張猜對(duì)第4個(gè)盒子里面放的是黑桃A，小李猜對(duì)第3個(gè)盒子里面放的是方片A,則第一個(gè)盒子只能是紅桃A,故選A5綜合法例5德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽(yù)為數(shù)學(xué)王子19歲的高斯得到了一個(gè)數(shù)學(xué)史上非常重要的結(jié)論，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》，在其年幼時(shí)，對(duì)1＋2＋3＋…＋100的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也被稱為高斯算法．現(xiàn)有函數(shù)f＝，則f1＋f2＋…＋fm＋2022等于【答案】C

，b是常數(shù)，a>0，b>0，a≠b，，y∈0，＋∞，則，當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)取等號(hào)．利用以上結(jié)論，可以得到函數(shù)f＝0<<的最小值為【答案】C【解析】由題意可得f＝＝≥＝25，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即＝時(shí)取等號(hào)，故最小值為25故選：C練習(xí)2在直角坐標(biāo)平面上的一列點(diǎn)簡(jiǎn)記為若由構(gòu)成的數(shù)列滿足其中為方向與軸正方向相同的單位向量，則稱為點(diǎn)列有下列說(shuō)法①為點(diǎn)列；②若為點(diǎn)列，且點(diǎn)在點(diǎn)的右上方任取其中連續(xù)三點(diǎn)則可以為銳角三角形；③若為點(diǎn)列，正整數(shù)若，滿足則④若為點(diǎn)列，正整數(shù)若，滿足則其中，正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為（）【答案】C【解析】①由題意可知，，顯然有是點(diǎn)列，①正確；②在中，，，點(diǎn)在點(diǎn)的右上方，為點(diǎn)列，，，則，為鈍角，為鈍角三角形，不可以為銳角三角形，②錯(cuò)；③，，，③正確；④同理②，由于為點(diǎn)列，于是，可推導(dǎo)，，即，④正確，正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為，故選C6反證法例6（1）用分析法證明：當(dāng)，時(shí)，；（2）證明：對(duì)任意，，，這個(gè)值至少有一個(gè)不小于【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解析】試題分析：1對(duì)不等式移項(xiàng)變形，兩邊為正后，即證平方后的不等式成立。（2）假設(shè)命題的結(jié)論不成立，由假設(shè)的不等式同向相加推出與己知事實(shí)矛盾。試題解析;（1）要證不等式成立，只需證成立，即證：成立，即證：成立，即證：成立，因?yàn)樗?，所以原不等式成立?）假設(shè)這3個(gè)值沒(méi)有一個(gè)不小于0，即則，（*）而這與（*）矛盾，所以假設(shè)不成立，即原命題成立【點(diǎn)睛】分析法是“執(zhí)果索因”，是尋找命題成立的充分條件，如果條件成立的話，則命題成立。反證法是，假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即反面成立，再根據(jù)假設(shè)及條件及己知公式定理，推出與條件或定理公理或已知事實(shí)矛盾的結(jié)論，即假設(shè)不成立，原命題成立。練習(xí)1．已知，則下列三個(gè)數(shù)（）至少有一個(gè)不大于6至少有一個(gè)不小于6【答案】D【解析】設(shè)都小于6，則＜18，利用基本不等式可得≥222=486=18，這與假設(shè)所得結(jié)論矛盾，故假設(shè)不成立，故下列三個(gè)數(shù)至少有一個(gè)不小于6，故選：D練習(xí)2．已知，則下列三個(gè)數(shù)（）至少有一個(gè)不大于6至少有一個(gè)不小于6【答案】D

練習(xí)3．①已知，求證，用反證法證明時(shí)，可假設(shè)；②設(shè)為實(shí)數(shù)，，求證與中至少有一個(gè)不小于，有反證法證明時(shí)可假設(shè)，且，以下說(shuō)法正確的是（）A①與②的假設(shè)都錯(cuò)誤B①與②的假設(shè)都正確C①的假設(shè)正確，②的假設(shè)錯(cuò)誤D①的假設(shè)錯(cuò)誤，②的假設(shè)正確【答案】C【解析】①用反證法證明時(shí)，假設(shè)命題為假，應(yīng)為全面否定，所以的假命題應(yīng)為，故①的假設(shè)正確；②與中至少有一個(gè)不小于的否定為與中都小于，故②的假設(shè)錯(cuò)誤；故選C練習(xí)4．設(shè)、、都是正數(shù)，則、、三個(gè)數(shù)（）至少有一個(gè)不小于【答案】D【解析】假設(shè)、、三個(gè)數(shù)都小于，則：，利用均值不等式的結(jié)論有：

得到矛盾的結(jié)論，可見(jiàn)假設(shè)不成立，即、、三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)不小于本題選擇D選項(xiàng)【方法總結(jié)】：用反證法證明不等式要把握三點(diǎn)：1必須先否定結(jié)論，即肯定結(jié)論的反面；2必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理，即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件，且必須依據(jù)這一條件進(jìn)行推證；3推導(dǎo)出的矛盾可能多種多樣，有的與已知矛盾，有的與假設(shè)矛盾，有的與已知事實(shí)矛盾等，且推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的．練習(xí)5．用反證法證明命題：“，若可被整除，那么中至少有一個(gè)能被整除．”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)該是都不能被5整除能被5整除【答案】B【解析】由于反證法是命題的否定的一個(gè)運(yùn)用，故用反證法證明命題時(shí)，可以設(shè)其否定成立進(jìn)行推證．

命題“，如果可被整除，那么至少有1個(gè)能被5整除．”的否定是“都不能被5整除”，故選B

練習(xí)6．⑴當(dāng)時(shí)，求證：；⑵已知，．試證明至少有一個(gè)不小于．【答案】1證明見(jiàn)解析；2證明見(jiàn)解析【解析】試題分析：⑴由，當(dāng)時(shí)，可得，即可證明結(jié)論；⑵可用反證法：假設(shè)都小于，即，可得，進(jìn)而，即可得到矛盾，即可作出證明．試題解析：⑴∵∴∴⑵假設(shè)都小于，即則有①而②①與②矛盾故至少有一個(gè)不小于．練習(xí)7．已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，并且，對(duì)任意正整數(shù)，，設(shè)（）（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求證：數(shù)列不可能為等比數(shù)列【答案】1答案見(jiàn)解析；2證明見(jiàn)解析【解析】試題分析：（1）利用an1=Sn1-Sn可知證明an1=4（an-an-1），通過(guò)bn=an1-2an可知bn1=2（an1-2an），通過(guò)作商可知{bn}是公比為2的等比數(shù)列，通過(guò)a1=1可知b1=3，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）假設(shè)為等比數(shù)列，則有,n≥2,則有，故假設(shè)不成立，則數(shù)列不可能為等比數(shù)列試題解析：I∵Sn1=4an2，∴Sn=4an-12n≥2，兩式相減：an1=4an-4an-1n≥2，∴an1=4an-an-1n≥2，∴bn=an1-2an，∴bn1=an2-2an1=4an1-an-2an1，bn1=2an1-2an=2bnn∈N*，∴，∴{bn}是以2為公比的等比數(shù)列，∵b1=a2-2a1，而a1a2=4a12，∴a2=3a12=5，b1=5-2=3，∴bn=3?2n-1n∈N*II，假設(shè)為等比數(shù)列，則有,n≥2,則有=0與≥1矛盾，所以假設(shè)不成立，則原結(jié)論成立，即數(shù)列不可能為等比數(shù)列練習(xí)8．（1）若都是正實(shí)數(shù)，且，求證：與中至少有一個(gè)成立。（2）求證：【答案】1見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】試題分析：（1）本題證明結(jié)論中結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，而其否定結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，故可用反證法證明其否定不成立，以此來(lái)證明結(jié)論成立．（2）采用分析法從要證的結(jié)果入手去證明不等式即可。解析：（1）假設(shè)＜2和＜2都不成立，即≥2和≥2同時(shí)成立．∵＞0且y＞0，∴1≥2y，且1y≥2．兩式相加得2y≥22y，∴y≤2．這與已知條件y＞2矛盾，∴＜2和＜2中至少有一個(gè)成立．（2）原式子等價(jià)于2，兩邊平方得到，得證。7三段論例7有一段“三段論”推理是這樣的：對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f，如果f′0＝0，那么＝0是函數(shù)f的極值點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)