本科《線性代數(shù)》全書教學(xué)課件

線性代數(shù)第一章矩陣與行列式第一節(jié)矩陣的概念與運(yùn)算第二節(jié)行列式第三節(jié)可逆矩陣第一章矩陣與行列式第四節(jié)分塊矩陣第五節(jié)矩陣的秩第六節(jié)矩陣的初等變換第一章矩陣與行列式矩陣作為數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的概念，也是線性代數(shù)的主要研究對(duì)象之一，其實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)矩形的數(shù)表.它在線性變換、向量的線性相關(guān)性及線性方程組等問題的研究過程中具有重要地位．本章主要介紹矩陣的概念與運(yùn)算法則、方陣的行列式、可逆矩陣、分塊矩陣、矩陣的秩及矩陣的初等變換等內(nèi)容.第一節(jié)矩陣的概念與運(yùn)算矩陣的概念一、

矩陣在科學(xué)計(jì)算和日常生活中經(jīng)常用到，首先看幾個(gè)例子：第一節(jié)矩陣的概念與運(yùn)算【例1-1】第一節(jié)矩陣的概念與運(yùn)算該方程組中每個(gè)方程的未知量x1，x2，x3，x4的系數(shù)及等號(hào)右端的常數(shù)項(xiàng)按方程組中的順序可以組成一個(gè)4行5列的矩形數(shù)表,如下：第一節(jié)矩陣的概念與運(yùn)算【例1-2】第一節(jié)矩陣的概念與運(yùn)算則表中的數(shù)據(jù)按照原有位置可組成一個(gè)矩形數(shù)表：該數(shù)表簡(jiǎn)明地描述了從每個(gè)產(chǎn)地運(yùn)往每個(gè)銷地的產(chǎn)品數(shù)量，我們可以稱其為產(chǎn)品的供銷矩陣．第一節(jié)矩陣的概念與運(yùn)算【例1-3】第一節(jié)矩陣的概念與運(yùn)算這個(gè)數(shù)表描述了生產(chǎn)過程中產(chǎn)出的產(chǎn)品與投入的材料之間的數(shù)量關(guān)系．由上述例子可以看出，這種矩形數(shù)表在現(xiàn)代管理、自然科學(xué)等領(lǐng)域中是會(huì)經(jīng)常遇到的，其被稱為矩陣．第一節(jié)矩陣的概念與運(yùn)算定義1.1由m×n個(gè)數(shù)aij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）排成一個(gè)m行n列的矩形數(shù)表：我們稱之為一個(gè)m行n列矩陣，簡(jiǎn)稱m×n型矩陣，其中aij表示矩陣第i行第j列的元素，下標(biāo)i與j分別為元素aij的行標(biāo)與列標(biāo)．第一節(jié)矩陣的概念與運(yùn)算一般情況下，用大寫字母A，B，C，…表示矩陣，為了表明矩陣的行數(shù)m、列數(shù)n，以及元素aij，定義中的矩陣也可記作Am×n或(aij)m×n．元素全為實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣，元素含有復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣．如無特別說明，本書所討論的均為實(shí)矩陣．第一節(jié)矩陣的概念與運(yùn)算幾種特殊矩陣二、零矩陣1.所有元素均為0的矩陣稱為零矩陣，記作O，如果要指明其行數(shù)與列數(shù)，則記為Om×n，即注意：行（列）數(shù)不同的零矩陣是不同的．第一節(jié)矩陣的概念與運(yùn)算行（列）矩陣2.第一節(jié)矩陣的概念與運(yùn)算n階方陣3.矩陣的行數(shù)與列數(shù)都為n時(shí)，稱為n階矩陣或n階方陣．注意：當(dāng)m=n=1時(shí)，在邏輯上，我們把一階方陣A=a視同為普通的數(shù)a.第一節(jié)矩陣的概念與運(yùn)算對(duì)角陣4.除對(duì)角元以外，其余元素全為0的n階方陣稱為n階對(duì)角陣，記為：第一節(jié)矩陣的概念與運(yùn)算注意：當(dāng)n階對(duì)角陣Λ中對(duì)角元a11=a22=…=ann=a時(shí)，則稱之為數(shù)量矩陣.特別地，當(dāng)a=1時(shí)，該數(shù)量矩陣稱為單位矩陣，一般記為En，在不引起混淆的情況下，簡(jiǎn)記為E（也有部分教材將n階單位矩陣記為In或I），即第一節(jié)矩陣的概念與運(yùn)算上（下）三角形矩陣5.主對(duì)角線下（上）方元素全為0的n階方陣稱為上（下）三角形矩陣．例如，分別是3階上三角形矩陣和4階下三角形矩陣．顯然，對(duì)角陣既是上三角形矩陣，也是下三角形矩陣，但反之則不然．第一節(jié)矩陣的概念與運(yùn)算矩陣的運(yùn)算三、矩陣的意義不僅在于將一些數(shù)據(jù)排成陣列形式，還在于對(duì)它定義了一些有理論和實(shí)際意義的運(yùn)算，從而使之成為進(jìn)行理論研究和解決實(shí)際問題的有力工具．由于構(gòu)成矩陣的基本元素是數(shù)，從某種角度講，我們可以運(yùn)用數(shù)的運(yùn)算來定義矩陣的運(yùn)算，利用數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)來研究矩陣的運(yùn)算性質(zhì)．為此，先給出兩個(gè)矩陣同型和相等的定義．第一節(jié)矩陣的概念與運(yùn)算定義1.2當(dāng)兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等，列數(shù)也相等時(shí)，稱之為同型矩陣．如果有兩個(gè)m×n型矩陣A=（aij），B=（bij）滿足aij=bij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）

那么稱同型矩陣A與B相等，記作A=B．第一節(jié)矩陣的概念與運(yùn)算矩陣的加法1.定義1.3兩個(gè)同型矩陣A=（aij）m×n與B=（bij）m×n對(duì)應(yīng)位置的元素相加得到的矩陣C=（cij）m×n稱為矩陣A與矩陣B的和，記作C=A+B，其中cij=aij+bij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）應(yīng)當(dāng)注意，只有同型矩陣才能相加．第一節(jié)矩陣的概念與運(yùn)算例如，第一節(jié)矩陣的概念與運(yùn)算矩陣的數(shù)乘2.定義1.4以數(shù)k乘以矩陣A=（aij）m×n的每個(gè)元素所得到的矩陣稱為數(shù)k與矩陣A的乘積，記為第一節(jié)矩陣的概念與運(yùn)算設(shè)矩陣A=（aij）m×n，則稱-A=(－1)A=（－aij）m×n為A的負(fù)矩陣．根據(jù)矩陣的加法和數(shù)乘運(yùn)算的定義，可定義矩陣A=（aij）m×n與B=（bij）m×n的差為A－B=A+(－1)B=（aij－bij）m×n第一節(jié)矩陣的概念與運(yùn)算矩陣的加法和數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算．根據(jù)矩陣線性運(yùn)算的定義容易證明其滿足下列運(yùn)算規(guī)律：（1）A+B=B+A．（2）A+B+C=A+(B+C)．（3）A+O=A．（4）1A=A，0A=O．（5）k(A+B)=kA+kB．（6）(k+l)A=kA+lA．（7）(kl)A=k(lA)=l(kA)．其中，A，B，C，O均為m×n矩陣；k，l均為常數(shù)．第一節(jié)矩陣的概念與運(yùn)算【例1-4】第一節(jié)矩陣的概念與運(yùn)算第一節(jié)矩陣的概念與運(yùn)算矩陣的乘法3.定義1.5設(shè)矩陣A=（aij）m×s，B=（bij）s×n，矩陣A與B的乘積為一個(gè)m×n矩陣C，C=（cij）m×n，記作C=AB，其中cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsj=∑sk=1aikbkj（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）按此定義，矩陣C第i行第j列的元素cij等于第一個(gè)矩陣A的第i行與第二個(gè)矩陣B的第j列對(duì)應(yīng)元素乘積之和．第一節(jié)矩陣的概念與運(yùn)算應(yīng)當(dāng)注意，在矩陣的乘法中，只有第一個(gè)矩陣的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的行數(shù)時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘，且乘積結(jié)果的行數(shù)等于第一個(gè)矩陣的行數(shù)，乘積結(jié)果的列數(shù)等于第二個(gè)矩陣的列數(shù)．第一節(jié)矩陣的概念與運(yùn)算【例1-5】第一節(jié)矩陣的概念與運(yùn)算解

用矩陣A=（aij）m×s表示方程組未知量的系數(shù)（稱A為方程組的系數(shù)矩陣），用X=（xij）n×1表示未知量，用B=（bij）m×1表示常數(shù)項(xiàng)，即第一節(jié)矩陣的概念與運(yùn)算一般地，n個(gè)變量x1，x2，…，xn與m個(gè)變量y1，y2，…，ym之間的線性關(guān)系式稱為從變量x1，x2，…，xn到變量y1，y2，…，ym的一個(gè)線性變換．第一節(jié)矩陣的概念與運(yùn)算其中aij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）為常數(shù)，稱為線性變換（1-1）的系數(shù)．第一節(jié)矩陣的概念與運(yùn)算第一節(jié)矩陣的概念與運(yùn)算圖1-1向量Op第一節(jié)矩陣的概念與運(yùn)算圖1-2向量Op1第一節(jié)矩陣的概念與運(yùn)算【例1-6】第一節(jié)矩陣的概念與運(yùn)算矩陣的轉(zhuǎn)置4.定義1.6將m×n型矩陣A=（aij）m×n的行依次變成列，則可得到一個(gè)n×m型矩陣B=（aij）n×m，稱矩陣B為矩陣A的轉(zhuǎn)置，記作B=AT．第一節(jié)矩陣的概念與運(yùn)算一般地，矩陣的轉(zhuǎn)置滿足如下運(yùn)算規(guī)律：（1）(AT)T=A.（2）(A±B)T=AT±BT.（3）(AB)T=BTAT.（4）(kA)T=kAT.第一節(jié)矩陣的概念與運(yùn)算顯然，上述運(yùn)算規(guī)律（2）和（3）可以推廣到多個(gè)矩陣的情形，即(A1+A2+…+An)T=AT1+AT2+…+ATn(A1A2…An)T=ATn…AT2AT1若n階方陣A的元素滿足aij=aji（i，j=1，2，…，n），則稱A為對(duì)稱矩陣．第一節(jié)矩陣的概念與運(yùn)算【例1-8】第二節(jié)行列式行列式的概念源自線性方程組的求解問題，其作為研究矩陣的有效工具之一，實(shí)質(zhì)上是一種特定的算式，它是對(duì)方陣按一定法則進(jìn)行計(jì)算得到的一個(gè)數(shù)．第二節(jié)行列式二階和三階行列式一、在中學(xué)時(shí)已通過求解二元、三元一次線性方程組的問題引出了二階、三階行列式的定義.在此，再進(jìn)行簡(jiǎn)單的復(fù)習(xí)．設(shè)有二元一次線性方程組第二節(jié)行列式上述結(jié)論可作為公式使用，但這種公式解的表達(dá)式比較復(fù)雜，應(yīng)用起來也不方便，為方便記憶，我們引進(jìn)新的記號(hào)來表示這個(gè)結(jié)果，就是行列式的概念．第二節(jié)行列式為二階矩陣A的行列式，簡(jiǎn)稱二階行列式．其中aij（i，j=1，2）的第一個(gè)下標(biāo)i表示元素所在行，稱為行標(biāo)，第二個(gè)下標(biāo)j表示元素所在列，稱為列標(biāo)，則aij就是位于構(gòu)成行列式的數(shù)表第i行與第j列交叉位置的數(shù)，稱為行列式的元素．第二節(jié)行列式從式（1-2）可以看出，二階行列式實(shí)際上是一個(gè)算式，即從左上角到右下角的對(duì)角線（主對(duì)角線）上兩個(gè)元素相乘以后減去從右上角到左下角的對(duì)角線（副對(duì)角線）上兩個(gè)元素的乘積，這就是計(jì)算二階行列式的對(duì)角線法則．第二節(jié)行列式【例1-9】第二節(jié)行列式第二節(jié)行列式二階行列式的概念可以推廣至更高階的情形．類似地，在三元一次線性方程組第二節(jié)行列式并稱|A|為三階矩陣A的行列式，簡(jiǎn)稱三階行列式．三階行列式的展開式也可以用對(duì)角線法則得到，三階行列式的對(duì)角線法則如圖1-3所示．圖1-3三階行列式的對(duì)角線法則第二節(jié)行列式其中每條實(shí)線上三個(gè)元素的乘積帶正號(hào)，每條虛線上三個(gè)元素的乘積帶負(fù)號(hào)，所得六項(xiàng)的代數(shù)和就是三階行列式的展開式．第二節(jié)行列式排列與逆序二、定義1.7由數(shù)字1，2，3，…，n組成的一個(gè)有序數(shù)組稱為一個(gè)n級(jí)排列．例如，1234是一個(gè)4級(jí)排列，2143也是一個(gè)4級(jí)排列，而51324是一個(gè)5級(jí)排列．由1，2，3組成的所有3級(jí)排列共有3！=6個(gè)，由1，2，3，…，n組成的所有n級(jí)排列有n！個(gè)．其中，數(shù)字由小到大的排列123…n稱為自然排列．第二節(jié)行列式定義1.8規(guī)定數(shù)字由小到大為排列的標(biāo)準(zhǔn)次序，若在一個(gè)n級(jí)排列i1，i2，…，is，…，it，…，in中，有兩個(gè)數(shù)字is與it的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同（is>it），則稱is與it構(gòu)成一個(gè)逆序，記作isit．一個(gè)排列中逆序的總個(gè)數(shù)稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)，記作τ(i1，i2，…，in)．第二節(jié)行列式逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列．例如，排列32514的逆序數(shù)τ(32514)=5，其為奇排列；自然排列的逆序數(shù)τ(123…n)=0，其為偶排列．在所有的n級(jí)排列中，奇排列與偶排列的個(gè)數(shù)相同．第二節(jié)行列式

n階行列式三、注意觀察二階行列式（1-2）與三階行列式（1-3），可以看出：

（1）二階行列式的展開式是2！項(xiàng)乘積的代數(shù)和；三階行列式的展開式是3！項(xiàng)乘積的代數(shù)和.（2）二階和三階行列式展開式中每一個(gè)乘積項(xiàng)中的元素都取自不同的行和不同的列.第二節(jié)行列式（3）當(dāng)行列式展開式中乘積項(xiàng)元素的行標(biāo)按自然數(shù)列排列時(shí)，若元素的列標(biāo)為奇排列，則該乘積項(xiàng)取負(fù)號(hào)；元素的列標(biāo)為偶排列時(shí)，該乘積項(xiàng)取正號(hào)．作為二階、三階行列式的推廣，我們類似地給出n階行列式的定義．第二節(jié)行列式定義1.9由排成n行n列的n2個(gè)元素aij（i，j=1，2，…，n）組成的記號(hào)稱為n階行列式，其中j1j2…jn為n級(jí)排列，∑j1j2…jn表示對(duì)所有的n級(jí)排列求和．第二節(jié)行列式容易看出，n階行列式表示一個(gè)數(shù)值，這個(gè)數(shù)值是n！項(xiàng)的代數(shù)和，每一項(xiàng)是取自行列式中不同行不同列的n個(gè)元素的乘積a1j1a2j2…anjn，該項(xiàng)的符號(hào)在j1j2…jn為奇排列時(shí)取負(fù)號(hào)，為偶排列時(shí)取正號(hào)．當(dāng)n=2，3時(shí)，這樣定義的二階和三階行列式與之前用對(duì)角線法則定義的結(jié)果是一致的．當(dāng)n=1時(shí)，一階行列式為|a11|=a11，注意不要與絕對(duì)值符號(hào)混淆．第二節(jié)行列式根據(jù)二階、三階行列式的定義，我們發(fā)現(xiàn)式（1-4）還可以寫成如下形式：(1-5）第二節(jié)行列式第二節(jié)行列式第二節(jié)行列式上式表明，一個(gè)三階行列式等于它的第1行各個(gè)元素與其相應(yīng)的代數(shù)余子式（都是二階行列式）的乘積之和，這就意味著三階行列式可化為二階行列式來計(jì)算．利用這個(gè)特點(diǎn)可以類似定義四階行列式、五階行列式……以此類推，可以給出n階行列式的另一種定義．第二節(jié)行列式定義1.10由排成n行n列的n2個(gè)數(shù)組成的n階行列式記作第二節(jié)行列式第二節(jié)行列式【例1-11】第二節(jié)行列式行列式的性質(zhì)四、由前面n階行列式的定義我們可以計(jì)算一些低階行列式，但對(duì)于較高階行列式的計(jì)算來說仍相當(dāng)煩瑣，因此有必要討論行列式的性質(zhì)，使行列式的計(jì)算簡(jiǎn)化．利用對(duì)角線展開法可以證明三階行列式具有下面的一些性質(zhì)，這些性質(zhì)對(duì)于n階行列式也是成立的．第二節(jié)行列式性質(zhì)1

行列式的行與相應(yīng)的列互換，其值不變．換言之，任意方陣A的行列式等于其轉(zhuǎn)置矩陣的行列式，即|AT|=|A|．例如，由此可知，對(duì)于行列式的行具有的性質(zhì)，它的列也具有相應(yīng)的性質(zhì)，反之亦然．第二節(jié)行列式性質(zhì)2

交換行列式的任意兩行（列），行列式的值只改變符號(hào)．第二節(jié)行列式推論

如果行列式中某兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素都相等，那么行列式的值為零．

證明

假設(shè)行列式D中的第i，j兩行的對(duì)應(yīng)元素相等，把這兩行互換得到行列式D1，由性質(zhì)2知D1=-D．此外，由于互換的兩行相同，所以有D1=D．由此推得D=-D，即D=0．第二節(jié)行列式性質(zhì)3用常數(shù)k乘以行列式的某一行（列）的各元素，等于用數(shù)k乘此行列式．第二節(jié)行列式推論1如果行列式某行（列）的各元素有公因子，公因子可提到行列式的外面．注意：若A為n階矩陣，k為常數(shù)，則|kA|=kn|A|．第二節(jié)行列式推論2如果行列式的某一行（列）元素全為零，那么行列式的值為零．推論3如果行列式的兩行（列）對(duì)應(yīng)元素成比例，那么行列式的值為零．性質(zhì)4如果行列式某行（列）的元素都是兩項(xiàng)之和，那么這個(gè)行列式可拆分為兩個(gè)相應(yīng)行列式的和．第二節(jié)行列式性質(zhì)5把行列式的某一行（列）的各元素乘以常數(shù)k后加到另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上去，行列式的值不變．第二節(jié)行列式性質(zhì)6行列式按行（列）展開性質(zhì)：行列式等于它的任意一行（列）的各元素與對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積的和．第二節(jié)行列式性質(zhì)7行列式某一行（列）的各元素與另一行（列）對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積的和等于零．即ai1Aj1+ai2Aj2+ai3Aj3=0，其中i≠j（i，j=1，2，3）．性質(zhì)8設(shè)A，B都是n階矩陣，則A，B乘積的行列式等于它們行列式的乘積，即|AB|=|A||B|.推論

設(shè)A1，A2，…，Ak都是n階矩陣，則|A1A2…Ak|=|A1||A2|…|Ak|．值得注意的是，雖然在一般情況下AB≠BA，但|AB|=|BA|．第二節(jié)行列式行列式的計(jì)算五、上面介紹了行列式的定義及性質(zhì)，下面我們利用它們來簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算．由于行列式的計(jì)算過程變化較多，為了便于書寫和復(fù)查，約定采用下列標(biāo)記方法：（1）以r代表行，c代表列．第二節(jié)行列式（2）ri+krj(ci+kcj)表示把第j行（列）對(duì)應(yīng)元素乘以k后加到第i行（列）的每一個(gè)元素．（3）ri←→rj(ci←→cj)表示互換第i行（列）和第j行（列）．（4）r(i)(c(i))表示按照第i行（列）展開．第二節(jié)行列式【例1-12】第二節(jié)行列式一般情況下，低階行列式總是比高階行列式容易計(jì)算，而按照行列式按行（列）展開的性質(zhì)，高階行列式的計(jì)算問題總是可以轉(zhuǎn)化為若干個(gè)低階行列式的計(jì)算問題．運(yùn)用行列式的性質(zhì)把行列式某行（列）的大部分元素化為零，再按該行（列）展開，將大大簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算，這是計(jì)算行列式的主要方法．第三節(jié)可逆矩陣在第一節(jié)中，我們對(duì)矩陣定義了與數(shù)相仿的加法、減法和乘法運(yùn)算．在實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算中，如果一個(gè)數(shù)a≠0，那么一定存在唯一一個(gè)數(shù)b=1a=a－1，使得ab=ba=1，b稱為a的倒數(shù)．在矩陣的乘法運(yùn)算中，對(duì)于n階矩陣A，是否能找到唯一的矩陣B，使得AB=BA=E成立？這就是我們要討論的逆矩陣的問題．第三節(jié)可逆矩陣逆矩陣的概念一、定義1.11對(duì)于n階方陣A，如果存在一個(gè)n階方陣B，使得AB=BA=E（1-8）

那么稱A為可逆矩陣（或矩陣A可逆），稱B為A的逆矩陣，簡(jiǎn)稱逆陣．第三節(jié)可逆矩陣由定義知：（1）可逆矩陣是對(duì)方陣而言的，若A不是方陣，則一定不可逆.（2）如果A是可逆矩陣，那么B也是可逆矩陣．并且A與B互為逆陣.（3）如果A是可逆矩陣，那么它的逆陣是唯一的．第三節(jié)可逆矩陣因?yàn)槿绻鸄有兩個(gè)逆陣B1和B2，根據(jù)定義，有AB1=B1A=E，AB2=B2A=E于是B1=B1E=B1(AB2)=(B1A)B2=EB2=B2這說明A的逆矩陣是唯一的，我們規(guī)定A的逆矩陣記作A-1，則有AA-1=A-1A=E第三節(jié)可逆矩陣【例1-17】第三節(jié)可逆矩陣【例1-18】若方陣A滿足等式A2-A+E=O，問A是否可逆，若可逆,求出其逆陣．解

由A2-A+E=O可得A-A2=E，利用矩陣乘法運(yùn)算法則可得A-A2=A（E-A）=（E-A）A=E由定義1.11可知A可逆，且A-1=E-A.第三節(jié)可逆矩陣矩陣可逆的充要條件二、在數(shù)的運(yùn)算中，并不是所有的數(shù)都有倒數(shù)，只有非零的數(shù)才有倒數(shù)．類似地，不是所有的n階方陣A都存在逆矩陣，如零矩陣就不可逆（因?yàn)槿魏尉仃嚺c零矩陣的乘積都是零矩陣）．我們接下來要解決的問題就是：n階方陣A在什么條件下可逆？如果可逆，又如何求它的逆矩陣？為此先介紹一個(gè)轉(zhuǎn)置伴隨矩陣的概念．第三節(jié)可逆矩陣定義1.12對(duì)于n階方陣第三節(jié)可逆矩陣顯然，按照第二節(jié)性質(zhì)6和性質(zhì)7，可得第三節(jié)可逆矩陣即任一方陣A與其轉(zhuǎn)置伴隨矩陣A*滿足以下關(guān)系：AA*=A*A=|A|E由此我們可以得到矩陣A可逆的充分必要條件及A-1的一種求解方法．第三節(jié)可逆矩陣定理1.1n階方陣A可逆的充分必要條件是|A|≠0，且A－1=1AA*證明

必要性：設(shè)A可逆，由AA-1=E，兩邊取行列式，得|AA-1|=|E|于是|A||A-1|=1所以，若A為可逆矩陣，則|A|≠0．第三節(jié)可逆矩陣第三節(jié)可逆矩陣這個(gè)定理既說明了方陣可逆的條件，又具體給出了利用轉(zhuǎn)置伴隨矩陣求逆矩陣的公式．對(duì)于n階方陣A，當(dāng)|A|=0時(shí)，A稱為奇異矩陣，否則稱為非奇異矩陣．則由定理1.1可知：A是可逆矩陣的充分必要條件是A是非奇異矩陣．第三節(jié)可逆矩陣【例1-19】第三節(jié)可逆矩陣【例1-20】第三節(jié)可逆矩陣第三節(jié)可逆矩陣一般來說，當(dāng)矩陣A階數(shù)較高時(shí)，利用轉(zhuǎn)置伴隨矩陣求其逆矩陣的方法是比較麻煩的．如【例1-20】，求一個(gè)3階矩陣的逆矩陣，要計(jì)算一個(gè)3階行列式和9個(gè)2階行列式．第三節(jié)可逆矩陣可逆矩陣的性質(zhì)三、可逆矩陣的運(yùn)算滿足以下性質(zhì)：性質(zhì)9設(shè)矩陣A可逆，則A的逆矩陣A-1也可逆，且有(A-1)-1=A．由逆矩陣的定義AA-1=A-1A=E可得A-1的逆矩陣(A-1)-1存在，且(A-1)-1=A．第三節(jié)可逆矩陣性質(zhì)10設(shè)A，B為同階可逆矩陣，則AB也可逆，且有(AB)-1=B-1A-1．由矩陣乘法的結(jié)合律，得(AB)(B－1A－1)=A(BB－1)A－1=AEA－1=AA－1=E(B－1A－1)(AB)=B－1(A－1A)B=B－1EB=B－1B=E由逆矩陣的定義可知，AB可逆，且(AB)-1=B-1A-1．第三節(jié)可逆矩陣此性質(zhì)可推廣到多個(gè)可逆矩陣相乘的情形，即如果A1，A2，…，Ak為同階可逆矩陣，那么A1A2…Ak也可逆，且(A1A2…Ak)－1=A－1k…A－12A－11第三節(jié)可逆矩陣性質(zhì)11若A可逆，則AT也可逆，且有(AT)-1=(A-1)T．因?yàn)锳可逆，所以存在A-1，使AA-1=E，于是根據(jù)矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算規(guī)律，有AT(A－1)T=(A－1A)T=ET=E則AT可逆，且(AT)-1=(A-1)T．第三節(jié)可逆矩陣第三節(jié)可逆矩陣性質(zhì)13若矩陣A可逆，則A－1=1A．因?yàn)锳可逆，所以|A|≠0，且AA-1=E，于是有AA－1=AA－1=E=1所以A－1=1A方陣A可逆時(shí)，還可以定義A0=E，A－k=(A－1)k（k為正整數(shù)）這樣，在A可逆時(shí)，就把矩陣的冪的概念推廣到整數(shù)的范圍，并有AlAs=Al+s，(Al)s=Als（l，s為整數(shù)）第三節(jié)可逆矩陣【例1-22】第三節(jié)可逆矩陣第四節(jié)分塊矩陣為了計(jì)算簡(jiǎn)便或理論研究的需要，有時(shí)我們需要將一個(gè)行數(shù)和列數(shù)較多的大型矩陣劃分為若干塊小矩陣，使大矩陣的運(yùn)算問題轉(zhuǎn)化成小矩陣的運(yùn)算問題，這種做法稱為矩陣分塊．它是矩陣運(yùn)算中的一種簡(jiǎn)化技巧，也是處理階數(shù)較高的矩陣的重要方法．第四節(jié)分塊矩陣分塊矩陣的概念一、定義1.13用若干條縱線和橫線把矩陣A分割成若干小矩陣，每個(gè)小矩陣稱為A的一個(gè)子塊或子陣，以這些子塊為元素的矩陣形式稱為分塊矩陣．第四節(jié)分塊矩陣其中E3和E2分別表示3階和2階單位矩陣，而第四節(jié)分塊矩陣矩陣的分塊方式可以是任意的，但要根據(jù)原矩陣的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和運(yùn)算內(nèi)容的需要來選擇適當(dāng)?shù)姆謮K方法，既要使子塊在參與運(yùn)算時(shí)有意義，又要為運(yùn)算的方便考慮，這才是矩陣分塊的目的．第四節(jié)分塊矩陣分塊矩陣的基本運(yùn)算二、分塊矩陣的運(yùn)算與普通矩陣的運(yùn)算類似.可以將每個(gè)子塊當(dāng)成矩陣的一個(gè)元素處理，子塊與子塊之間的運(yùn)算仍然按照普通矩陣的運(yùn)算進(jìn)行．第四節(jié)分塊矩陣分塊矩陣的加法1.設(shè)A，B均為m×n矩陣，即A+B有意義．對(duì)A，B采用相同的分塊法，有第四節(jié)分塊矩陣數(shù)與分塊矩陣的乘積2.第四節(jié)分塊矩陣分塊矩陣的乘積3.設(shè)A為m×s矩陣，B為s×n矩陣，即AB有意義．在對(duì)A，B進(jìn)行分塊時(shí)，為使分塊矩陣的乘積AB有意義，要使左乘矩陣A的列的分法與右乘矩陣B的行的分法相同，至于A的行的分法與B的列的分法則無任何要求．即第四節(jié)分塊矩陣第四節(jié)分塊矩陣分塊矩陣的轉(zhuǎn)置4.求分塊矩陣的轉(zhuǎn)置時(shí)，不但要把分塊矩陣的行與列互換，同時(shí)每一個(gè)子塊也要做轉(zhuǎn)置．第四節(jié)分塊矩陣第四節(jié)分塊矩陣第四節(jié)分塊矩陣上述對(duì)角分塊矩陣具備下列運(yùn)算規(guī)律：第四節(jié)分塊矩陣（2）對(duì)角分塊矩陣的行列式具有下述性質(zhì)：第四節(jié)分塊矩陣【例1-24】第四節(jié)分塊矩陣第五節(jié)矩陣的秩對(duì)于n階方陣A，當(dāng)它為非奇異矩陣（|A|≠0）時(shí)我們可以探討其可逆的相關(guān)性質(zhì)，而m×n型矩陣則不存在通常意義上的逆矩陣．為了討論一般矩陣的性質(zhì)，需要引入矩陣的秩的概念．矩陣的秩作為矩陣的一個(gè)基本屬性，在求解逆矩陣和線性方程組等問題中有重要應(yīng)用．第五節(jié)矩陣的秩矩陣秩的定義一、為建立矩陣秩的定義，先引入矩陣的子式的定義．定義1.14在m×n型矩陣A=(aij)m×n中任取k行與k列(1≤k≤min{m,n})，位于這些行、列交叉處的k2個(gè)元素按原來位置次序則構(gòu)成一個(gè)k階行列式，稱之為矩陣A的一個(gè)k階子式．第五節(jié)矩陣的秩第五節(jié)矩陣的秩注意：（1）矩陣的k階子式是行列式而非矩陣.（2）m×n型矩陣的k階子式共有CkmCkn個(gè)．有了子式的定義，就可以定義矩陣的秩．第五節(jié)矩陣的秩定義1.15設(shè)A是m×n型矩陣，如果A中有一個(gè)不為零的r階子式D，而任何r+1階子式（如果存在的話）均為零，那么稱D為矩陣A的最高階非零子式，稱r為矩陣A的秩，記作R(A)=r．規(guī)定：零矩陣的秩為0．根據(jù)行列式的性質(zhì)可知，如果矩陣A的所有r+1階子式全為零，那么其所有高于r+1階的子式也全為零.因此，矩陣的秩就是其不等于零的子式的最高階數(shù)．第五節(jié)矩陣的秩第五節(jié)矩陣的秩矩陣秩的性質(zhì)二、由定義1.15，矩陣Am×n的秩有如下性質(zhì)：（1）R(A)=R(AT).（2）0≤R(A)≤min(m,n).（3）R(kA)=0，k=0R(A)，k≠0.對(duì)于n階方陣A，若|A|≠0，則R(A)=n時(shí)，稱方陣A為滿秩矩陣；若|A|=0，則R(A)<n，稱方陣A為降秩矩陣．因此，可逆矩陣（非奇異矩陣）又稱滿秩矩陣；不可逆矩陣（奇異矩陣）又稱降秩矩陣．由此可得如下定理：第五節(jié)矩陣的秩定理1.2設(shè)A為n階方陣，則R(A)=n的充分必要條件是A為可逆矩陣．第五節(jié)矩陣的秩【例1-25】第五節(jié)矩陣的秩一般地，利用定義求矩陣的秩，需檢查多個(gè)子式的值，這對(duì)于低階矩陣是方便的，但對(duì)于高階矩陣，k階子式的計(jì)算量較大，很不方便．在第六節(jié)，我們將介紹利用矩陣的初等變換求矩陣的秩的方法．第五節(jié)矩陣的秩【例1-26】第六節(jié)矩陣的初等變換矩陣的初等變換是矩陣的一種最基本的運(yùn)算，它在求解可逆矩陣的逆矩陣、矩陣的秩及線性方程組等問題中有著廣泛的應(yīng)用．第六節(jié)矩陣的初等變換矩陣的初等變換與初等矩陣一、我們發(fā)現(xiàn)，在利用消元法求線性方程組的解時(shí)，經(jīng)常用到如下三種同解變形：（1）交換兩個(gè)方程的位置.（2）用非零常數(shù)乘以某一個(gè)方程.（3）用一個(gè)常數(shù)乘一個(gè)方程加到另一個(gè)方程上去．這三種運(yùn)算稱為線性方程組的初等變換，而且，線性方程組經(jīng)過初等變換后其解不變．第六節(jié)矩陣的初等變換從矩陣的角度觀察，這種對(duì)線性方程組進(jìn)行初等變換的過程，我們可以歸結(jié)為對(duì)相應(yīng)矩陣的行進(jìn)行初等變換，這就是矩陣的初等行變換．把定義中的“行”換成“列”即得到矩陣的初等列變換的定義（所用的記號(hào)是把r換成c）．矩陣的初等行變換與初等列變換，統(tǒng)稱為矩陣的初等變換．第六節(jié)矩陣的初等變換定義1.16下面三種變換稱為矩陣的初等行變換：（1）對(duì)調(diào)矩陣某兩行的位置（對(duì)調(diào)i，j兩行，記作rirj）.（2）以數(shù)k（k≠0）乘以矩陣某一行中的所有元素（k乘第i行，記作kri）.（3）把某一行所有元素的λ倍加到另一行的對(duì)應(yīng)元素上（第j行的k倍加到第i行上，記作ri+krj）．把定義中的“行”換成“列”即得到矩陣的初等列變換的定義（所用的記號(hào)是把r換成c）．矩陣的初等行變換與初等列變換，統(tǒng)稱為矩陣的初等變換．第六節(jié)矩陣的初等變換定義1.17由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換所得到的矩陣稱為初等矩陣．對(duì)應(yīng)于矩陣的三種初等變換形式，有三種初等矩陣．（1）對(duì)調(diào)單位矩陣的任意兩行（列）.例如，把單位矩陣E中第i，j兩行（列）對(duì)調(diào)（ri←rj或ci←cj），得初等矩陣第六節(jié)矩陣的初等變換第六節(jié)矩陣的初等變換（2）以任意常數(shù)k（k≠0）乘以單位矩陣的某行（列）.例如，以任意常數(shù)k（k≠0）乘以單位矩陣E的第i行（列）（kri或kci），得初等矩陣第六節(jié)矩陣的初等變換（3）以任意常數(shù)k乘以單位矩陣的某行（列）后加到另一行（列）上.例如，以數(shù)k乘以單位陣的第i行（列）加到第j行（列）上（rj+kri或cj+kci），得初等矩陣第六節(jié)矩陣的初等變換容易驗(yàn)證，初等矩陣具有以下性質(zhì)：（1）初等矩陣的轉(zhuǎn)置仍為初等矩陣.（2）初等矩陣均是可逆矩陣.（3）初等矩陣的逆矩陣仍是初等矩陣，且第六節(jié)矩陣的初等變換定理1.3設(shè)A=(aij)是m×n型矩陣，則（1）對(duì)A每施行一次初等行變換，相當(dāng)于在A的左邊乘以一個(gè)相應(yīng)的m階初等矩陣.（2）對(duì)A每施行一次初等列變換，相當(dāng)于在A的右邊乘以一個(gè)相應(yīng)的n階初等矩陣．定理證明從略．下面通過實(shí)例來說明．第六節(jié)矩陣的初等變換第六節(jié)矩陣的初等變換這說明交換矩陣的第2行與第3行相當(dāng)于用初等矩陣E3(2,3)左乘矩陣A．將矩陣A的第2列與第3列互換，則有第六節(jié)矩陣的初等變換可見，交換矩陣A的第2列與第3列相當(dāng)于用初等矩陣E4(2,3)右乘矩陣A．用同樣的方法可以驗(yàn)證，對(duì)矩陣A每施行一次初等行（列）變換，相當(dāng)于在A的左（右）邊乘以一個(gè)相應(yīng)的初等矩陣．第六節(jié)矩陣的初等變換利用初等變換化簡(jiǎn)矩陣二、對(duì)矩陣進(jìn)行初等變換的一個(gè)重要目的就是化簡(jiǎn)矩陣．下面介紹化簡(jiǎn)后的矩陣形式及化簡(jiǎn)方法．如果矩陣A的某一行各個(gè)元素均為零，那么稱該行為矩陣A的零行，否則稱該行為矩陣A的非零行．第六節(jié)矩陣的初等變換定義1.18滿足下面兩個(gè)條件的矩陣稱為行階梯形矩陣：（1）非零行都在零行的上方（沒有零行就認(rèn)為已滿足）.（2）每一非零行的非零首元所在列中，該元素下方的元素全為0．例如，矩陣第六節(jié)矩陣的初等變換第六節(jié)矩陣的初等變換定義1.19如果行階梯形矩陣還滿足下列兩個(gè)條件，那么稱其為行最簡(jiǎn)形矩陣：（1）非零行的第一個(gè)非零元素都是1.（2）非零行的非零首元所在列的其他元素都是0．第六節(jié)矩陣的初等變換第六節(jié)矩陣的初等變換定理1.4利用初等行變換可以把任意非零矩陣化為行階梯形矩陣，進(jìn)而化為行最簡(jiǎn)階梯形矩陣．第六節(jié)矩陣的初等變換定理1.5對(duì)于任意非零矩陣A(aij)m×n，都可經(jīng)過有限次初等變換化為形如的矩陣，稱此矩陣為矩陣A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形，其特點(diǎn)是左上角是一個(gè)r階的單位矩陣，其余元素均為0．即對(duì)于任何矩陣Am×n，總可以經(jīng)過有限次初等變換把A化成行階梯形、行最簡(jiǎn)階梯形及標(biāo)準(zhǔn)形矩陣．第六節(jié)矩陣的初等變換【例1-27】將矩陣A化為行階梯形、行最簡(jiǎn)形及行標(biāo)準(zhǔn)形矩陣，其中第六節(jié)矩陣的初等變換第六節(jié)矩陣的初等變換第六節(jié)矩陣的初等變換其中，矩陣B1，B2，B3分別是矩陣A的行階梯形、行最簡(jiǎn)形及行標(biāo)準(zhǔn)形矩陣．注意：矩陣經(jīng)初等變換后變成另外一個(gè)矩陣，運(yùn)算過程中不能用等號(hào)．且矩陣的初等變換與行列式的三種基本運(yùn)算方式要區(qū)別記憶．第六節(jié)矩陣的初等變換初等變換的應(yīng)用三、求矩陣的秩1.定理1.6任意非零矩陣A=(aij)m×n在經(jīng)過一系列初等行變換后秩不變，且矩陣A的秩等于其相應(yīng)階梯形矩陣非零行的行數(shù)．由此，我們可以得到一個(gè)求矩陣秩的方法：對(duì)矩陣進(jìn)行初等行變換，將其化為行階梯形矩陣，則矩陣的秩為此行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)．第六節(jié)矩陣的初等變換【例1-28】第六節(jié)矩陣的初等變換第六節(jié)矩陣的初等變換定理1.7設(shè)A與B為m×n型矩陣，那么，（1）A=rB的充分必要條件是存在m階可逆矩陣P，使得PA=B.（2）A=cB的充分必要條件是存在n階可逆矩陣Q，使得AQ=B.（3）A=B的充分必要條件是存在m階可逆矩陣P及n階可逆矩陣Q，使得PAQ=B.第六節(jié)矩陣的初等變換證明

（1）依據(jù)A=rB的定義即初等矩陣的性質(zhì)，有A=rBA經(jīng)過有限次初等行變換變成B存在有限個(gè)m階初等矩陣P1，P2，…，Pl，使Pl…P2P1=B存在m階可逆矩陣P=Pl…P2P1，使PA=B.類似可證明（2）與（3）.第六節(jié)矩陣的初等變換下面介紹幾種常用的矩陣秩的性質(zhì)：（1）若A=B，則R(A)=R(B).（2）若P,Q可逆，則R(PAQ)=R(B).（3）max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)+R(B).（4）R(A+B)≤R(A)+R(B).（5）R(AB)≤min{R(A),R(B)}.（6）若Am×nBn×l=O，則R(A)+R(B)≤n．第六節(jié)矩陣的初等變換用矩陣的初等行變換求逆矩陣2.設(shè)A為n階方陣，在A的右邊同時(shí)寫出與A同階的單位矩陣E，構(gòu)成一個(gè)n×2n的矩陣(A,E)，然后對(duì)(A,E)連續(xù)實(shí)施初等行變換，直至左邊子塊A化為單位矩陣E時(shí)，右邊子塊即為A-1，即A,E=rE,A－1第六節(jié)矩陣的初等變換【例1-31】第六節(jié)矩陣的初等變換【例1-32】第六節(jié)矩陣的初等變換拓展空間

行列式的由來

行列式的出現(xiàn)源于線性方程組的求解，它最早是一種速記的表達(dá)式，現(xiàn)在已經(jīng)是數(shù)學(xué)中一種非常有用的工具.行列式是由萊布尼茨（Leibniz,1646—1716）和日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和（約1642—1708）發(fā)明的.1693年4月，萊布尼茨在寫給洛必達(dá)的一封信中使用并給出了行列式，而且給出了方程組的系數(shù)行列式為零的條件.同時(shí)代的日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和在其著作《解伏題之法》中也提出了行列式的概念與算法.拓展空間1750年，瑞士數(shù)學(xué)家克拉默(G.Cramer,1704—1752)在其著作《線性代數(shù)分析導(dǎo)引》中，對(duì)行列式的定義和展開法則給出了比較完整、明確的闡述，并給出了現(xiàn)在我們所稱的解線性方程組的克拉默法則.稍后，數(shù)學(xué)家貝祖(E.Bezout,1730—1783)將確定行列式每一項(xiàng)符號(hào)的方法進(jìn)行了系統(tǒng)化，利用系數(shù)行列式概念指出了如何判斷一個(gè)齊次線性方程組有非零解.總之，在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)，行列式只是作為解線性方程組的一種工具使用，并沒有人意識(shí)到它可以獨(dú)立于線性方程組之外，單獨(dú)形成一門理論加以研究.拓展空間在行列式的發(fā)展史上，第一個(gè)對(duì)行列式理論做出連貫的邏輯的闡述，即把行列式理論與線性方程組求解相分離的人，是法國(guó)數(shù)學(xué)家范德蒙德(A.T.Vandermonde,1735—1796).范德蒙德自幼在父親的指導(dǎo)下學(xué)習(xí)音樂，但對(duì)數(shù)學(xué)有濃厚的興趣，后來終于成為法蘭西科學(xué)院院士.特別地，他給出了用2階子式和它們的余子式來展開行列式的法則.就對(duì)行列式本身這一點(diǎn)來說，他是這門理論的奠基人.1772年，拉普拉斯在一篇論文中證明了范德蒙德對(duì)行列式本身這一點(diǎn)提出的一些規(guī)則，推廣了他的展開行列式的方法.拓展空間繼范德蒙德對(duì)行列式本身這一點(diǎn)之后，在行列式的理論方面，又一位做出突出貢獻(xiàn)的是另一位法國(guó)大數(shù)學(xué)家柯西（A.L.Cauchy,1789—1857）.1815年，柯西在一篇論文中給出了行列式的第一個(gè)系統(tǒng)的、幾乎是近代的處理.其中主要結(jié)果之一是行列式的乘法定理.另外，他第一個(gè)把行列式的元素排成方陣，采用雙足標(biāo)記法;引進(jìn)了行列式特征方程的術(shù)語(yǔ);給出了相似行列式概念;改進(jìn)了拉普拉斯的行列式展開定理并給出了一個(gè)證明等.拓展空間19世紀(jì)的半個(gè)多世紀(jì)中，對(duì)行列式理論研究始終不渝的作者之一是詹姆斯·西爾維斯特(J.Sylvester,1814—1897).他是一個(gè)活潑、敏感、興奮、熱情，甚至容易激動(dòng)的人，然而由于是猶太人的緣故，他受到劍橋大學(xué)的不平等對(duì)待.西爾維斯特用火一般的熱情介紹他的學(xué)術(shù)思想，他的重要成就之一是改進(jìn)了從一個(gè)n次和一個(gè)m次的多項(xiàng)式中消去x的方法，他稱之為配析法，并給出形成的行列式為零時(shí)這兩個(gè)多項(xiàng)式方程有公共根充分必要條件這一結(jié)果，但沒有給出證明.拓展空間繼柯西之后，在行列式理論方面最多產(chǎn)的人就是德國(guó)數(shù)學(xué)家雅可比(C.Jacobi,1804—1851),他引進(jìn)了函數(shù)行列式，即“雅可比行列式”，指出函數(shù)行列式在多重積分的變量替換中的作用，給出了函數(shù)行列式的導(dǎo)數(shù)公式.雅可比的著名論文《論行列式的形成與性質(zhì)》標(biāo)志著行列式系統(tǒng)理論的建成.行列式在數(shù)學(xué)分析、幾何學(xué)、線性方程組理論、二次型理論等多方面的應(yīng)用，促使行列式理論自身在19世紀(jì)也得到了很大的發(fā)展.整個(gè)19世紀(jì)都有行列式的新成果.除了一般行列式的大量定理之外，還有許多有關(guān)特殊行列式的其他定理都相繼得到.拓展空間矩陣是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的基本概念，是代數(shù)學(xué)的一個(gè)主要研究對(duì)象，也是數(shù)學(xué)研究和應(yīng)用的一個(gè)重要工具.“矩陣”這個(gè)詞是由西爾維斯特首先使用的，他是為了將數(shù)字的矩形陣列區(qū)別于行列式而發(fā)明了這個(gè)術(shù)語(yǔ).而實(shí)際上，矩陣這個(gè)課題在誕生之前就已經(jīng)發(fā)展得很好了.從行列式的大量工作中明顯地表現(xiàn)出來，為了很多目的，不管行列式的值是否與問題有關(guān)，方陣本身都可以研究和使用，矩陣的許多基本性質(zhì)也是在行列式的發(fā)展中建立起來的.在邏輯上，矩陣的概念應(yīng)先于行列式的概念，然而在歷史上次序卻正好相反.拓展空間英國(guó)數(shù)學(xué)家凱萊(A.Cayley,1821—1895)被公認(rèn)為矩陣論的創(chuàng)立者，因?yàn)樗紫劝丫仃囎鳛橐粋€(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)概念提出來，并首先發(fā)表了關(guān)于這個(gè)題目的一系列文章.凱萊出生于一個(gè)古老而有才能的英國(guó)家庭，從劍橋大學(xué)三一學(xué)院畢業(yè)后留校講授數(shù)學(xué)，三年后他轉(zhuǎn)從律師職業(yè)，工作卓有成效，并利用業(yè)余時(shí)間研究數(shù)學(xué)，發(fā)表了大量的數(shù)學(xué)論文.凱萊同研究線性變換下的不變量相結(jié)合，首先引進(jìn)矩陣以簡(jiǎn)化記號(hào).拓展空間1858年，他發(fā)表了關(guān)于這一課題的第一篇論文《矩陣論的研究報(bào)告》，系統(tǒng)地闡述了關(guān)于矩陣的理論.文中他定義了矩陣的相等、矩陣的運(yùn)算法則、矩陣的轉(zhuǎn)置及矩陣的逆等一系列基本概念，指出了矩陣加法的可交換性與可結(jié)合性.另外，凱萊還給出了方陣的特征方程和特征根(特征值)，以及有關(guān)矩陣的一些基本結(jié)果.拓展空間1855年，埃爾米特(C.Hermite,1822—1901)證明了其他數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的一些矩陣類的特征根的特殊性質(zhì)，如現(xiàn)在稱為埃爾米特矩陣的特征根性質(zhì)等.后來,克萊伯施(A.Clebsch,1831—1872)、布克海姆(A.Buchheim)等證明了對(duì)稱矩陣的特征根性質(zhì).泰伯(H.Taber)引入矩陣的跡的概念并給出了一些有關(guān)的結(jié)論.拓展空間在矩陣論的發(fā)展史上，弗羅伯紐斯(G.Frobenius,1849—1917)的貢獻(xiàn)是不可磨滅的.他討論了最小多項(xiàng)式問題，引進(jìn)了矩陣的秩、不變因子和初等因子、正交矩陣、矩陣的相似變換、合同矩陣等概念，以合乎邏輯的形式整理了不變因子和初等因子的理論，梅茨勒(H.Metzler)引進(jìn)了矩陣的超越函數(shù)概念并將其寫成矩陣的冪級(jí)數(shù)的形式.傅里葉、西爾和龐加萊的著作中還討論了無限階矩陣問題，這主要是適用方程發(fā)展的需要而開始的.拓展空間矩陣本身所具有的性質(zhì)依賴于元素的性質(zhì)，矩陣由最初作為一種工具，經(jīng)過兩個(gè)多世紀(jì)的發(fā)展，現(xiàn)在已成為獨(dú)立的一門數(shù)學(xué)分支——矩陣論.而矩陣論又可分為矩陣方程論、矩陣分解論和廣義逆矩陣論等矩陣的現(xiàn)代理論.矩陣及其理論現(xiàn)已廣泛地應(yīng)用于現(xiàn)代科技的各個(gè)領(lǐng)域.謝謝觀看！線性代數(shù)第二章向量與向量空間第一節(jié)n維向量及其線性運(yùn)算第二節(jié)向量組的線性相關(guān)性第三節(jié)向量組的秩第四節(jié)向量空間“向量”一詞來自力學(xué)、解析幾何中的有向線段，是一種帶幾何性質(zhì)的量，除零向量外，都可以畫出箭頭表示方向，故向量又被稱為矢量．很多物理量，如力、速度、位移及電場(chǎng)強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度等，都是向量．向量空間的概念是數(shù)學(xué)中最基本的概念和線性代數(shù)的中心內(nèi)容，它的理論和方法在自然科學(xué)的各領(lǐng)域中具有廣泛的應(yīng)用．而向量及其線性運(yùn)算則為向量空間這一抽象的概念提供了一個(gè)具體的模型.第二章向量與向量空間本章主要介紹n維向量的有關(guān)概念和向量空間的基本概念.先討論向量的線性運(yùn)算及向量組的線性相關(guān)性，然后引入極大無關(guān)向量組的概念，定義向量組的秩，并進(jìn)一步討論向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系.最后給出向量空間的概念.第二章向量與向量空間第一節(jié)n維向量及其線性運(yùn)算n維向量一、在解析幾何中，平面上的幾何向量OP的坐標(biāo)可用一個(gè)二元有序數(shù)組(x,y)表示，而空間里的幾何向量OP的坐標(biāo)則是一個(gè)三元有序數(shù)組(x，y，z).在研究其他問題時(shí)，也常遇見有序數(shù)組.例如，將組成社會(huì)生產(chǎn)的各個(gè)部門的產(chǎn)品或勞務(wù)的數(shù)量，按一定次序排列起來，就得到了國(guó)民經(jīng)濟(jì)各部門產(chǎn)品或勞務(wù)的有序數(shù)組.第一節(jié)n維向量及其線性運(yùn)算定義2.1由n個(gè)數(shù)a1，a2，…，an組成的一個(gè)有序數(shù)組稱為一個(gè)n維向量，記為其中，ai(i=1，2，…，n)稱為該向量的第i個(gè)分量.向量所含分量的個(gè)數(shù)n稱為向量的維數(shù).分量全為實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量，分量為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量.本書只討論實(shí)向量.第一節(jié)n維向量及其線性運(yùn)算向量一般用希臘字母α，β，γ，…表示，其分量一般用小寫的英文字母ai，bi，ci，…表示，例如，可以記第一節(jié)n維向量及其線性運(yùn)算n維向量可寫成一行或是一列，分別稱之為n維行向量和n維列向量.我們可借助于矩陣轉(zhuǎn)置的記號(hào)把列（行）向量寫成行（列）向量的形式.例如，第一節(jié)n維向量及其線性運(yùn)算可寫成需要注意的是，按照定義2.1，α與αT應(yīng)是同一個(gè)向量，但按照矩陣相等的定義，α與αT總被看作兩個(gè)不同的向量.第一節(jié)n維向量及其線性運(yùn)算【例2-1】對(duì)于m×n型矩陣我們將A按行分塊，則其每一行都是一個(gè)n維行向量，即αi=ai1,ai2,…,ain（i=1，2，…，m）第一節(jié)n維向量及其線性運(yùn)算我們將A按列分塊，則其每一列都是一個(gè)m維列向量，即βj=a1j,a2j,…,amjT（j=1，2，…，n）若干個(gè)同維數(shù)的列向量（或是同維數(shù)的行向量）組成的集合稱為向量組.第一節(jié)n維向量及其線性運(yùn)算

n維向量的線性運(yùn)算二、按照第一章的定義，行向量和列向量分別就是行矩陣和列矩陣.因此，可按照矩陣的相關(guān)運(yùn)算規(guī)則對(duì)向量運(yùn)算進(jìn)行定義.第一節(jié)n維向量及其線性運(yùn)算定義2.2所有分量都是零的向量稱為零向量，記為0=（0,0，…，0）由n維向量α=(a1，a2，…，an)各分量的相反數(shù)構(gòu)成的向量，稱為α的負(fù)向量.記為-α=（-a1，-a2，…，-an）第一節(jié)n維向量及其線性運(yùn)算定義2.3如果n維向量α=(a1，a2，…，an)與β=(b1，b2，…，bn)對(duì)應(yīng)的分量相等，即ai=bi（i=1，2，…，n），那么稱這兩個(gè)向量相等.記為α=β.第一節(jié)n維向量及其線性運(yùn)算定義2.4設(shè)n維向量α=（a1，a2，…，an），β=（b1,b2,…,bn）α與β對(duì)應(yīng)分量的和所構(gòu)成的n維向量稱為向量α與β的和,記為α+β.即α+β=（a1+b1,a2+b2,…,an+bn）由向量的加法和負(fù)向量的定義，還可以定義向量的減法，記為α-β.即α－β=α+－β=（a1－b1,a2－b2,…,an－bn）第一節(jié)n維向量及其線性運(yùn)算定義2.5設(shè)k為常數(shù)，數(shù)k與向量α=(a1，a2，…，an)的各分量的乘積所構(gòu)成的n維向量，稱為數(shù)k與向量α的乘積（簡(jiǎn)稱數(shù)乘），記為kα，即kα=（ka1，ka2，…，kan）第一節(jié)n維向量及其線性運(yùn)算向量的加法與數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.利用上述定義，不難驗(yàn)證向量的線性運(yùn)算滿足下述八條運(yùn)算律：（1）α+β=β+α（加法交換律）.（2）α+(β+γ)=(α+β)+γ（加法結(jié)合律）.（3）α+0=α.（4）α+(-α)=0.（5）k(α+β)=kα+kβ（數(shù)乘分配律）.第一節(jié)n維向量及其線性運(yùn)算（6）(k+l)α=kα+lα（數(shù)乘分配律）.（7）(kl)α=k(lα)（數(shù)乘結(jié)合律）.（8）1·α=α.其中，α，β，γ是n維向量，0是n維零向量，k和l是任意實(shí)數(shù).第一節(jié)n維向量及其線性運(yùn)算定義2.6設(shè)n維向量α=(a1，a2，…，an)，β=(b1，b2，…，bn)，則向量α與βT的乘積為一階方陣，即一個(gè)數(shù)，即第一節(jié)n維向量及其線性運(yùn)算向量αT與β的乘積為n階方陣，即第一節(jié)n維向量及其線性運(yùn)算【例2-2】設(shè)向量α1=(2,5,1,3)T，α2=(10,1,5,10)T，α3=(4,1,-1,1)T，α滿足3(α1-α)+2(α2+α)=5(α3+α)求向量α.第一節(jié)n維向量及其線性運(yùn)算第一節(jié)n維向量及其線性運(yùn)算【例2-3】用向量表示線性方程組第一節(jié)n維向量及其線性運(yùn)算第一節(jié)n維向量及其線性運(yùn)算反之，若是給出向量組（2-2），作向量方程（2-3），可得線性方程組（2-1）.通常將向量方程（2-3）稱為線性方程組（2-1）的向量形式.第二節(jié)向量組的線性相關(guān)性線性組合一、兩個(gè)向量之間最簡(jiǎn)單的關(guān)系是成比例.所謂向量α與β成比例，即存在一個(gè)數(shù)k使得β=kα.也就是說，向量β可以由向量α經(jīng)過線性運(yùn)算得到.多個(gè)向量之間的比例關(guān)系，表現(xiàn)為線性組合.例如，向量α1=（1，0，1），α2=（0，1，0），α=（3，2，3）.很容易看出α1的3倍加上α2的2倍就等于α，即

α=3α1+2α2第二節(jié)向量組的線性相關(guān)性定義2.7對(duì)于給定向量β，α1，α2，…，αn，如果存在一組數(shù)k1，k2，…，kn，使得關(guān)系式

β=k1α1+k2α2+…+knαn（2-4）

成立，那么稱向量β是向量組α1，α2，…，αn的線性組合，或稱向量β可以由向量組α1，α2，…，αn線性表示.第二節(jié)向量組的線性相關(guān)性【例2-4】任何一個(gè)n維向量α=(a1，a2，…，an)都是n維向量組e1=1,0,0,…,0，e2=0,1,0,…,0，…，en=0,0,0,…,1的線性組合.這是因?yàn)?，根?jù)向量的線性運(yùn)算，顯然有α=a1e1+a2e2+…+anen其中，n階單位矩陣E=e1,e2,…,en的列向量組e1,e2,…,en稱為n維單位坐標(biāo)向量組.第二節(jié)向量組的線性相關(guān)性【例2-5】零向量是任何一組向量α1,α2,…,αn的線性組合.這是因?yàn)?=0α1+0α2+…+0αn

總是成立.第二節(jié)向量組的線性相關(guān)性【例2-6】第二節(jié)向量組的線性相關(guān)性線性相關(guān)與線性無關(guān)二、對(duì)于任意一個(gè)向量組α1,α2,…,αn，一定有0α1+0α2+…+0αn=0.這就是說，任何一個(gè)向量組，它的系數(shù)全為零的線性組合一定是零向量.而有些向量組在系數(shù)不全為零的情況下，其線性組合也可以是零向量.例如，α1=1,－1,0,α2=3,2,－5,α3=2,3,－5，顯然有α1－α2+α3=0.即存在一組不全為零的數(shù)1，-1，1使得α1,α2,α3的線性組合為零向量.具有這種性質(zhì)的向量組稱為線性相關(guān)的向量組.第二節(jié)向量組的線性相關(guān)性定義2.8給定向量組α1,α2,…,αn，如果存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,…,kn使得k1α1+k2α2+…+knαn=0(2-5)那么稱向量組α1,α2,…,αn線性相關(guān)，否則，稱它們線性無關(guān)，即僅當(dāng)k1=k2=…=kn=0時(shí)，式（2-5）才成立，那么α1,α2,…,αn線性無關(guān).由此可見，線性相關(guān)的向量組與線性無關(guān)的向量組是性質(zhì)相反的兩類向量組.第二節(jié)向量組的線性相關(guān)性【例2-8】由一個(gè)向量α構(gòu)成的向量組線性相關(guān)的充要條件是α=0.證明

若α線性相關(guān)，則由定義2.8知，存在數(shù)k≠0，使得kα=0，由此得α=0；反之，若α=0，不妨取k=2≠0，有kα=0成立，故α線性相關(guān).由此可知：一個(gè)向量α構(gòu)成的向量組線性無關(guān)的充要條件是α≠0.第二節(jié)向量組的線性相關(guān)性【例2-9】由兩個(gè)向量α，β構(gòu)成的向量組線性相關(guān)的充要條件是它們的對(duì)應(yīng)分量成比例.證明(略）第二節(jié)向量組的線性相關(guān)性【例2-10】含有零向量的向量組必定線性相關(guān).事實(shí)上，對(duì)于向量組0,α1,…,αs，任取數(shù)k≠0，即得一組不全為零的數(shù)k,0,…,0，使得k0+0α1+…+0αs=0故向量組0,α1,…,αs線性相關(guān).第二節(jié)向量組的線性相關(guān)性向量組線性相關(guān)性的有關(guān)結(jié)論三、定理2.1向量組α1,α2,…,αn(n≥2)線性相關(guān)的充要條件是α1,α2,…,αn中至少有一個(gè)向量可由其余n-1個(gè)向量線性表示.證明

必要性：由于α1,α2,…,αn線性相關(guān)，所以必存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,…,kn，使得k1α1+k2α2+…+knαn=0第二節(jié)向量組的線性相關(guān)性第二節(jié)向量組的線性相關(guān)性則顯然有k1α1+k2α2+…+kn－1αn－1－αn=0即存在一組不全為零的數(shù)k1，k2，…，kn-1，-1使α1,α2,…,αn的線性組合為零向量，因此，α1,α2,…,αn線性相關(guān).第二節(jié)向量組的線性相關(guān)性定理2.2如果向量組α1,α2,…,αn線性無關(guān)，而向量組α1,α2,…,αn,β線性相關(guān)，那么向量β可由向量組α1,α2,…,αn唯一地線性表示.證明

由于向量組α1,α2,…,αn,β線性相關(guān)，所以存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,…,kn,k，使得k1α1+k2α2+…+knαn+kβ=0第二節(jié)向量組的線性相關(guān)性第二節(jié)向量組的線性相關(guān)性由向量組α1,α2,…,αn線性無關(guān)知k1－l1=k2－l2=…=kn－ln=0.故ki=lii=1,2,…,n，這就證明了表達(dá)式的唯一性.判斷一個(gè)向量組是否線性相關(guān)，最基本的方法是利用定義進(jìn)行判斷.為了更加便捷地判斷向量組之間的線性關(guān)系，我們不加證明地給出以下幾個(gè)定理.第二節(jié)向量組的線性相關(guān)性定理2.3（1）若向量組的某一個(gè)部分組線性相關(guān)，則整個(gè)向量組線性相關(guān).反言之，若整個(gè)向量組線性無關(guān)，則其任一部分組也線性無關(guān).（2）向量組α1,α2,…,αn線性相關(guān)的充要條件是它所構(gòu)成的矩陣A=（α1,α2,…,αn）的秩小于向量的個(gè)數(shù)n；向量組α1,α2,…,αn線性無關(guān)的充要條件是RA=n.第二節(jié)向量組的線性相關(guān)性（3）由m個(gè)n維向量組成的向量組，當(dāng)n<m，即向量的維數(shù)小于向量的個(gè)數(shù)時(shí)，向量組一定線性相關(guān).特別地，n+1個(gè)n維向量一定線性相關(guān).第二節(jié)向量組的線性相關(guān)性【例2-12】討論n維單位坐標(biāo)向量組的線性相關(guān)性.解

n維單位坐標(biāo)向量組構(gòu)成的矩陣E=e1,e2,…,en

是n階單位矩陣，由E=1≠0知RE=n，即RE等于向量組中向量的個(gè)數(shù)，故知此向量組是線性無關(guān)的.第二節(jié)向量組的線性相關(guān)性【例2-13】設(shè)向量組判斷向量組α1,α2,α3,α4是否線性相關(guān)，如果線性相關(guān)，試將其中一個(gè)向量表示為其余向量的線性組合.第二節(jié)向量組的線性相關(guān)性解

以α1,α2,α3,α4為列向量構(gòu)造矩陣A=α1,α2,…,αn，并對(duì)之進(jìn)行初等行變化，將A化為行最簡(jiǎn)形矩陣.第二節(jié)向量組的線性相關(guān)性第二節(jié)向量組的線性相關(guān)性由RB=3<4知向量組β1,β2,β3,β4線性相關(guān)，且β4=β1－2β2+0β3.則向量組α1,α2,α3,α4線性相關(guān)，且有α4=α1－2α2+0α3.第三節(jié)向量組的秩在上一節(jié)討論向量組的組合和線性相關(guān)性時(shí)，矩陣的秩起到了重要作用，為使討論進(jìn)一步深入，本節(jié)把秩的概念引進(jìn)向量組.為了用向量組的部分組表示其整體，我們引進(jìn)極大線性無關(guān)組的概念.我們知道，線性相關(guān)的向量組中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示，逐個(gè)去掉被表示的向量，直到得到一個(gè)線性無關(guān)的部分組，歸納出這個(gè)部分組的特征，就得到向量組的極大無關(guān)組的概念.第三節(jié)向量組的秩向量組的極大無關(guān)組與秩一、定義2.9如果一個(gè)向量組α1,α2,…,αn的某個(gè)部分組αi1,αi2,…,αir(r≤n)滿足下述條件：（1）αi1,αi2,…,αir線性無關(guān).（2）向量組α1,α2,…,αn中的任意一向量都可以由αi1,αi2,…,αir線性表示.第三節(jié)向量組的秩那么稱部分組αi1,αi2,…,αir是向量組α1,α2,…,αn的一個(gè)極大線性無關(guān)組，簡(jiǎn)稱極大無關(guān)組.顯然，任何一個(gè)含有非零向量的向量組一定存在極大無關(guān)組，而線性無關(guān)的向量組的極大無關(guān)組就是自身.第三節(jié)向量組的秩根據(jù)定理2.4，我們很容易得到一個(gè)求向量組α1,α2,…,αn的極大無關(guān)組的方法：以向量組的向量αii=1,2,…,n為列向量構(gòu)造矩陣A，對(duì)A施行初等行變換，將A化為行最簡(jiǎn)形矩陣B=β1,β2,…,βn，然后根據(jù)β1,β2,…,βn向量之間的線性關(guān)系得到α1,α2,…,αn之間的線性關(guān)系，從而求得α1,α2,…,αn的極大無關(guān)組.第三節(jié)向量組的秩定義2.10設(shè)有兩個(gè)向量組A=α1,α2,…,αs，B=β1,β2,…,βt如果向量組A的每一個(gè)向量都可以由向量組B線性表示，那么稱向量組A可以由向量組B線性表示.特別地，如果向量組A和向量組B可以互相線性表示，那么稱向量組A和向量組B等價(jià).記作

α1,α2,…,αs=β1,β2,…,βt

第三節(jié)向量組的秩例如，對(duì)于向量組α1,α2,α3和向量組e1,e2,e3，已知由α1=e1+0e2+0e3，α2=e1+2e2+0e3，α3=e1+2e2+3e3可知，向量組α1,α2,α3可以由向量組e1,e2,e3線性表示.第三節(jié)向量組的秩第三節(jié)向量組的秩定理2.5任一向量組與它的極大無關(guān)組等價(jià).推論

向量組中任意兩個(gè)極大無關(guān)組之間等價(jià).上面的結(jié)論說明，在討論向量組之間的一些關(guān)系時(shí)，可以用它們的極大無關(guān)組代替，從而使問題的討論更加方便和簡(jiǎn)捷.第三節(jié)向量組的秩定義2.11向量組α1,α2,…,αn的極大無關(guān)組中所包含的向量的個(gè)數(shù)稱為此向量組的秩，記為Rα1,α2,…,αn.只含有零向量的向量組沒有極大無關(guān)組，規(guī)定它的秩為零.由于線性無關(guān)的向量組的極大無關(guān)組就是它本身，于是我們可得如下結(jié)論：第三節(jié)向量組的秩定理2.6向量組線性無關(guān)的充要條件是它的秩等于所含向量的個(gè)數(shù).反之，向量組線性相關(guān)的充要條件是它的秩小于所含向量的個(gè)數(shù).第三節(jié)向量組的秩向量組的秩與矩陣的秩二、第一章介紹過矩陣的秩的概念，那么，矩陣的秩與向量組的秩之間有什么關(guān)系呢？下面討論這個(gè)問題.設(shè)m×n型矩陣第三節(jié)向量組的秩將矩陣A的每一行看作一個(gè)n維行向量，并記α1=a11