五年級奧數(shù)專題02：數(shù)的整除性

五年級奧數(shù)專題02：數(shù)的整除性五年級奧數(shù)專題02：數(shù)的整除性五年級奧數(shù)專題02：數(shù)的整除性V:1.0精細(xì)整理，僅供參考五年級奧數(shù)專題02：數(shù)的整除性日期：20xx年X月二數(shù)的整除性（A）年級班姓名得分一、填空題1.四位數(shù)“3AA1”是9的倍數(shù)，那么A=_____.2.在“25□79這個數(shù)的□內(nèi)填上一個數(shù)字,使這個數(shù)能被11整除,方格內(nèi)應(yīng)填_____.3.能同時被2、3、5整除的最大三位數(shù)是_____.4.能同時被2、5、7整除的最大五位數(shù)是_____.5.1至100以內(nèi)所有不能被3整除的數(shù)的和是_____.6.所有能被3整除的兩位數(shù)的和是______.7.已知一個五位數(shù)□691□能被55整除,所有符合題意的五位數(shù)是_____.8.如果六位數(shù)1992□□能被105整除,那么它的最后兩位數(shù)是_____.9.42□28□是99的倍數(shù),這個數(shù)除以99所得的商是_____.10.從左向右編號為1至1991號的1991名同學(xué)排成一行,從左向右1至11報數(shù),報數(shù)為11的同學(xué)原地不動,其余同學(xué)出列;然后留下的同學(xué)再從左向右1至11報數(shù),報數(shù)為11的留下,其余同學(xué)出列;留下的同學(xué)第三次從左向右1至11報數(shù),報到11的同學(xué)留下,其余同學(xué)出列,那么最后留下的同學(xué)中,從左邊數(shù)第一個人的最初編號是_____號.二、解答題11.173□是個四位數(shù)字.數(shù)學(xué)老師說：“我在這個□中先后填入3個數(shù)字,所得到的3個四位數(shù),依次可被9、11、6整除.”問：數(shù)學(xué)老師先后填入的3個數(shù)字的和是多少？

12．在1992后面補上三個數(shù)字，組成一個七位數(shù)，使它們分別能被2、3、5、11整除，這個七位數(shù)最小值是多少？13．在“改革”村的黑市上,人們只要有心,總是可以把兩張任意的食品票換成3張其他票券,也可以反過來交換.試問,合作社成員瓦夏能否將100張黃油票換成100張香腸票,并且在整個交換過程中剛好出手了1991張票券？14．試找出這樣的最小自然數(shù),它可被11整除,它的各位數(shù)字之和等于13.

二數(shù)的整除性(B)年級班姓名得分一、填空題1.一個六位數(shù)23□56□是88的倍數(shù),這個數(shù)除以88所得的商是_____或_____.2.123456789□□,這個十一位數(shù)能被36整除,那么這個數(shù)的個位上的數(shù)最小是_____.3.下面一個1983位數(shù)中間漏寫了一個數(shù)字(方框),已知這個多位數(shù)被7整除，那么中間方框內(nèi)的數(shù)字是_____.4.有三個連續(xù)的兩位數(shù),它們的和也是兩位數(shù),并且是11的倍數(shù).這三個數(shù)是_____.5.有這樣的兩位數(shù),它的兩個數(shù)字之和能被4整除,而且比這個兩位數(shù)大1的數(shù),它的兩個數(shù)字之和也能被4整除.所有這樣的兩位數(shù)的和是____.6.一個小于200的自然數(shù),它的每位數(shù)字都是奇數(shù),并且它是兩個兩位數(shù)的乘積,那么這個自然數(shù)是___.7.任取一個四位數(shù)乘3456,用A表示其積的各位數(shù)字之和,用B表示A的各位數(shù)字之和,C表示B的各位數(shù)字之和,那么C是_____.8.有0、1、4、7、9五個數(shù)字，從中選出四個數(shù)字組成不同的四位數(shù)，如果把其中能被3整除的四位數(shù)從小到大排列起來，第五個數(shù)的末位數(shù)字是_____.9.從0、1、2、4、5、7中，選出四個數(shù)，排列成能被2、3、5整除的四位數(shù)，其中最大的是_____.10.所有數(shù)字都是2且能被整除的最小自然數(shù)是_____位數(shù).二、解答題11.找出四個互不相同的自然數(shù),使得對于其中任何兩個數(shù),它們的和總可以被它們的差整除,如果要求這四個數(shù)中最大的數(shù)與最小的數(shù)的和盡可能的小,那么這四個數(shù)里中間兩個數(shù)的和是多少？12．只修改21475的某一位數(shù)字,就可知使修改后的數(shù)能被225整除,怎樣修改？13．500名士兵排成一列橫隊.第一次從左到右1、2、3、4、5（1至5）名報數(shù)；第二次反過來從右到左1、2、3、4、5、6（1至6）報數(shù)，既報1又報6的士兵有多少名？14．試問,能否將由1至100這100個自然數(shù)排列在圓周上,使得在任何5個相連的數(shù)中,都至少有兩個數(shù)可被3整除？如果回答：“可以”，則只要舉出一種排法；如果回答：“不能”，則需給出說明.

———————————————答案——————————————————————1.7已知四位數(shù)3AA1正好是9的倍數(shù),則其各位數(shù)字之和3+A+A+1一定是9的倍數(shù),可能是9的1倍或2倍,可用試驗法試之.設(shè)3+A+A+1=9,則A=2.5,不合題意.再設(shè)3+A+A+1=18,則A=7,符合題意.事實上,37719=419.2.1這個數(shù)奇數(shù)位上數(shù)字和與偶數(shù)位上數(shù)字和之差是0或是11的倍數(shù),那么這個數(shù)能被11整除.偶數(shù)位上數(shù)字和是5+7=12,因而,奇數(shù)位上數(shù)字和2+□+9應(yīng)等于12,□內(nèi)應(yīng)填12-2-9=1.3.990要同時能被2和5整除,這個三位數(shù)的個位一定是0.要能被3整除,又要是最大的三位數(shù),這個數(shù)是990.4.99960解法一:能被2、5整除,個位數(shù)應(yīng)為0,其余數(shù)位上盡量取9,用7去除999□0,可知方框內(nèi)應(yīng)填6.所以,能同時被2、5、7整除的最大五位數(shù)是99960.解法二:或者這樣想,2,5,7的最小公倍數(shù)是70,而能被70整除的最小六位是100030.它減去70仍然是70的倍數(shù),所以能被2,5,7整除的最大五位數(shù)是100030-70=99960.5.3367先求出1~100這100個數(shù)的和,再求100以內(nèi)所有能被3整除的數(shù)的和,以上二和之差就是所有不能被3整除的數(shù)的和.(1+2+3+…+100)-（3+6+9+12+…+99）=(1+100)2100-(3+99)233=5050-1683=33676.1665能被3整除的二位數(shù)中最小的是12,最大的是99,所有能被3整除的二位數(shù)如下:12,15,18,21,…，96，99這一列數(shù)共30個數(shù)，其和為12+15+18+…+96+99=(12+99)302=16657.96910或46915五位數(shù)能被55整除,即此五位數(shù)既能被5整除,又能被11整除.所以B=0或5.當(dāng)B=0時,能被11整除,所以(A+9+0)-(6+1)=A+2能被11整除,因此A=9；當(dāng)B=5時,同樣可求出A=4.所以,所求的五位數(shù)是96910或46915.8.90因為105=357,根據(jù)數(shù)的整除性質(zhì),可知這個六位數(shù)能同時被3、5和7整除。根據(jù)能被5整除的數(shù)的特征，可知這個六位數(shù)的個位數(shù)只能是0或5兩種，再根據(jù)能被3整除的數(shù)的特征，可知這個六位數(shù)有如下七個可能：199200，199230，199260，199290，199215，199245，199275.最后用7去試除知,199290能被7整除.所以,199290能被105整除,它的最后兩位數(shù)是90.[注]此題也可以這樣思考:先把后面兩個方框中填上0后的199200除以105,根據(jù)余數(shù)的大小來決定最后兩個方框內(nèi)應(yīng)填什么.199200105=1897…15105-15=90如果199200再加上90，199290便可被105整除，故最后兩位數(shù)是90.9.4316因為99=911,所以42□28□既是9的倍數(shù),又是11的倍數(shù).根據(jù)是9的倍數(shù)的特點,這個數(shù)各位上數(shù)字的和是9的倍數(shù).42□28□這個六位數(shù)中已知的四個數(shù)的和是4+2+2+8=16,因此空格中兩個數(shù)字的和是2或11.我們把右起第一、三、五位看做奇位，那么奇位上已知兩個數(shù)字的和是2+2=4，而偶位上已知兩個數(shù)字的和是4+8=12，再根據(jù)是11的倍數(shù)的特點，奇位上數(shù)字的和與偶位上數(shù)的和之差是0或11的倍數(shù)，所以填入空格的兩個數(shù)應(yīng)該相差3或相差8.從以上分析可知填入的兩個數(shù)字的和不可能是2,應(yīng)該是11.顯然它們的差不可能是8,應(yīng)該是3,符合這兩個條件的數(shù)字只有7和4.填入空格時要注意7填在偶位上,4填在奇位上,即原六位數(shù)是427284，又42728499=4316，所以所得的商是4316.10.1331第一次報數(shù)后留下的同學(xué)最初編號都是11倍數(shù);第二次報數(shù)后留下的同學(xué)最初編號都是121的倍數(shù);第三次報數(shù)后留下的同學(xué)最初編號都是1331的倍數(shù).所以最后留下的只有一位同學(xué),他的最初編號是1331.11.∵能被9整除的四位數(shù)的各位數(shù)字之和能被9整除，1+7+3+□=11+□∴□內(nèi)只能填7.∵能被11整除的四位數(shù)的個位與百位的數(shù)字和減去十位與千位的數(shù)字和所得的差能被11整除.∴(7+□)-(1+3)=3+□能被11整除,∴□內(nèi)只能填8.∵能被6整除的自然數(shù)是偶數(shù),并且數(shù)字和能被3整除,而1+7+3+□=11+□,∴□內(nèi)只能填4.所以,所填三個數(shù)字之和是7+8+4=19.12.設(shè)補上的三個數(shù)字組成三位數(shù),由這個七位數(shù)能被2,5整除,說明c=0;由這個七位數(shù)能被3整除知1+9+9+2+a+b+c=21+a+b+c能被11整除，從而a+b能被3整除;由這個七位數(shù)又能被11整除，可知(1+9+a+c)-(9+2+b)=a-b-1能被11整除;由所組成的七位數(shù)應(yīng)該最小,因而取a+b=3,a-b=1,從而a=2,b=1.所以這個最小七位數(shù)是1992210.[注]小朋友通常的解法是:根據(jù)這個七位數(shù)分別能被2,3,5,11整除的條件,這個七位數(shù)必定是2,3,5,11的公倍數(shù),而2,3,5,11的最小公倍數(shù)是23511=330.這樣,1992000330=6036…120，因此符合題意的七位數(shù)應(yīng)是(6036+1)倍的數(shù),即1992000+(330-120)=1992210.13.不可能.由于瓦夏原有100張票,最后還有100張票,所以他作了多少次“兩換三”,那么也就作了多少次“三換兩”,因此他一共出手了2k+3k=5k張票,而1991不是5的倍數(shù).14.顯然,這樣的自然數(shù)不可能為兩位數(shù),因為如果是兩位數(shù)的話,則必然具有形式,但為偶數(shù),與它的各位數(shù)字之和等于13矛盾.現(xiàn)設(shè)求之?dāng)?shù)為三位數(shù).于是由題意,且由被11整除的判別法則知是11的倍數(shù).又由于所求之?dāng)?shù)為最小,故有=11.兩式相減得.于是12,由于.當(dāng).所以,所求的最小自然數(shù)是319.

———————————————答案——————————————————————1.2620或2711一個數(shù)如果是88的倍數(shù),這個數(shù)必然既是8的倍數(shù),又是11的倍數(shù).根據(jù)8的倍數(shù),它的末三位數(shù)肯定也是8的倍數(shù),從而可知這個六位數(shù)個位上的數(shù)是0或8.而11的倍數(shù)奇偶位上數(shù)字和的差應(yīng)是0或11的倍數(shù),從已知的四個數(shù)看,這個六位數(shù)奇偶位上數(shù)字的和是相等的,要使奇偶位上數(shù)字和差為0,兩個方框內(nèi)填入的數(shù)字是相同的,因此這個六位數(shù)有兩種可能230560或238568又23056088=262023856888=2711所以,本題的答案是2620或2711.2.0因為36=94,所以這個十一位數(shù)既能被9整除,又能被4整除.因為1+2+…+9=45，由能被9整除的數(shù)的特征，（可知□+□之和是0（0+0）、9（1+8，8+1，2+7，7+2，3+6，6+3，4+5，5+4）和18（9+9）.再由能被4整除的數(shù)的特征:這個數(shù)的末尾兩位數(shù)是4的倍數(shù),可知□□是00,04,…，36，…，72，…96.這樣,這個十一位數(shù)個位上有0,2,6三種可能性.所以,這個數(shù)的個位上的數(shù)最小是0.3.633…3□44…4991個991個=33…310993+3□410990+44…4990個990個因為111111能被7整除，所以33…3和44…4都能被7整除,所以只要990個990個3□4能被7整除，原數(shù)即可被7整除.故得中間方框內(nèi)的數(shù)字是6.4.10,11,12或21,22,23或32,33,34.三個連續(xù)的兩位數(shù)其和必是3的倍數(shù),已知其和是11的倍數(shù),而3與11互質(zhì),所以和是33的倍數(shù),能被33整除的兩位數(shù)只有3個,它們是33、66、99.所以有當(dāng)和為33時,三個數(shù)是10,11,12；當(dāng)和為66時,三個數(shù)是21,22,23；當(dāng)和為99時,三個數(shù)是32,33,34.[注]“三個連續(xù)自然數(shù)的和必能被3整除”可證明如下：設(shè)三個連續(xù)自然數(shù)為n,n+1,n+2,則n+(n+1)+(n+2)=3n+3=3(n+1)所以，能被3整除.5.118符合條件的兩位數(shù)的兩個數(shù)字之和能被4整除,而且比這個兩位數(shù)大1的數(shù),如果十位數(shù)不變,則個位增加1,其和便不能整除4,因此個位數(shù)一定是9,這種兩位數(shù)有:39、79.所以,所求的和是39+79=118.6．195因為這個數(shù)可以分解為兩個兩位數(shù)的積，而且1515=225>200,所以其中至少有1個因數(shù)小于15,而且這些因數(shù)均需是奇數(shù),但11不可能符合條件,因為對于小于200的自然數(shù)凡11的倍數(shù),具有隔位數(shù)字之和相等的特點,個位百位若是奇數(shù),十位必是偶數(shù).所以只需檢查13的倍數(shù)中小于200的三位數(shù)1313=169不合要求,1315=195適合要求.所以,答案應(yīng)是195.7.9根據(jù)題意,兩個四位數(shù)相乘其積的位數(shù)是七位數(shù)或八位數(shù)兩種可能.因為3456=3849,所以任何一個四位數(shù)乘3456,其積一定能被9整除,根據(jù)能被9整除的數(shù)的特征,可知其積的各位數(shù)字之和A也能被9整除,所以A有以下八種可能取值:9,18,27,36,45,54,63,72.從而A的各位數(shù)字之和B總是9,B的各位數(shù)字之和C也總是9.8.9∵0+1+4+7+9=21能被3整除,∴從中去掉0或9選出的兩組四個數(shù)字組成的四位數(shù)能被3整除.即有0,1,4,7或1,4,7,9兩種選擇組成四位數(shù),由小到大排列為:1047,1074,1407,1470,1479,1497….所以第五個數(shù)的末位數(shù)字是9.9.7410根據(jù)能被2、3、5、整除的數(shù)的特征，這個四位數(shù)的個位必須是0，而十位、百位、千位上數(shù)字的和是3的倍數(shù)。為了使這個四位數(shù)盡可能最大，千位上的數(shù)字應(yīng)從所給的6個數(shù)字中挑選最大的一個.從7開始試驗,7+4+1=12,其和是3的倍數(shù),因此其中最大的數(shù)是7410.10.300∵66…6=2311…1100個100個顯然連續(xù)的2能被2整除,而要被3整除,2的個數(shù)必須是3的倍數(shù),又