初中數(shù)學九大幾何模型解題思路

九大幾何模型一、手拉手模型----旋轉(zhuǎn)型全等D（1）等邊三角形OOCECA圖1BA圖2【條件】：△OAB和△OCD均為等邊三角形；【結(jié)論】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=60°；③OE均分∠AEDD（2）等腰直角三角形OCEABA圖1

v1.0可編寫可改正DEBDOECB圖2【條件】：△OAB和△OCD均為等腰直角三角形；【結(jié)論】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=90°；③OE均分∠AEDD1OOCDEEv1.0可編寫可改正（3）頂角相等的兩隨意等腰三角形【條件】：△OAB和△OCD均為等腰三角形；且∠COD=∠AOB【結(jié)論】：①△OAC≌△OBD；②∠AEB=∠AOB；③OE均分∠AEDOO二、模型二：手拉手模型----旋轉(zhuǎn)型相像（1）一般狀況DCD【條件】：CD∥AB，

ECABAB將△OCD旋轉(zhuǎn)至右圖的地點【結(jié)論】：①右圖中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD；D②延伸AC交BD于點E，必有∠BEC=∠BOAOOCCDE（2）特別狀況ABAB【條件】：CD∥AB，∠AOB=90°將△OCD旋轉(zhuǎn)至右圖的地點【結(jié)論】：①右圖中△OCD∽△OAB→→→△OAC∽△OBD；2v1.0可編寫可改正②延伸AC交BD于點E，必有∠BEC=∠BOA；③BDODOBtan∠OCD；④BD⊥AC；ACOCOA⑤連結(jié)AD、BC，必有AD2BC22CD2；⑥S△BCD1ACBDAB2AC三、模型三、對角互補模型D（1）全等型-90°OEB圖1【條件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC均分∠AOB【結(jié)論】：①CD=CE；②OD+OE=2OC；③SSS1OC2△DCE△OCD△OCE2AC證明提示：MD①作垂直，如圖2，證明△CDM≌△CENONEB②過點C作CF⊥OC，如圖3，證明△ODC≌△FEC圖2※當∠DCE的一邊交AO的延伸線于D時（如圖4）：以上三個結(jié)論：①CD=CE；②OE-OD=2OC；AMC1OC③SS2△OCE△OCD2ACBONDEOED圖4FB圖32）全等型-120°【條件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC均分∠AOB3v1.0可編寫可改正【結(jié)論】：①CD=CE；②OD+OE=OC；③SSS32△DCEOC△OCD△OCE4證明提示：①可參照“全等型-90°”證法一；②如右下列圖：在OB上取一點F，使OF=OC，證明△OCF為等邊三角形。AACCFFOEBOEFB（3）全等型-隨意角ɑ【條件】：①∠AOB=2ɑ，∠DCE=180-2ɑ；②CD=CE；【結(jié)論】：①OC均分∠AOB；②OD+OE=2OC·cosɑ；③S△DCES△OCDS△OCEOC2sinαcosα※當∠DCE的一邊交AO的延伸線于D時（如右下列圖）：原結(jié)論變?yōu)椋孩伲虎?；③?？蓞⒄丈鲜龅冖诜N方法進行證明。請思慮初始條件的變化對模型的影響。ACD4OEBv1.0可編寫可改正ACOEBD對角互補模型總結(jié)：①常有初始條件：四邊形對角互補，注意兩點：四點共圓有直角三角形斜邊中線；A②初始條件“角均分線”與“兩邊相等”的差別；C③注意OC均分∠AOB時，D∠CDE=∠CED=∠COA=∠COB怎樣指引OEB四、模型四：角含半角模型90°（1）角含半角模型90°---1【條件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；【結(jié)論】：①EF=DF+BE；②△CEF的周長為正方形ABCD周長的一半；也能夠這樣：5v1.0可編寫可改正【條件】：①正方形ABCD；②EF=DF+BE；ADAD【結(jié)論】：①∠EAF=45°；FFBECGBEC（2）角含半角模型90°---2【條件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；【結(jié)論】：①EF=DF-BE；ADADADCCCEBEBEBFFF（3）角含半角模型90°---3【條件】：①Rt△ABC；②∠DAE=45°；【結(jié)論】：BD2CE2DE2（如圖1）6v1.0可編寫可改正若∠DAE旋轉(zhuǎn)到△ABC外面時，結(jié)論BD2CE2DE2仍舊成立（如圖2）AAFBDECBDECFAADBECDBEC（4）角含半角模型90°變形ADADHH【條件】：①正方形ABCD；②∠EAF=45°；FF【結(jié)論】：△AHE為等腰直角三角形；GG證明：連結(jié)AC（方法不獨一）BECBEC∵∠DAC=∠EAF=45°，∴∠DAH=∠CAE，又∵∠ACB=∠ADB=45°；∴△DAH∽△CAE，∴DAACAHAE∴△AHE∽△ADC，∴△AHE為等腰直角三角形模型五：倍長中線類模型7

ADADFFBCEHBHv1.0可編寫可改正（1）倍長中線類模型---1【條件】：①矩形ABCD；②BD=BE；DF=EF；【結(jié)論】：AF⊥CF模型提?。孩儆衅叫芯€AD∥BE；②平行線間線段有中點DF=EF；能夠結(jié)構“8”字全等△ADF≌△HEF。（2）倍長中線類模型---2【條件】：①平行四邊形ABCD；②BC=2AB；③AM=DM；④CE⊥AB；【結(jié)論】：∠EMD=3∠MEA協(xié)助線：有平行AB∥CD，有中點AM=DM，延伸EM，結(jié)構△AME≌△DMF，連結(jié)CM結(jié)構等腰△EMC，等腰△MCF。（經(jīng)過結(jié)構8字全等線段數(shù)目及地點關系，角的大小轉(zhuǎn)變）AMAMDEE

FDBCBC模型六：相像三角形360°旋轉(zhuǎn)模型1）相像三角形（等腰直角）360°旋轉(zhuǎn)模型---倍長中線法【條件】：①△ADE、△ABC均為等腰直角三角形；②EF=CF；【結(jié)論】：①DF=BF；②DF⊥BF協(xié)助線：延伸DF到點G，使FG=DF，連結(jié)CG、BG、BD，證明△BDG為等腰直角三角形；8CCFGv1.0可編寫可改正打破點：△ABD≌△CBG；難點：證明∠BAO=∠BCG（2）相像三角形（等腰直角）360°旋轉(zhuǎn)模型---補全法C【條件】：①△ADE、△ABC均為等腰直角三角形；②EF=CF；CG【結(jié)論】：①DF=BF；②DF⊥BFFDF協(xié)助線：結(jié)構等腰直角△AEG、△AHC；DABAB協(xié)助線思路：將DF與BF轉(zhuǎn)變到CG與EF。EEH3）隨意相像直角三角形360°旋轉(zhuǎn)模型---補全法【條件】：①△OAB∽△ODC；②∠OAB=∠ODC=90°；③BE=CE；【結(jié)論】：①AE=DE；②∠AED=2∠ABO協(xié)助線：延伸BA到G，使AG=AB，延伸CD到點H使DH=CD，補全△OGB、△OCH結(jié)構旋轉(zhuǎn)模H9OGODADv1.0可編寫可改正型。轉(zhuǎn)變AE與DE到CG與BH，難點在轉(zhuǎn)變∠AED。4）隨意相像直角三角形360°旋轉(zhuǎn)模型---倍長法【條件】：①△OAB∽△ODC；②∠OAB=∠ODC=90°；③BE=CE；【結(jié)論】：①AE=DE；②∠AED=2∠ABO協(xié)助線：延伸DE至M，使ME=DE，將結(jié)論的兩個條件轉(zhuǎn)變?yōu)樽C明△AMD∽△ABO，此犯難點，將△AMD∽△ABC持續(xù)轉(zhuǎn)變?yōu)樽C明△ABM∽△AOD，使用兩邊成比率且夾角相等，此處難點在O證明∠ABM=∠AODODADABEBCECM模型七：最短行程模型（1）最短行程模型一（將軍飲馬類）A總結(jié)：右四圖為常有的軸對稱類最短行程問題，BPA+PB10lPB'v1.0可編寫可改正最后都轉(zhuǎn)變到：“兩點之間，線段最短：解決；特色：①動點在直線上；②起點，終點固定A'l1APAA'AA'BPl1BQl2lQl2PA+PQ+BQPQPA+PQ+BQB'PA+PQ+BQB'B（2）最短行程模型二（點到直線類1）【條件】：①OC均分∠AOB；②M為OB上必定點；③P為OC上一動點；④Q為OB上一動點；【問題】：求MP+PQ最小時，P、Q的地點協(xié)助線：將作Q對于OC對稱點Q’，轉(zhuǎn)變PQ’=PQ，過點M作MH⊥OA，A則MP+PQ=MP+PQ’MH(垂線段最短）AHQ'PPOQMB11v1.0可編寫可改正（3）最短行程模型二（點到直線類2）【條件】：A(0,4),B(-2,0),P(0,n）【問題】：n為什么值時，PB5PA最小5求解方法：①x軸上取C(2,0),使sin∠OAC=5；②過B作BD⊥AC，交y軸于點E，即為5所求；③tan∠EBO=tan∠OAC=1，即E（0，1）2yyAAPPDEBOxBOCx（4）最短行程模型三（旋轉(zhuǎn)類最值模型）【條件】：①線段OA=4，OB=2；②OB繞點O在平面內(nèi)360°旋轉(zhuǎn)；【問題】：AB的最大值，最小值分別為多少【結(jié)論】：以點O為圓心，OB為半徑作圓，以下圖，將問題轉(zhuǎn)變?yōu)椤叭切蝺蛇呏痛笥诘谌?，兩邊之差小于第三邊”。A最小值地點最大值：OA+OB；最小值：OA-OB

BO最大值地點12v1.0可編寫可改正【條件】：①線段OA=4，OB=2；②以點O為圓心，OB，OC為半徑作圓；③點P是兩圓所構成圓環(huán)內(nèi)部（含界限）一點；【結(jié)論】：若PA的最大值為10，則OC=6；若PA的最小值為1，則OC=3；若PA的最小值為2，則PC的取值范圍是0<PC<2

CBAOP【條件】：①Rt△OBC，∠OBC=30°；OC=2；③OA=1；④點P為BC上動點（可與端點重合）；⑤△OBC繞點O旋轉(zhuǎn)【結(jié)論】：PA最大值為123；PA的最小值為1OBOA31OA+OB=2以下列圖，圓的最小半徑為O到BC垂線段長。CPCPBAOAOB13v1.0可編寫可改正模型八：二倍角模型【條件】：在△ABC中，∠B=2∠C；協(xié)助線：以BC的垂直均分線為對稱軸，作點A的對稱點A’，連結(jié)AA’、BA’、CA’、則BA=AA’=CA’(注意這個結(jié)論）此種協(xié)助線作法是二倍角三角形常有的協(xié)助線作法之一，不是獨一作法。AAA'BCBC模型九：相像三角形模型1）相像三角形模型--基本型平行類：DE∥BC；

AEDAADEDEBCBCBCA字型8字型A字型結(jié)論：ADAEDE(注意對應邊要對應）ABACBC14v1.0可編寫可改正AAE（2）相像三角形模型---斜交型EDCCBB【條件】：如右圖，∠AED=∠ACB=90°；斜交型斜交型D【結(jié)論】：AE×AB=AC×ADAAEE【條件】：如右圖，∠ACE=∠ABC；B斜交型CB雙垂型C2【結(jié)論】：AC=AE×AB第四個圖還存在射影定理：22AE×EC=BC×AC；BC=BE×BA；CE=AE×BE；（3）相像三角形模型---一線三等角型E【條件】：（1）圖：∠ABC=∠ACE=∠CDE=90°；A2）圖：∠ABC=∠ACE=∠CDE=60°；BCD圖（1）3）圖：∠ABC=∠ACE=∠CDE=