【新高考數(shù)學專題】概率統(tǒng)計?？嫉牧N題型總結

概率統(tǒng)計?？嫉牧N題型總結題型一概率統(tǒng)計的交匯例1.甲、乙兩人的各科成績如莖葉圖所示，則下列說法正確的是（）A．甲、乙兩人的各科成績的平均分相同B．甲成績的中位數(shù)是83，乙成績的中位數(shù)是85C．甲各科成績比乙各科成績穩(wěn)定D．甲成績的眾數(shù)是89，乙成績的眾數(shù)是87【答案】ABC【解析】對于選項A，甲成績的平均數(shù)，乙成績的平均數(shù)，所以選項A是正確的；對于選項B，由莖葉圖知甲成績的中位數(shù)是83，乙成績的中位數(shù)是85，故選項B正確；對于選項C，由莖葉圖知甲的數(shù)據相對集中，乙的數(shù)據相對分散，故甲的各科成績比乙的各科成績穩(wěn)定，故選項C正確；對于選項D，甲成績的眾數(shù)是83，乙成績的眾數(shù)是98，故選項D錯誤.故選ABC.練習1．（多選）以下對各事件發(fā)生的概率判斷正確的是（）.A．甲、乙兩人玩剪刀、石頭、布的游戲，則玩一局甲不輸?shù)母怕适荁．每個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個素數(shù)的和，例如，在不超過14的素數(shù)中隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于14的概率為C．將一個質地均勻的正方體骰子（每個面上分別寫有數(shù)字l，2，3，4，5，6）先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，則點數(shù)之和是6的概率是D．從三件正品、一件次品中隨機取出兩件，則取出的產品全是正品的概率是【答案】BCD【解析】對于A，畫樹形圖如下：從樹形圖可以看出，所有可能出現(xiàn)的結果共有9種，這些結果出現(xiàn)的可能性相等，P（甲獲勝），P（乙獲勝），故玩一局甲不輸?shù)母怕适牵蔄錯誤；對于B，不超過14的素數(shù)有2，3，5，7，11，13共6個，從這6個素數(shù)中任取2個，有2與3，2與5，2與7，2與11，2與13，3與5，3與7，3與11，3與13，5與7，5與11，5與13，7與11，7與13，11與13共15種結果，其中和等于14的只有一組3與11，所以在不超過14的素數(shù)中隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于14的概率為，故B正確；對于C，基本事件總共有種情況，其中點數(shù)之和是6的有，，，，，共5種情況，則所求概率是，故C正確；對于D，記三件正品為，，，一件次品為B，任取兩件產品的所有可能為，，，，，，共6種，其中兩件都是正品的有，，，共3種，則所求概率為，故D正確.故選BCD.練習2．在某次高中學科知識競賽中，對4000名考生的參賽成績進行統(tǒng)計，可得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組的區(qū)間為，，，，，，60分以下視為不及格，若同一組中數(shù)據用該組區(qū)間中間值作代表值，則下列說法中正確的是（）A．成績在的考生人數(shù)最多 B．不及格的考生人數(shù)為1000C．考生競賽成績的平均分約為70.5分 D．考生競賽成績的中位數(shù)為75分【答案】ABC【解析】由頻率分布直方圖可得，成績在的頻率最高，因此考生人數(shù)最多，故A正確；成績在的頻率為，因此，不及格的人數(shù)為，故B正確；考生競賽成績的平均分約為，故C正確；因為成績在的頻率為0.45，在的頻率為0.3，所以中位數(shù)為，故D錯誤.故選：ABC.高中數(shù)學資料共享群（734924357）題型二解答題與數(shù)列的交匯例2.某汽車公司最近研發(fā)了一款新能源汽車，并在出廠前對100輛汽車進行了單次最大續(xù)航里程的測試?，F(xiàn)對測試數(shù)據進行分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖：（1）估計這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值（同一組中的數(shù)據用該組區(qū)間的中點值代表）.（2）根據大量的汽車測試數(shù)據，可以認為這款汽車的單次最大續(xù)航里程近似地服從正態(tài)分布，經計算第（1）問中樣本標準差的近似值為50。用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標準差作為的估計值，現(xiàn)任取一輛汽車，求它的單次最大續(xù)航里程恰在250千米到400千米之間的概率.參考數(shù)據：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，.（3）某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車，現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎”活動，客戶可根據拋擲硬幣的結果，操控微型遙控車在方格圖上行進，若遙控車最終停在“勝利大本營”，則可獲得購車優(yōu)惠券3萬元。已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是0.5方格圖上標有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遙控車開始在第0格，客戶每擲一次硬幣，遙控車向前移動一次。若擲出正面，遙控車向前移動一格（從到）若擲出反面遙控車向前移動兩格（從到），直到遙控車移到第19格勝利大本營）或第20格（失敗大本營）時，游戲結束。設遙控車移到第格的概率為P試證明是等比數(shù)列，并求參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券金額的期望值。【答案】（1）300；（2）0.8186；（3）證明見解析，期望值為，約2萬元.【解析】（1）（千米）（2）因為服從正態(tài)分布所以（3）遙控車開始在第0格為必然事件，，第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，遙控車移到第一格，其概率為,即。遙控車移到第n（）格的情況是下列兩種，而且也只有兩種。①遙控車先到第格，又擲出反面，其概率為②遙控車先到第格，又擲出正面，其概率為所以，當時，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列以上各式相加，得（），獲勝的概率失敗的概率設參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券金額為萬元，或0X的期望參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券金額的期望值為，約2萬元.練習1.某產品自生產并投入市場以來，生產企業(yè)為確保產品質量，決定邀請第三方檢測機構對產品進行質量檢測，并依據質量指標來衡量產品的質量.當時，產品為優(yōu)等品；當時，產品為一等品；當時，產品為二等品.第三方檢測機構在該產品中隨機抽取500件，繪制了這500件產品的質量指標的條形圖.用隨機抽取的500件產品作為樣本，估計該企業(yè)生產該產品的質量情況，并用頻率估計概率.（1）從該企業(yè)生產的所有產品中隨機抽取1件，求該產品為優(yōu)等品的概率；（2）現(xiàn)某人決定購買80件該產品.已知每件成本1000元，購買前，邀請第三方檢測機構對要購買的80件產品進行抽樣檢測.買家、企業(yè)及第三方檢測機構就檢測方案達成以下協(xié)議：從80件產品中隨機抽出4件產品進行檢測，若檢測出3件或4件為優(yōu)等品，則按每件1600元購買，否則按每件1500元購買，每件產品的檢測費用250元由企業(yè)承擔.記企業(yè)的收益為元，求的分布列與數(shù)學期望；（3）商場為推廣此款產品，現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎”活動.客戶可根據拋硬幣的結果，操控機器人在方格上行進，已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是，方格圖上標有第0格、第1格、第2格、……、第50格.機器人開始在第0格，客戶每擲一次硬幣，機器人向前移動一次，若擲出正面，機器人向前移動一格（從到），若擲出反面，機器人向前移動兩格（從到），直到機器人移到第49格（勝利大本營）或第50格（失敗大本營）時，游戲結束，若機器人停在“勝利大本營”，則可獲得優(yōu)惠券.設機器人移到第格的概率為，試證明是等比數(shù)列，并解釋此方案能否吸引顧客購買該款產品.【答案】（1）（2）分布見解析，數(shù)學期望為41500；（3）證明見解析，此方案能吸引顧客購買該款產品.【解析】（1）根據條形圖可知，優(yōu)等品的頻率為，用頻率估計概率，則任取一件產品為優(yōu)等品的概率為.（2）由（1）任取一件產品為優(yōu)等品的概率為，高中數(shù)學資料共享群（734924357）由題意，或；.故的分布列為：4700039000所以數(shù)學期望.（3）機器人在第0格為必然事件，，第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，機器人移到第1格，其概率.機器人移到第格的情況只有兩種：①先到第格，又出現(xiàn)反面，其概率，②先到第格，又出現(xiàn)正面，其概率.所以，故所以時，數(shù)列為首項，公比為的等比數(shù)列.所以，，，，，以上各式累加，得，所以所以獲勝概率，失敗概率，所以獲勝概率更大，故此方案能吸引顧客購買該款產品.題型三與導數(shù)的交匯例3.2019年春節(jié)期間．當紅彩視明星翟天臨“不知“知網””學術不端事件在全國鬧得沸沸揚揚，引發(fā)了網友對亞洲最大電影學府北京電影學院、乃至整個中國學術界高等教育亂象的反思．為進一步端正學風，打擊學術造假行為，教育部日前公布的《教育部2019年部門預算》中透露，2019年教育部擬抽檢博士學位論文約6000篇，預算為800萬元．國務院學位委員會、教育部2014年印發(fā)的《博士碩士學位論文抽檢辦法》通知中規(guī)定：每篇抽檢的學位論文送3位同行專家進行評議，3位專家中有2位以上（含2位）專家評議意見為“不合格”的學位論文．將認定為“存在問題學位論文”。有且只有1位專家評議意見為“不合格”的學位論文，將再送2位同行專家進行復評．2位復評專家中有1位以上（含1位）專家評議意見為“不合格”的學位論文，將認定為“存在問題學位論文”。設毎篇學位論文被毎位專家評議為“不合格”的槪率均為，且各篇學位論文是否被評議為“不合格”相互獨立．（1）記一篇抽檢的學位論文被認定為“存在問題學位論文”的概率為，求；（2）若擬定每篇抽檢論文不需要復評的評審費用為900元，需要復評的評審費用為1500元；除評審費外，其它費用總計為100萬元。現(xiàn)以此方案實施，且抽檢論文為6000篇，問是否會超過預算？并說明理由．【答案】(1)；（2）不會超過預算,理由見解析【解析】（1）因為一篇學位論文初評被認定為“存在問題學位論文”的概率為一篇學位論文復評被認定為“存在問題學位論文”的概率為，所以一篇學位論文被認定為“存在問題學位論文”的概率為．（2）設每篇學位論文的評審費為X元，則X的可能取值為900，1500．，高中數(shù)學資料共享群（734924357），所以令，當時，，在上單調遞增；當時，，在上單調遞減，所以的最大值為．所以實施此方案，最高費用為（萬元）．綜上，若以此方案實施，不會超過預算練習1.某醫(yī)藥開發(fā)公司實驗室有瓶溶液，其中瓶中有細菌，現(xiàn)需要把含有細菌的溶液檢驗出來，有如下兩種方案：方案一：逐瓶檢驗，則需檢驗次；方案二：混合檢驗，將瓶溶液分別取樣，混合在一起檢驗，若檢驗結果不含有細菌，則瓶溶液全部不含有細菌；若檢驗結果含有細菌，就要對這瓶溶液再逐瓶檢驗，此時檢驗次數(shù)總共為.(1)假設，采用方案一，求恰好檢驗3次就能確定哪兩瓶溶液含有細菌的概率；(2)現(xiàn)對瓶溶液進行檢驗，已知每瓶溶液含有細菌的概率均為.若采用方案一.需檢驗的總次數(shù)為,若采用方案二.需檢驗的總次數(shù)為.(i)若與的期望相等.試求關于的函數(shù)解析式;(ii)若,且采用方案二總次數(shù)的期望小于采用方案一總次數(shù)的期望.求的最大值.參考數(shù)據：【答案】（1）（2）（ⅰ）（ii）8【解析】（1）記所求事件為，“第三次含有細菌且前2次中有一次含有細菌”為事件，“前三次均不含有細菌”為事件，則，且互斥，所以（2），的取值為，，所以，由得，所以；（ii）,所以，所以，所以設，，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減又，所以的最大值為8題型四決策例4.某地區(qū)為貫徹習近平總書記關于“綠水青山就是金山銀山”的精神，鼓勵農戶利用荒坡種植果樹.某農戶考察三種不同的果樹苗、、，經引種試驗后發(fā)現(xiàn)，引種樹苗的自然成活率為0.8，引種樹苗、的自然成活率均為.（1）任取樹苗、、各一棵，估計自然成活的棵數(shù)為，求的分布列及；（2）將（1）中的取得最大值時的值作為種樹苗自然成活的概率.該農戶決定引種棵種樹苗，引種后沒有自然成活的樹苗中有的樹苗可經過人工栽培技術處理，處理后成活的概率為0.8，其余的樹苗不能成活.①求一棵種樹苗最終成活的概率；②若每棵樹苗引種最終成活后可獲利300元，不成活的每棵虧損50元，該農戶為了獲利不低于20萬元，問至少引種種樹苗多少棵？【答案】（1）詳見解析；（2）①0.96；②700棵.【解析】（1）依題意，的所有可能值為0，1，2，3.則；，即，，；的分布列為：0123所以.（2）當時，取得最大值.①一棵樹苗最終成活的概率為.②記為棵樹苗的成活棵數(shù)，為棵樹苗的利潤，則，，，，要使，則有.所以該農戶至少種植700棵樹苗，就可獲利不低于20萬元.題型五文字和數(shù)據處理處理例5..隨著快遞行業(yè)的崛起，中國快遞業(yè)務量驚人，2018年中國快遞量世界第一，已連續(xù)五年突破五百億件，完全超越美日歐的總和，穩(wěn)居世界第一名．某快遞公司收取費的標準是：不超過1kg的包裹收費8元；超過1kg的包裹，在8元的基礎上，每超過1kg(不足1kg，按1kg計算)需再收4元．該公司將最近承攬(接收并發(fā)送)的100件包裹的質量及件數(shù)統(tǒng)計如下(表1)：表1：公司對近50天每天承攬包裹的件數(shù)(在表2中的“件數(shù)范圍”內取的一個近似數(shù)據)、件數(shù)范圍及天數(shù)，列表如下(表2)：表2：(1)將頻率視為概率，計算該公司未來3天內恰有1天攬件數(shù)在100～299之間的概率；(2)①根據表1中最近100件包裹的質量統(tǒng)計，估計該公司對承攬的每件包裹收取快遞費的平均值：②根據以上統(tǒng)計數(shù)據，公司將快遞費的三分之一作為前臺工作人員的工資和公司利潤，其余用作其他費用．目前，前臺有工作人員5人，每人每天攬件數(shù)不超過100件，日工資80元．公司正在考慮是否將前臺人員裁減1人，試計算裁員前、后公司每天攬件數(shù)的數(shù)學期望；若你是公司決策者，根據公司每天所獲利潤的期望值，決定是否裁減前臺工作人員1人?【答案】(1)(2)①12②應裁減1人【解析】(1)將頻率視為概率，計算該公司未來3天內恰有1天攬件數(shù)在100～299之間的概率為獨立重復事件樣本中包裹件數(shù)在100～299之間的天數(shù)為，頻率為所以(2)①設收件費用為y，收件質量為x，則收件費用與收件質量的關系式為y=8+4（x-1）=4x+4所以每件包裹收取快遞費的平均值為②根據題意及①，攬件數(shù)每增加1，公司快遞收入增加12（元）若不裁員，則每天可攬件的上限為500件，公司每日攬件數(shù)情況如下：

包裹件數(shù)范圍

0～100101～200

201～300

301～400

401～500

實際攬件數(shù)（取中值）

50

150

250

350

450

頻率

0.1

0.2

0.5

0.1

0.1

EY

50×0.1+150×0.2+250×0.5+350×0.1+450×0.1=240所以公司每日利潤的期望值為元若裁員1人，則每天可攬件的上限為400件，公司每日攬件數(shù)情況如下：

包裹件數(shù)范圍

0～100101～200

201～300

301～400

401～500

實際攬件數(shù)（取中值）

50

150

250

350400

頻率

0.1

0.2

0.5

0.1

0.1

EY

50×0.1+150×0.2+250×0.5+350×0.1+400×0.1=235所以公司每日利潤的期望值為元因為560<620，所以公司應將前臺工作人員裁員1人。練習1.隨著經濟的發(fā)展，個人收入的提高，自2019年1月1日起，個人所得稅起征點和稅率的調整，調整如下：納稅人的工資、薪金所得，以每月全部收入額減除5000元后的余額為應納稅所得額，依照個人所得稅稅率表，調整前后的計算方法如下表：(1)假如小紅某月的工資、薪金等所得稅前收入總和不高于8000元，記表示總收入，表示應納的稅，試寫出調整前后關于的函數(shù)表達式；(2)某稅務部門在小紅所在公司利用分層抽樣方法抽取某月100個不同層次員工的稅前收入，并制成下面的頻數(shù)分布表：①先從收入在及的人群中按分層抽樣抽取7人，再從中選4人作為新納稅法知識宣講員，用表示抽到作為宣講員的收入在元的人數(shù)，表示抽到作為宣講員的收入在元的人數(shù)，隨機變量，求的分布列與數(shù)學期望；②小紅該月的工資、薪金等稅前收入為7500元時，請你幫小紅算一下調整后小紅的實際收入比調整前增加了多少?【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】（1）調整前y關于x的表達式為.調整后y關于x的表達式為,（2）①由頻數(shù)分布表可知從[3000，5000）及[5000，7000）的人群中抽取7人，其中[3000，5000）中占3人，[5000，7000）的人中占4人，再從這7人中選4人，所以Z的取值可能為0，2，4，（5分），,,所以其分布列為Z024P所以②由于小李的工資、薪金等收入為7500元，按調整前起征點應納個稅為1500×3%+2500×10%=295元；按調整后起征點應納個稅為2500×3%=75元，比較兩個納稅方案可知，按調整后起征點應納個稅少交220元，即個人的實際收入增加了220元，所以小李的實際收入增加了220元。題型六概率統(tǒng)計綜合應用例6.2018年8月16日，中共中央政治局常務委員會召開會議，聽取關于吉林長春長生公司問題疫苗案件調查及有關問責情況的匯報，中共中央總書記習近平主持會議并發(fā)表重要講話.會議強調，疫苗關系人民群眾健康，關系公共衛(wèi)生安全和國家安全.因此，疫苗行業(yè)在生產、運輸、儲存、使用等任何一個環(huán)節(jié)都容不得半點瑕疵.國家規(guī)定，疫苗在上市前必須經過嚴格的檢測，并通過臨床實驗獲得相關數(shù)據，以保證疫苗使用的安全和有效.某生物制品研究所將某一型號疫苗用在動物小白鼠身上進行科研和臨床實驗，得到統(tǒng)計數(shù)據如下：未感染病毒感染病毒總計未注射疫苗40注射疫苗60總計100100200現(xiàn)從未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率為.（1）求列聯(lián)表中的數(shù)據，，，的值；（2）能否有把握認為注射此種疫苗有效？（3）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只進行病例分析，然后從這五只小白鼠中隨機抽取3只對注射疫苗情況進行核實，求至少抽到2只為未注射疫苗的小白鼠的概率.附：，.0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828【答案】（1），，，，（2）沒有把握認為注射此種疫苗有效.（3）.【解析】（1）由題意，易得，，，，（2）由得，所以沒有把握認為注射此種疫苗有效.（3）由于在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例為，故抽取的5只小白鼠中3只未注射疫苗，用，，表示，2只已注射疫苗，用，表示，從這五只小白鼠中隨機抽取3只，可能的情況共有以下10種：，，，，，，，，，.其中至少抽到2只為未注射疫苗的小白鼠的情況有以下7種：，，，，，，所以至少抽到2只為未注射疫苗的小白鼠的概率為.